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分形维数,分形结构:一种分离的方法
M.费尔南德斯 - 马丁内斯, M.A.桑切斯-格拉内罗
摘要
本文提出了一个基于广义分形空间的新的模型来计算一个子集的分形维数。回首一下，分形结构是一个全新的领域，给出了分形维数的定义，所以我们进行了适当的离散化豪斯道夫分形维数理论。我们也发现了我们给出的定义和那些传统经典定义以及分形维数I和II(见M.A.桑切斯-格拉内罗和M.费尔南德斯 - 马丁内斯 (2010) [16])之间的联系。因此，我们推广它们并获得一种简便的计算严格自相似集的分形维数而不需要验证开集条件的方法。
关键词 分形，分型结构，广义分形空间，分型维数，自相似集合，计盒维数，豪斯道夫测量，豪斯道夫维度，开集条件
- 引言
随着分形被大量应用，对分形的研究和分析在过去的几年里变得非常重要，这些研究成果已经在不同的领域进行了实验。这样，就要引入分形结构，从理论和应用两个方面使分形理论的一些问题正式化。此外，分形结构的应用还催生了拓扑结构上一些有趣的论题，例如传递一致性、非阿基米德准度量化、度量化、拓扑以及分形维数、自相似集甚至于空间填充曲线等方面的问题（见[15]）。实际上，应用于分形研究的主要工具之一就是分形维数，分型维数被理解最多的是经典计盒维数和豪斯道夫维数，因为它是一个提供了关于所研究的集合的复杂性信息的单量。盒维数和豪斯道夫维数可以为任何可度量的空间定义，而前者从应用角度上来看是更好的；后者则表现出更好的分析性能，尽管其在实际应用中很难甚至不可能被计算出来。而这些分形维数概念的应用经验都是源自于欧几里得空间。
同样，分形维理论也已经应用于一些科学领域，如动力系统研究[9]，骨质疏松症[14]或癌症[5]，生态学[1]，地震[10]，人脸图像中的眼睛检测[13]以及人类视网膜的分析[12]等等。
本文的主要目标之一是提供一个新模型，以计算分形结构（通过GF空间）的给定子集的分形维数，这个模型的理论定义很有趣，同时也很容易计算。 通过这种方式，对豪斯道夫度量和维度构造的基本思想进行适当的离散化，可以为任何分形结构创建一个新的分形维数。
首先，我们研究分型维数的定义方式，然后我们获得一个简单的方法，以便从有效的角度进行计算。 我们还发现经典分形维数定义和所谓的分形维数III之间存在某种关系，特别是，我们获得了一些有趣的分形结构元素的性质，以得到与在GF空间上定义的分形维数的相等性(见[16])。因此新定义将它们推广到盒子计数维度，这可以作为特定情况获得。另一方面，自相似集合提供了一种特殊的分形，它具有自然分形结构，这种结构允许从GF空间的角度进行研究。考虑到这一点，我们证明了它的结构以及分形维数的定义，通过求解一个简单的方程，得到了任何严格的自相似集的分形维数，该方程只涉及与相应的迭代函数系统相关联的的相似因子。基于这一点，我们知道了这个结果不需要验证经典定理中使用的开放集条件假设。
2.提要
2.1分形结构与自相似集
本节的主要目的包括回顾一些符号和基本概念，这些将在本文中有用。我们将要用到的关键概念是关于分型结构。虽然它们的更自然的应用是在分形研究中（特别是自相似集合，参见[4]），但它们的引入首先是为了描述非阿基米德拟准化（参见[2]）。分型结构的使用提供了一个强有力的工具来研究新模式的分形维数定义，因为它们可以区分和分类更大的空间体积，而不是使用分形维数的经典定义（可以作为特定情况获得），只有在可度量化的空间可行(只有在欧几里得空间实证的应用程序)。因此，这些拓扑空间构成了一个完美的地方，以发展分形维数理论。
设为的覆盖。因此，我们将表示以及。此外，如果是的可数覆盖族，那么我们将表示,以及。
下一个定义在[2]中有介绍。
定义2.1设是拓扑空间。的预分形结构是一个可数的覆盖族（称为层次），这样是每个的的开放邻域基。此外，如果是的细化（可以用表示），使得所有对于且，存在，这样，我们会说是上的一个分形结构。
