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反射扩散系统中金字塔行波阵的存在性，唯一性和稳定性
王志成1李万同1阮世贵2 *
1兰州大学数学与统计学院，兰州730000;
2迈阿密大学数学系，珊瑚山墙，佛罗里达州33146，电子邮件：wangzhch@lzu.edu.cn，wtli@lzu.edu.cn，ruan@math.miami.edu
2016年1月8日收到; 2016年3月27日通过; 2016年8月2日在线发布
摘要
在一维空间中，抛物微分方程的行波解已被广泛研究和很好地表示。近年来，高维行波阵面的数学研究引起了人们的广泛关注，对于具有各种非线性特性的标量反应扩散方程，观测到了许多新的非平面行波。本文通过比较论证，构造适当的超解和子解，研究中反应扩散方程单调双稳系统的金字塔型三维行波阵的存在性，唯一性和稳定性。金字塔型行波阵的特征在于要么是侧表面上的平面行波阵的组合，又或者是金字塔边缘上的二维V形波的组合。特别地，我们的结果适用于生物学中的一些重要模型，如带或不带时空延迟的Lotka-Volterra竞争扩散系统，以及多个专性的共生生物的反应扩散模型。
关键词：反应扩散模型 双稳态 金字塔型行波阵 存在性 稳定性 惟一性
1绪论
在一维空间中，抛物微分方程的行波解已被广泛研究和充分表示，例如，Conley和Gardner [7]，Fife和McLeod [13,14]，Gardner [16]，Liang和Zhao [36]，Mischaikow和Hutson [39]，Tsai [51]和Volpert[52]等。然而，在高维空间中，因为传播的波阵面可能会改变形状并演变为新的非平面行波，所以它非常有价值，但却很难尝试找到并表达可能的非平面行波。从动力学的角度来看，非平面行波的求解对于全面理解全局吸引子的结构是非常重要的，它通常决定着反应扩散方程解的长期行为。近年来，高维行波阵面的数学研究引起了人们的广泛关注，对于具有各种非线性的标量反应扩散方程，观测到了许多新的非平面行波：
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（1.1） |
对于燃烧非线性，Bonnet和Hamel [2]等人[23]，Wang和Bu [55]研究了（1.1）的V形弯曲前沿，m = 2。对于Fisher-KPP情况，非平面行波Brazhnik和Tyson [3]，Hamel和Roquejoffre [27]研究了的（1.1）和黄[31]。对于不平衡的双稳态情况（专门用于Allen-Cahn方程），V形行波Hamel等人研究了（1.1）中m = 2的解 [24,25]，二宫和谷口[42,43]和Gui [19]，（1.1）的的圆柱对称的行波已由Hamel等人[24,25]，并且具有的（1.1）的金字塔形状的行波问题已经被研究谷口[47-50]和黑川和谷口[34]。王和吴[57]和盛等人[45]扩展二宫和谷口[42,43]和谷口[47,48]的论点，并建立了二维用于双稳态反应扩散的V形行波阵面和金字塔行波阵面具有时间周期非线性的方程（参见[8]）;即（1.1）具有非线性使得对于某些，。特别是，盛等人[46]研究了多维在Allen-Cahn方程中，V形行波阵面的稳定性。平面网格的多维稳定性Xin [58]，Levermore和Xin [35]研究了反应扩散方程中的行波，Kapitula [33]和Zeng [59,60]。
请注意，在上述研究中获得的非平面行波是连通的并且是凸的。需要指出的是，Chen等人研究了更加有趣和复杂的平衡双稳态情况（特别是） [6]和德尔皮诺等人[9,10]、陈等人[6]研究了（1.1）抛物面状界面的圆柱对称行波的存在性质和性质，它们也是连通的和凸的。在[9]中，德尔皮诺等人。当维数时显示出新的驻波，这是De Giorgi猜想的一个反例。在[10]中，德尔皮诺等人已经证明存在行波前解是非连通的，多元曲面的行波解，当时存在前凸非凸的解。其他相关研究可以参见Bu和Wang [4]，Chapuisat [5]，El Smaily et al[11]，Fife [12]，Hamel [22]，Hamel和Nadirashvili [26]，Hamel和Roquejoffre [27]，Morita和Ninomiya [40]和Wang [54]。
与标量方程相比，反扩散方程系统的非平面行波研究主要集中在二维V型曲面上。Haragus和Scheel [28-30]通过使用分叉理论研究了反应扩散系统中的几乎平面波（V形波）。这里“几乎平面”意味着界面区域接近超平面（角度）界面接近于pi;）。通过发展二宫和谷口的论点[42,43]，Wang [53]为的以下系统建立了二维V形曲面的存在性和稳定性，
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（1.2） |
根据以下假设：
（H1）是的阶的对角矩阵。
（H2）具有两个稳定的平衡点，即，其中，的所有特征值都有负实部。
（H3）存在两个向量，其中和两个正数使得和。
（H4）反应项定义在开放域上，u属于，满足下列条件：
.
