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用连续性方程中的局部源项生成自由表面波
摘要
在关于波浪下绕流的物体自由表面的实验和模拟中，造波机中的波浪反射是一个普遍存在的问题。为了在数值研究中解决该问题，一种生成深水波的新的方法被提出了。这些波浪是在引入质量源项的控制方程里的一小部分解域中被创造的。通过将造波机定位在解域中，波幅衰减将能适应于所有的边界域。来自解域边界的波浪反射能因此在模拟中被消除。质量源项被引入的地方，它的公式、形状影响和源区的位置，会在基于NS方程的二维流场模拟中进行研究。它被论述为造波机可以制造大小彼此独立而波高波长比H/lambda;le;0.056的规则波和非规则波。一个关于构造性的波和破坏性的波干扰的模拟描绘了入射波可以在不通过有效反射的情况下穿过造波机。这个造波机可以轻松地在基于NS方程的大多数计算流体动力编码中进行实施（诸如RANS或者欧拉方程求解器）。
关键词：自由表面波 波浪产生 波浪反射 相长/相消干涉
1.介绍
使用NS方程模拟自由表面的波浪的标准步骤是规定它的相应的入口边界处速度和体积分数的值，见于（see e.g. Schellin et al.(2011)）。另外，在试验中波浪可以用相同的方式来生成，就是对（Perić et al.(2015)）所说的解域的一个或多个边界施加一个像襟翼的运动。但是，当波浪生成边界被来自流域或其他边界壁面处的波浪反射所打击时，它会产生一个不希望的返回到解域中的波浪反射，这是模拟和试验中常见的问题。在研究物体静止或者以一个小于流体相速度c的速度u移动（u/cle;1）的结合波浪的绕流中，上述问题尤其与之有关联。
在自由液面流动的模拟往往是这样，每个大的或无限域都要被建立模型即使仅仅对域的一小部分解决方法感兴趣。为减少计算工作量，使解域尽可能小是很有必要的。因此，增大域的大小来延缓来自造波机中的有关感兴趣的域的反射波的到来，不是一种选择。对于大多数应用程序，建立一个无限域意味着从解域中传播的波不能从边界反射出来。
在基于NS方程的流动模拟中，域边界传来的波浪反射可以通过以下方式来实现最小化，一是把朝向相关边界处的计算网格粗糙化，二是在边界附近应用一个数值阻尼区域（也叫做海面层，多孔介质区域，等），这个边界处的波浪在控制方程下通过源项受到阻尼衰减。几种实现的途径已经被提出了（e.g.Cao et al.,1993;Choi and Yoon,2009; Ha et al.,2011;Israeli and Orszag,1981; Park et al.,1999）。后一类方法广泛应用于商业和研究CFD求解器。在本文中，采用的是Choi and Yoon(2009)的波阻尼方法。但是这些方法不能应用于波产生的那些边界，因为所创造出来的波也会遇到阻尼。另外有一个在这项工作中没做进一步考虑的选择，是将基于边界的波浪生成同波浪破坏相结合，采用主动波吸收技术（(e.g.Cruz, 2008;
Higuera et al., 2013; Schauml;ffer and Klopman, 2000），也可以是通过在边界附近迫使流动到一个已知解或者将一个NS流动求解器耦合到另外一个（基于势流）求解器（e.g. Ferrant et al., 2008;Guignard et al., 1999; Kim et al., 2012, 2013; Wouml;ckner-Kluwe,2013）。