如果是上的一个（预）分形结构，那么我们可以说（，）是一个广义（预）分形空间，或者简单地说是一个（预）GF空间。如果对没有疑问，那么我们会说是一个（预）GF空间。
备注2.2在本文中，我们用来定义分型结构的层次不是通常意义上的覆盖，因为我们将允许在分形结构的任何层面上存在元素的可能性，可能出现两次甚至多次。比如，可能是给定分形结构定义的第一层，超越了封闭的单位间隔。
还要注意，如果是一个与预分形结构，那么它的任何一个层次都是一个保持闭包的闭合覆盖（见[3,Pro.2.4]）。
如果是上的分形结构，并且是所有的的领域基，那么我们就称为starbase分形结构。
一般情况下，如果对所有都有的性质，且是X上的一个分形结构，那我们可以说是具有P性质的分形结构。是一个具有P性质的GF空间。例如，如果是所有自然数n的有限覆盖，并且是上的一个分形结构，那么我们将会说是上的有限分形结构，并且是一个有限的GF空间。另一方面，我们还回顾哈钦森介绍的迭代函数系统吸引子的定义（见[11]）。
定义2.3令为一个有限索引集，设为从完备度量空间到其本身的一组压缩映射。被称为迭代函数系统（简称IFS）。 然后存在一个的唯一非空紧致子集使得。被称为IFS的吸引子。 如果映射是相似的，那么称为严格的自相似集合。
接下来，我们举了一个有趣的例子，它分析描述了所谓的垫片，这是一个严格的自相似组合的典型例子。
例1令I = {1,2,3}为有限索引集，令为欧几里得平面上的一组有限的相似性被定义为：
因此，垫片是验证Hutchinson方程的独特的非空紧致子集。这样，我们记每个分量是IFS()吸引子的自相似拷贝。
自相似集合构成了广泛的分形，其特点是以自然的方式具有分形结构，这在[6]中首先勾勒出来。 事实上，该论文成为分形结构术语的起源。接下来，我们介绍这个描述这种分形结构（见[4]）。
定义2.4令I = {1，...，m}为有限索引集，令为一个IFS，其相关的自相似集为，上的自然分形结构可以定义为可数的覆盖族，其中对于每个自然数，满足。这里对于所有的和，我们表示。这个分形结构也可以描述如下：对于所有，以及成立。
在例1中，我们分析描述了其相关的自相似集是垫片的IFS。 接下来，我们是将呈现与这种严格的自相似组相关的自然分形结构。
例2与垫片相关的自然分形结构可以被描述为可数的族覆盖，其中是三个等边“三角形”构成，其边长等于，是由个边长为的等边“三角形”组成。一般来说，是个边长为的等边“三角形”组成。此外，这还是一个有限的starbase分形结构。
3.盒子尺寸和分形维数I和II
分形维数是研究分形复杂性的主要工具之一，因为它是一个单一的值，它提供有用的信息，当它们以足够的细节水平进行检查时，它们会呈现出不规则性。 通过这种方式，分形维数通常被理解为经典盒计数和豪斯多夫维数。 请注意，它们都可以在任何可度量的空间上定义，尽管它们只能在经验上在欧几里得的范围内进行测试应用。 因此，从应用的角度来看，前者更好，但从理论角度来看后者更好。 关于豪斯道夫和盒子维数的基本理论可以在[8]中找到。
计盒维数的一个主要优点是其有效计算的可能性是经验估计。 这种分形维数也被称为信息维数，Kolmogorov熵，容量维数，熵维度，度量维度等等。因此，子集的（下/上）盒计数维度由以下（下/上）限制给出：
（1）
其中是尺度，是满足的立方常量，回想一下中的立方是一组，其中是所有的整数。要注意的是，（1）给出的限制可以通过离散化表示。因此，盒子计数维度可以估计为一个对数-对数图的斜率，该尺度是在一个合适的离散的尺度集合上绘制的。
回想一下，任何欧几里德空间的自然分形结构定义为，其水平线是通过得到。这样，如果我们选择，则就是满足的分形结构的每个级别的元素数量。因此，一个自然的问题出现了：我们能否为任何分形结构提供一个新的分形维数定义经典的盒子计数尺寸，还考虑到分形结构的任何层面上每个元素的不同尺寸？（不像分形维数I和II，它认为分形结构的任何级别的所有元素都具有相同的性质尺寸）。当然，当作为上的自然分形结构时，这个新模型与后者是一致的。
要注意，GF空间上的分形维数的定义允许计算非欧几里得空间的分形维数，其中盒计数维可能没有意义或者可能难以或不可能计算。
