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一种新的增强几何和对比度分辨率特性的方法低对比度图像
Koushlendra Kumar Singh，Manish Kumar Bajpai和Rajesh Kumar Pandey
摘要 - 目前的工作包括使用新构造的切比雪夫分数阶微分器的新的图像增强算法。我们使用切比雪夫多项式来设计切比雪夫分数阶微分器。我们已经生成了相应的高通滤波器。设计的滤波器用于将输入图像分解为四个频带，并使用校正系数更新低 - 低（LL）子带。具有更新的LL子带的重构图像提供了增强的图像。获得的视觉效果对于图像增强是令人鼓舞的。所开发的算法的适用性在三个不同的测试图像上示出。也已经提出并讨论了分化顺序对图像边缘的影响。
索引术语 - 基于切比雪夫多项式的逼近，对比度增强，分数阶微分。
1 介绍
图像增强是一种过程，用于改善人类观看者对图像中包含的信息的视觉解读或感知，或为任何自动图像处理系统提供更好的输入图像。图像增强广泛适用于许多现实应用，如医学成像，刑事调查，天文学，地理信息系统，卫星成像等等。
文献中已经提出了几种图像增强技术。这些技术依赖于应用程序。一种特定的技术不适用于所有类型的应用，例如，消除图像的模糊效果，改善图像的对比度，消除图像的块状效果等。对比度，亮度和清晰度在任何图像中都起着至关重要的作用。对比度是由图像中两个相邻表面反射的亮度差异造成的。它使用户区分图像中存在的对象及其背景。对比度取决于各种因素，例如相机质量，地理成像中的天气状况，医学成像中的组织密度以及卫星成像中的距离。
由此产生的图像不会提供所有的细节，一些信息可能会被淘汰，也会带来不自然的外观。对比度增强算法的目标是消除这些问题[1]，[2]。
对比度增强算法可以分为两类：1）直接法; 和2）间接方法。直接对比度增强算法包括使用原始对比度值。两个重要的直接对比增强措施是：1）迈克尔逊对比度测量; 和2）Weber对比度测量[3]，[4]。迈克尔逊对比度测量用于测量周期性图案，而韦伯对比度测量则用于通过使用小目标来计算大的均匀亮度背景。这些算法无法测量复杂图像的对比度值[5]。
间接对比度增强算法包括通过指定其映射函数来改进像素的亮度范围。间接对比度增强算法可以分为三类：1）基于变换的对比度增强算法; 2）基于直方图的对比增强算法; 3）用于图像增强的滤波器分解算法。许多基于变换的图像增强算法已经在[1]，[2]，
[6] [9]。这些算法在计算上是高效的。在不直接依赖空间域的情况下，查看和处理图像的频率组成非常容易。这些算法存在阻塞效应; 因此，我们无法同时增强图像的每个部分。
minus;
基于直方图的算法在研究人员中颇受欢迎。我们称之为直方图均衡化，自适应直方图均衡化（AHE），广义直方图均衡化（GHE），局部直方图均衡化（LHE），动态直方图均衡化（DHE），亮度保留双直方图均衡化（BPBHE），亮度保留动态直方图均衡（BPDHE），等面积二分法子图像直方图均衡（DSIHE），最小均值亮度误差双直方图均衡（MMBEBHE）算法[10] [18]。这些算法对噪声敏感，也无法调整增强级别。
minus;
许多研究人员提出基于滤波器的图像增强算法来克服目前存在在一个图像中的直方图尖峰。已经开发了特殊的低通，高通和带通滤波，不清晰的遮蔽和松脆，方向平滑，中值滤波，局部中值加权自适应滤波，加权高通滤波和许多过滤滤波算法[19] [26]。这些算法保留了原始的直方图轮廓特征，并且还动态地提高了对比度。
Demirel等人使用离散小波变换（DWT）和奇异值分解（SVD）来增强对比度[27]，[28]。文献中用SVD解决了照明问题。它使用生成的归一化矩阵的最大奇异值与均值为零并且方差为1的归一化图像的比率，其可以根据下面的等式
其中是同步矩阵的奇异值矩阵，理论强度矩阵。
minus;
该系数可用于再生均衡图像。