在域边界的一种波生成的代替方法是把造波机放置在解域中。在这种情况下，波浪阻尼可以被适应于所有的要求波能够以原状在没有反射情况下通过造波机的域边界。这可以通过在连续性和/或动量守恒方程中引入局部源项来实现。在本文工作中，只有建立在质量源项上的波的生成将会被讨论。到目前为止有几款这样的造波机已经被提出。在Boussinesq型方程中，Larsen and Dancy于1983年提出了线源造波机，在1999年Wei et al.提出了源函数法。上述的造波机和在Boussinesq型方程下的其他波源的造波机的归纳概述可以在2014年的Liam et al.中找到。Liam et al. (2014)讨论了其他控制方程的域内造波机，其中一部分对于深水同样有效。就像Groesen et al. (2010)的AB方程。此外，域内造波机还提出了基于边界单元法的势流求解器（e.g. Brorsen and Larsen, 1987; Chatry et al., 1999）。对于建立在NS方程上的流动模拟，1999年的Lin and Liu提出了二维浅水造波机，这个造波机是基于在自由表面下方的矩形源区注入和提取质量的。Ha et al. (2011)把这个方法延伸为三维了。但是，所有这些造波机不是受浅水条件限制（水深dle;0.05lambda;），就是尚未被证明适用于NS型方程中粘性流动模拟。因而，在本文工作中，Lin and Liu (1999)的方法被用作发展基于连续性方程的局部源项的NS型深水（dge;0.05lambda;）造波机的起点。在第3部分，Lin and Liu的途径和针对深水应用的必要修改会进行讨论。而且，还会简述现在研制出的深水造波机的主要特点。随后的部分通过二维流动模拟的结果说明了造波机的能力和特性。第4部分会进行网格的探研。第5到7部分是研究源项和源区域的形状和位置影响。第8部分是讨论湍流模型和粘度对造波机性能的影响。第9部分和第10部分讨论了模拟不规则波并允许波通过波制造者没有显著的反射的这种能力。Appendix A概述了线性波浪理论在这项工作中的应用。虽然所有模拟都在二维环境下执行，但是造波机依然可以在没有修改的情况下适用于三维环境（Perić, 2013; Perić and Abdel-Maksoud, 2015）。
2.控制方程和解决方法
模拟所用的控制方程是包含质量守恒和三个动量守恒的NS方程：
， （1）
， （2）
这里的V是有封闭曲面S的控制体积（CV），v是流体速度矢量的笛卡尔分量，n是S的单位向量，向外为正，t是时间，p是压力，rho;和mu;分别表示流体密度和动力粘度，tau;ij是粘压张量分量，ij是X方向的单位向量，g包括机体所受力，qc是体积源项而qi是一个可选择的动量源项。对于当前的模拟，参考大气压力设置为105帕，唯一考虑的机体受力是重力加速度，g=（0,0,-9.81m/s2）T。在所有的模拟中，坐标系建立在位于域边界的自由表面，这些域边界满足这些条件：面向造波机，并且有像图2里描述的指向期望的波传播方向的法向量。X轴指向期望波的传播方向，Z轴和不受干扰的自由表面指向液相的向量正交。模拟都采用商业软件CD-adapco的STAR-CCM来执行。在本研究中只考虑不可压缩牛顿流体。因此，因此tau;ij采用如下形式：
，
在大多数模拟中，没有对上述方程应用的湍流模型。除非波浪破碎，它们内部的流动可视为层流，所有感兴趣的结构都可以用可接受的计算方法加以解决。第8部分将验证这一假设的有效性。
波浪被认为是重力波，因此表面张力的影响被忽略了。空气和水组成的两相流有由流体体积法来建模，这种方法需要一个额外的一相体积分数的守恒方程的解。用于本次研究的VOF法是通过STAR-CCM 软件来实施，建立在Muzaferija and Perić的方法之上。
对于每个特定的波浪阻尼区，动量源项被引入到方程（2）中与域边界特定距离的附着的单元里。因此，向相应域边界传播的波会衰减，并且在这个边界处的反射被最小化。这种方法提供的阻尼相当于实验中使用的海滩的阻尼。当ui是X方向上的速度分量时，阻尼是通过将关于ui速度的方程增加源项来实现的，如Choi and Yoon所说：
， （3）
， （4）
这里xj代表垂直于要防止反射的边界的局部坐标，其中xj.sd和xj.ed分别是阻尼区xj坐标的起点和终点。f1，f2和f3是常数特定的参数。结束坐标位于附加阻尼区的区域边界处，起始坐标位于距终点坐标边界法线方向xd的距离处。在这项研究中，阻尼仅适用于垂直速度分量。方程（2）的动量源项qi对于根据方程（3）和（4）取值的相应阻尼区域内的ui速度动量方程仅为非零值。