对于任意的，和对于任意的
此外，存在非负常数和使得
对于，其中，对于任意的
（H5）系统（1.2）允许平面行波
满足以下常微分方程：
其中，,,为波速。
这里真实的向量值函数是未知的，并且表示在处的的雅可比矩阵。对于两个向量和，符号表示对于每个，.;表示对于每个有。区间表示的的集合。对于假设（H1）-（H5）的一些评论，我们参考Wang [53]。一般来说，假设（H1）-（H4）不能确保系统（1.2）允许连接平衡的行波平面波前。因此，关于（H5）中平面行波解的存在性的假设是标准的。进一步的假设是，波速。应该指出，为了确定给定反应 - 扩散系统的波速的符号是非常困难的工作。尽管如此，对于某些特定情况下的波速c的正定性，可以给出一些充分的条件（参见Wang [53]和Alcahrani等人[1]的一些例子）。
它来自Volpert等人[52，第3章]存在正的常数和使得
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（1.3） |
与Haragus和Scheel [28-30]的结果相比，这些结果仅对足够小的有效（即，当弯曲波速度充分接近平面波速度时），结果Wang [53]认为任何。特别是，这些结果适用于某些重要的生物的模型（详见[53，第5节]），例如Lotka-Volterra竞争扩散系统有或没有时空延迟，以及多个专职共主的反应扩散系统。
最近，Ni和Taniguchi [41]建立了金字塔行波解的存在的竞争扩散系统
，涵盖经典的Lotka-Volterra竞争扩散系统有两个组件。注意中的这种金字塔行波解事实上具有金字塔形结构的三维行波解并不是圆柱形的对称的，也不能简化为二维行波解。还要注意，Allen-Cahn方程（一个方程）中具有金字塔形状的行波解首先由Taniguchi [47]在中构造。他的方法是使用超和子解决方案和比较原理，这与二宫和谷口[42]相似。为了构建合适的上层解决方案，一个关键技术是在中的金字塔上方构造一个适当的金字塔。Kurokawa和Taniguchi [34]扩展了Taniguchi的论点[47]，并在中建立了Allen-Cahn方程的金字塔行波阵面。Taniguchi [48]研究了Taniguchi [47]建立的金字塔行波阵的唯一性和渐近稳定性。对于给定的可容许金字塔，已经证明，金字塔行进前沿是唯一确定的，并且在给定扰动在无限远处衰减的条件下它是渐近稳定的。此外，金字塔形行波阵的特征在于，侧面上的平面行波阵的组合以及分别作为边缘上的二维V形行波阵的组合。最近，Shenget 1872 WangZCetal。中国科学数学2016年10月Vol.59 No.10 al。 [45]开发了谷口[47,48]的论点，并研究了具有时间周期非线性的双稳态反应扩散方程的周期金字塔行波阵面。最近，谷口[49,50]已经构造了具有凸多面体形状的广义金字塔式行波阵。
尽管Ni和Taniguchi [41]已经建立了竞争扩散系统的金字塔行波阵，但金字塔形行波阵的惟一性和稳定性仍然存在。本文的目的是扩展谷口[47，48]的一个标量方程的论点研究在中反应扩散金字塔形行波的存在性，唯一性和稳定性系统（1.2），假设（H1）-（H5）成立。主要的方法也是使用超和上下解方法和比较原则。我们想指出，甚至虽然本文的主要策略与[47,48]中的策略类似，但它需要新的技术和许多修改，以获得预期的结果，因为存在的非线性耦合这是一项不重要的工作。首先，因为我们正在处理一个耦合的反应扩散系统方程（不是单一的方程），我们必须使用系统的平面行波前线进行修改Taniguchi [47,48]的超解和子解，以便它们可以应用于系统。达到这个目标，我们定义了两个单调的向量值函数和，并将它们合并到导致超级和子解决方案。