该操作减少了照明问题的影响。陈等人提出了一种基于分数阶Savitzky-Golay微分器的图像增强算法[25]。分数阶微积分是从整数阶到分数阶的积分阶微积分的推广。莱布尼茨（1695年）在L医院的回复中写道[29]，这在数学中是非常古老的概念。由于它们的非局部分布效应，它更好地翻译了大自然的现实。过去三个世纪，数学家对这一领域非常热衷。全球的研究人员已经开始研究这个领域在工程和科学领域的应用。从理论上讲，它将图像处理的顺序从积分扩展到分数，这意味着信息处理方法和方法的扩展。与整数次序相比，真实世界问题可以在实际次序方面更好地表达。
分数阶导数最常用的应用领域是核科学，控制器设计，边值问题，物理系统描述，半无限线在电路中的实际应用，电路分析和电磁学，电化学和光学等。[30 ]，[31]。分数阶导数也用于图像处理和信号处理领域。已经开发了图像锐化，图像增强，运动检测，去模糊，虹膜边缘检测和更多的分数衍生应用[31]。有限脉冲响应（FIR）滤波器，无限脉冲响应（IIR）滤波器和固定分数延迟FIR滤波器的设计在信号处理领域非常流行[25]，[31]。滤波器和差分器的设计有助于我们在不同的应用中提高滤波器的可接受性。
任何函数的分数阶导数已经通过文献中存在的不同导数定义来计算。其中最受欢迎的是Riemann-Liouville定义，Grunwald-Letnikov定义，Caputo定义（1967），Oldham和Spanier定义（1974），K.S.Miller和B.Ross方法（1993），Kolwankar和Gangal定义（1994）[29] [31]。分数阶微分器设计用于连续和离散时域。 Carlsons方法，Dutta Roys方法，Chareffs方法，Matsudas方法和Oustaloups方法是连续时间域最常用的方法[25]。最小二乘法，牛顿级数法，Tustin法，泰勒法，分数阶微分方程和连续分数展开法等都是离散时域方法的一个例子[26]。这些方法不能准确估计噪声数据或信号的导数。遗传算法已经被开发用于估计污染信号的导数。遗传算法有复杂的数学计算[32]。 Savitzky-Golay提出了基于多项式回归估计的微分器和数据的拟合。他们使用最小二乘多项式来近似受污染的信号。整数次序污染信号的衍生物很容易被它估计[25,26,33]。
切比雪夫多项式在数值分析，数据插值，逼近，使用切比雪夫多项式的积分，边值问题，微分方程解，专门用于可变带宽有限长度滤波器和滤波器设计等的信号处理等领域具有广泛的应用。[34 ] [36]。它已被首次引入PL切比雪夫于1854年[37]。切比雪夫多项式是可以递归定义的正交多项式的序列。切比雪夫多项式因其正交性而被广泛使用[36]。
minus;
我们已经提出了一种使用基于切比雪夫多项式的分数阶微分器近似的算法。该差分器还用于生成低通和高通滤波器。这个滤镜使我们能够增强图像的几何以及对比度分辨率特性[38]。我们仅将该算法应用于图像的LL子带。
纸张的结构如下。第二节讨论了基于Chebyshev多项式的分数阶微分（CPBFOD）算法。第三节介绍了实验的细节。第四节报告了从实验中获得的结果。第五部分给出结论。
2 基于多项式的图像滤波函数的分数阶逼近增强
考虑Ycirc;（t）和Y（t）两个高阶微分函数，分别为观测函数和原函数。观察到的函数可以写成
(1)
其中是一个错误。目前的工作包括通过使用n阶导数，L点滤波窗口和n次多项式近似来观察函数的平滑。
任何函数都可以通过多项式展开得到，表达式如下：
(2)
t = 1，2，3，.... . .，L是滤波窗口中第t个点的位置，ck是多项式函数的第k个系数
最小二乘法用于估计系数。等式（2）可以以下面的形式扩展
T0(1)c0 T1(1)c1 T2(1)c2 ... Tn(1)cn = y1
T0(2)c0 T1(2)c1 T2(2)c2 ... Tn(2)cn = y2
T0(3)c0 T1(3)c1 T2(3)c2 ... Tn(3)cn = y3 （3）
...