控制方程应用于每个单元并根据有限体积法离散化。所有积分均由中点规则近似。利用线性形状函数对单元中心到面中心的变量进行插值和数值微分，导致二阶近似。时间的积分基于假定的时间变量的二次变化，这也是一个二阶近似。每个代数方程都包含来自单元中心和共享公共面的所有相邻单元中心的未知值。然后将得到的耦合方程系统线性化并通过迭代STAR-CCM 隐式非定常分离求解器求解，这其中使用到Gauss-Seidl松弛方案的代数多重网格方法，用于压力的V循环和VOF和用于速度计算的灵活循环。对于每个时间步，一个外迭代包括求解速度分量的控制方程、压力校正方程（使用并置网格的SIMPLE方法获得压力值并校正速度）、体积分数的输运方程。每个时间步骤执行5-10次外部迭代。除非另有说明，否则压力的松弛参数是0.4，对于所有其他变量的松弛参数是0.9。有关控制方程的离散化和求解的更多信息，读者可参考Ferziger and Perić (2002)或者STAR-CCM 的软件手册。
出于可比性原因，离散化过程在所有模拟中保持不变：在本研究的每一个模拟中，最好的网格区域总是包含自由表面。除非另有说明，直线栅格由在自由表面附近的每个波长不小于70单元和每个波高不低于20单元组成，直线栅格随着自与由表面距离的增加而粗化。与自由表面相隔一个波长的距离，网格可能非常粗糙，因为流场对这个深度的波动的影响可以忽略不计。
出于稳定性原因，柯朗数：
， （5）
在整个域中需要小0.5，在xi具有速度分量ui，xi方向上的最小单元尺寸Delta;xi和最小时间步长Delta;t。为了确保这一点，时间步长保守设置为：
， （6）
在x方向和z方向上具有单元尺寸Delta;x和Delta;z，根据艾里波浪理论在所需波浪内的最大速度和公式（5）插值得到C=0.1。
图1 二维模拟域填充水（浅灰色）和空气（白色），源区（深灰色）和阻尼区（中灰色）
3.用质量源项生成数字波
为了在浅水条件下利用质量源产生波浪，Lin and Liu已经提出使用具有如下尺寸的矩形横截面的源区域，rwle;0.05lambda;，d/10le;rhle;d/2，d/3le;hale;d/2，像图1所展示的。对于源区域内的所有单元，将下列源项引入到方程（1）。
产生一个规则的单色波：二维模拟域填充有水(浅灰色)和空气(白色)，源区域(深灰色)和阻尼区域(中灰色)
， （7）
该单色波具有源区横截面A=rwrh以及在造波机之上的期望表面高度eta;（t）以及期望波的相速度c。Lin and Liu (1999)已经表明eta;（t）可以从线性斯托克斯理论和椭圆余弦波理论中获得，并且波浪形成器可以产生多个规则波的叠加。造波机是基于以下假设：
（a）造波机正上方的表面高度的变化与注入/提取的质量成正比。
（b）通过质量注入/提取引入系统的所有能量都有助于产生重力波。
读者可以参考Lin and Liu详细的推导。然而，在中等和深水条件下，Lin and Liu的方法需要修改。如第6节所示，源项在很大程度上取决于源区到自由表面的距离。只有浅水的情况下，这种影响可以忽略不计。假设（b）在中等和深水中无效，如下所述。在下文中，一种基于质量源的深水波浪制造方法被提出了。为此，有必要首先描述在所有水深下这种方法的流动特性：如图2所示，源区内质量的周期性注入和提取导致造波机上方的自由表面周期性振荡（上下运动）。除了最大放大点以外，造波机正上方的表面高度类似于驻波波形的高度，产生相同高度和周期的波浪分裂和两个波列，使造波机的传播方向相反。如图2所示，不希望的波列可以使用阻尼区来衰减。造波机正上方的波高大约是生成的波列的波高的两倍，可以假设为线性决定于源项的大小，如第5节所示。
质量的注入/提取自然会将能量引入系统。，然而，只有部分能量有助于产生自由表面波，这是因为源区也会产生向下的射流，如图24所示。在中间的水中，这种射流撞击了域底，使生成的波高产生波动。模拟表明，在这些条件下很难甚至不可能产生具有恒定高度的规则波。因此造波器更适合于射流无法到达域底部的
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