当然，函数和已被第一个使用作者[53]。其次，如下所示，后来构建的超级和子解决方案不能由从上面界定，由从下面界定，这导致了比较原理（见条件（H4）的第一部分）对于超解和子解都是无效的。这与单方程式的情况完全不同。因此，我们构建一个辅助系统（2.1）以帮助我们对下面的（1.4）进行分析，这是与原始对应的行波系统反应 - 扩散系统（1.2）。具有非线性的辅助系统（2.1）已经被构建由Wang [53]承认比较原理的区间大于。尤其是的和非线性的系统（2.1）中的有界也是具有非线性的系统（1.2）的解。第三，我们证明了这一点考虑两种情况，在第3节中建立的金字塔式旅行前沿的渐近稳定性，和，分别。请参阅下面的和的定义。请注意，我们证明后者通过使用类似于[43,53]中的参数的论述，这与[48]中的不同，其中需要从下面估计初始值问题的解决方案。
以下我们在本文中陈述我们的主要结果。在整篇文章中，我们总是假定假设（H1）-（H5）成立，让且。对于任何，定义：
,
和
其中，对于，表示对于任何有界的定义
固定我们假设解决方案朝着方向前进，而不失一般性。
然后我们有
我们寻求
设是给定的整数，和假设是中的一组向量使得
现在(mlowast;Aj,1)isin;是的法线向量，设
和
对任意的我们可以得到：
对任意的和
我们称
是中的一个三维金字塔。
使
对于成立。我们有
用表示的边界，使
现在我们记
对于同时，称为金字塔的侧面，
表示
然后代表金字塔所有边缘的集合。
定义
和
对于
我们注意到上面的金字塔设置来自[47]。以下定理是本文的主要结果。
定理1.1假定（H1）-（H5）成立。然后，对于每个存在解属于（1.2）满足（1.6）
和
此外，对于任意的和，都适用于和
初始值为的关于（1.2）的解满足
由定理1.1，我们可以知道函数满足（1.6）和（1.7）是唯一的。由（1.7），我们知道非平面行波V具有金字塔形结构，并且其特征在于在侧表面上的平面行波阵面的组合，在下文中，我们称
（1.2）的一个金字塔行波阵。在第4节结尾（参见推论4.18），我们进一步将金字塔形的前沿表征为金字塔边缘上二维形波的组合。请注意，当时，即系统（1.2）简化为标量方程时，定理1.1的结果已由谷口[47,48]获得。
本文的其余部分安排如下。在第2节中，我们将给出一些在以下章节中需要的预备。定理1.1将在第3节和第4节中得到证明。更具体地说，我们在第3节中展示了（1.2）的锥体前行的存在性，并证明了第4节中前的渐近稳定性。在第5节中，我们将定理1.1应用于生物学中的三个重要模型，即两物种Lotka-Volterra反应扩散竞争系统，具有时空延迟的两物种竞争系统以及多重反应扩散系统强制互助者。最后在第6节中，我们将对这项工作进行一些讨论。
2预备工作
与系统（1.4） - （1.5）相关，请考虑以下初始值问题：
其中和
对于
显然有对任意的
在本节中，我们建立了辅助系统（2.1）的比较定理，并给出了（1.4）-（1.5）的解与（2.1）-（2.2）的解之间的关系。然后我们得到一个构造出的金字塔由谷口[47]。
定义2.1在上，如果对于任意的
对任意的。同时满足
对于所有的和
则有一个连续的向量值函数称为（2.1）的超解（子解）。
由Wang [53]，我们有以下定理和推论。
定理2.2假定（H1）-（H4）成立。假设在上和是问题（2.1）超解和子解，分别满足：和
对于任意的，然后有一个对于任意的和
推论2.3假定（H1）-（H4）成立。假设在上和是问题（2.1）超解和子解，分别满足，和对于任意的和。然后对于任意的和和对于
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