T0(L)c0 T1(L)c1 T2(L)c2 ... Tn(L)cn = y
其中Y = [y1，y2，...，yL]表示过滤窗口中的测量功能点。T是阶L（n 1）的矩阵，可以定义为
T0(1) T1(1) T2(1) ... Tn(1)
T0(2) T1(2) T2(2) ... Tn(2)
T0(3) T1(3) T2(3) ... Tn(3) （4）
...
T0(L) T1(L) T2(L) ... Tn(L)
矩阵T的元素用Chebyshev多项式计算[37]。切比雪夫多项式是下面微分方程的解
(5)
上述微分方程的解如下给出：
(6)
第一类Chebyshey多项式可以通过下面的递归关系
(7)
其中，，。
存储多项式的系数的矢量C通过以下表达式获得
(8)
等式（7）和（8）用于解决（3）。它会导致
(9)
其中W表示窗口系数矩阵。平滑可以通过使用不同的窗口系数矩阵来执行
主要有三种常用于各种应用的分数导数的定义，即Riemann Liouville（RL）定义，Grnwald Letnikov（GL）定义和Caputo定义。常数（alpha;gt; 0）的分数导数在使用RL和GL定义进行评估时不为零，但对Caputo定义为零。这是不会使用Caputo的定义。RL定义提供了任何函数的分数导数的精确解，而GL为其提供近似解。这对于为我们的目的选择RL定义起着至关重要的作用。
黎曼 - 刘维分数阶导数可以表示为
(10)
其中，并且是的Gamma函数。而是分化的正序，它的值在到1之间。当的值变为1时整数值变成正常的整数阶次差异化。（10）可以得到与窗口系数矩阵W对应的分数阶微分器。分数阶差分的不同性质被应用于（9）。特别是整数阶导数的线性和性质，分数阶导数是积分阶导数的推广。这个概念用于计算分数阶微分。我们将得到[29] - [31]。
(11)
他是一般形式。这里表示滤波窗口中第t个点的alpha;阶导数，表示第alpha;个滤波中第t个点的微分系数向量窗口。
该算法使用广义直方图技术（GHT）技术来生成均衡图像。图像被分解成四个子带图像新设计的分数阶数字微分器。该新设计的分数阶数字微分器就像滤波器长度为L的一维滤波器一样工作。对于图像处理来说，常数的分数导数非零是最有用的事实。
一个低通滤波器。用于提出的数字分数阶滤波器的高通滤波器已经通过低通滤波器的镜像计算出来。分析部分使用的低通和高通滤波器分别是和。 高通滤波器是低通滤波器的镜像，可表示为
(12)
属于重建部分的相应滤波器分别是和。
首先使用新设计的滤波器将输入图像逐行过滤为子带。输出图像已经被抽取了两个。输入图像也通过高通滤波器进行了行筛选。每个子图像被2决定。对于低通滤波器和高通滤波器，相同的处理也重复列重复。该过程产生四个子带，如图1所示。标示为低 - 低（LL），低 - 高（LH），高 - 低（HL）和高 - 高（HH）图像，分别被称为近似，垂直细节，水平细节和对角线细节子带。高频子带LH，HL和HH包含图像的边缘信息。目前工作的重点是图像的照明信息; 因此我们只关注LL子带[19]。在LL子带上应用奇异值分解（SVD）。计算校正系数的框图如图2所示。
图1.分数阶微分器的图像分解
图2.校正系数的计算流程图
任何奇异值矩阵的校正系数等于原始输入图像I的最大奇异值与输出图像II的最大奇异值的比率。输入图像已经用广义直方图均衡进行处理。图像的分解是通过首先沿着图像行应用一维新设计的滤波器系数来进行的，然后将结果沿着列分解。它产生四个分解的子带图像，称为LL，LH，HL和HH。原始输入图像也用新设计的滤波器处理，然后在合成图像的LL波段上进行SVD。
校正系数通过使用以下等式来计算
(13)
该算法有两个主要部分; 一种是使用基于近似概念的切比雪夫多项式和分数阶导数算法计算滤波器系数。第二部分通过新设计的滤波器完成图像分解，并通过在LL子带分解图像上应用SVD计算校正系数。LL子带的奇异值已
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