因此，我们回顾[16]中开发的分形维数I和II的定义。 实际上，（下/上）分形维数I和II由下面的（下/上）限定：
（2）
其中是满足的分形结构的每个级别的的元素的数量，并且是每个级别满足 的的所有元素的直径的上确界。对于集合A的直径，我们用来表示。
请注意，在（2）处给出的分形维数II是根据与度量（或距离）空间相关的分形结构来计算的，而分形维数I并不依赖于任何度量。
4.基于豪斯道夫格式的新模型计算GF空间上的分形维数
4.1． 介绍和动机 在[16]中，我们研究了理论和应用两种观点的不同方式，以计算广义分形空间任意子集的分形维数。回想一下，为了计算它，分形维数I公式允许使用比盒子计数方程更大的分形结构集合：特别是任何欧几里得空间上的基于古典计盒维数的自然分形结构。因此，后者只是分形维数I的一个特例。另一方面，尽管我们考虑的第二个模型使得在分形结构的每个层面上可能存在不同的直径集合，但它不区分不同直径集合（见[16，备注4.6]）。请注意，我们必须计算符合我们要计算的分形维数子集的任何分形结构级别的元素数目。然后，我们用离散的尺度来衡量：每个层次上的固定数量（分形维数I），或者每个层次上的元素的最大直径（分形维数II）。这个想法是受到盒子计数维度的适当离散化的启发。
豪斯道夫维度提供了另一个有趣的原理，以便计算可度量空间给定子集的分形维数。令为度量空间。 给定一个尺度和的子集，回想一下是一个可数子集，使得，其中对于所有，。设是的所有覆盖集合。豪斯道夫维数的基本思想是基于豪斯道夫维度，它包括最小化所有的s-幂的和任何覆盖集合的子集的直径，其中s将是我们正在寻找的分形维数。 这样定义了以下数量：
（3）
请注意，当减小时，的所有覆盖的类别减少，从而的量度增加。 因此，下面的限制始终存在：
这称为的s维豪斯道夫测度。然后，豪斯道夫维度被表示为一个从无穷变为0的点，即：
（4）
我们等同地给出了下面的内容：
特别的是，如果，那么可以等于0，，甚至有可能。
最近，[18]中定义了豪斯道夫维数的一种超限形式，用于深入研究具有无限豪斯道夫维数的空间。
另一方面，我们的主要目的是通过在任何可度量空间上的豪斯道夫维度的基本思想，在更广义的GF空间中提供分形维度的新定义。这样，令是度量空间上的分形结构，并设是的一个子集。为了得到的分形维数的更准确的值，主要思想是取 考虑通过其直径满足的族的任何级别上的所有元素的大小。 因此，考虑的下一个元素族：
（5）
并让s是一个正实数。 因此，每个族的所有元素的直径的s-幂的和可以确定集合F是多么不规则的记录，从而提供关于它的演变和复杂度的近似值。 等同地，我们将以如下表达式开始：
（6）
通过先前的离散序列，还定义以下值：
这样，除了豪斯道夫维度验证表达式（4），我们将通过考虑表达式（3）和（6）来探索这种新模型的性质。更进一步，令t为另一个正实数。然后，标记
其中，对于任何族以及都考虑总和。之前的不等式等价于，其中n为自然数。这样，如果我们对前一个表达式的限制为，那么：
此外，如果且同时以及，那么我们有。因此，在收敛于0的自然假设下，为了计算GF空间上的分形维数，新的理论方法确定该值是从跳跃到0。等价地，如果我们用表示新的分形维数，我们再次说明这一点
无论何时。请注意，它只是分形结构每个层面上元素大小的自然限制。
因此，这个假设变得必要，因为它可以在下一个备注以及图1中看到。
备注4.1在度量空间和的一个子集上存在一个分形结构，使得，证明
证明.令并令为在单位正方形上诱导的欧几里得平面上的自然分形结构，但将本身加到分形结构的所有层面上。因此，如果我们考虑方程（6）以确定的分形维数，那么我们可以检查比较和s的图不存在像分形维数的豪斯道夫模型那样的情况。另外，要注意，对于所有，，这意味着随着。另一方面，对于所有自然数n,我们得到，因此，很明显：
因此，我们有。
尽管如此，与（对于的所有子集总是存在）不同，我们已经知道在方
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