单相和多相网络中电磁暂态的数字计算机解决方法
HERMANN W. DOMMEL, MEMBER, IEEE
摘要：任意单相或多相网络中的电磁暂态过程都通过节点导纳矩阵方法求解分析。节点导纳矩阵方法基于分布参数的特征方法和集中参数的积分梯形法则。本数字计算机解决方案中使用了带有稀疏技术的最佳有序三角分解，示例和编程细节都说明了本方法的实用性。
1 简介
本文描述了一种能够求解同时具有集中和分布参数的任意单相或多相网络中电磁暂态时间响应过程的求解方法。德国邦纳维尔电力管理局（BPA）和慕尼黑理工学院已经将基于这种方法的计算机程序用于分析电力系统和电子电路中的暂态过程[1],[2]。该程序的有用功能包括：非线性，可根据规定的开关标准在极短时间内进行任意次数的开关，可从任何非零初始条件下开始，并且能够灵活输出各种指定波形的电压、电流激励信号。
数字计算机不能重现暂态现象的连续过程，而是给出一系列离散间隔为Delta;t的数字量。这种数字离散化的方法会存在误差，从而导致数值不稳定。出于这个原因，可选择梯形法则来整合集中电感和电容的常微分方程；该方法十分简单，在数值上稳定，并且足够准确从而达到实用的目的。
假定线路分布参数的分支是无损的，则称之为无损线路。忽略损耗（可用其他方法非常准确地近似计算损耗），则可以用特征方法获得精确解。这种方法主要在欧洲使用，被称为Bergeron法，1928年首先应用于水力问题，后来被应用于电气问题（有关历史性的注释参见[5]），并且非常适合与数字计算机[6]-[8]。与行波现象的替代格子法[9]相比，它有很多很重要的优势，比如使用此方法时，不需要反射系数。
特征方法和梯形规则可以很容易地结合成一个能够解决任何具有分布和集中参数网络中暂态问题的广义算法。在数值上，可以将求解复杂的非线性方程简化成在每个时间间隔中求解线性（节点）方程组。无损线路仅对相关矩阵的对角线元素起作用，而非对角元素仅由集中参数决定。因此，当集中参数被消掉时，就可以写出十分简单、快速的算法。但是，事实上并没有这样的限制。与此相反，最近，稀疏技术和最优有序消元[10]求解线性方程的方法取得了令人瞩目的进展，并已被纳入算法，该算法自动包含受限情况的快速解决方案，但仍保留完整的通用性。
2 单相网络解决方案
用于暂态的数字计算机解决方案必须是一个沿时间轴以可变或固定步长Delta;t进行的逐步过程。当采用固定步长时，假设从t=0时的初始条件开始，系统的状态可在t=Delta;t，2Delta;t，3Delta;t等处找到，直到达到特定情况的最大时间tmax。在求解t时刻的状态时，先前的状态在t - Delta;t，t - 2Delta;t等时刻都是已知的。这种“过去的历史数据”中有限的部分是用于线性化的特征方法以及用于集中参数的积分梯形法则。在第一种情况下，必须得到等于满足线性条件的时间区间；而后一种情况下，仅限于上一步。通过记录过去的历史数据，两种方法的方程可以用简单的等效阻抗网络来表示，然后从这些网络中导出节点公式。
无损线路
虽然特征方法适用于有损线，但它产生的常微分方程不是直接可积的[8]。因此，现在可将损失忽略不计。考虑单位长度无损线路的电感L#39;和电容C#39;，可在点x处列电压电流方程如下：
（1a）
（1b）
d#39;Alembert首先提出的一般解决方案是：
（2a）
（2b）
其中f1(x-vt)和f2(x vt)是变量(x-vt)和(x vt)的函数。f1(x-vt)在物理上可解释为以正向速度v行进的波，f2(x vt)是向后行进的波。公式(2)中的Z是浪涌阻抗，v是相位移动速度
（3a）
（3b）
式（2a）乘以Z并将其结果加到式（2b）或从式（2b）中减去其结果可得出：
（4）
（5）
值得注意的是，在式（4）中，当（x-vt）是常数时，表达式（e Zi）是常数，而当（x vt）是常数时，在式（5）中（e-Zi）是常数。表达式“（x-vt）=常数”和“（x vt）=常数”被称为微分方程的特征。
式（4）的意义可以用以下方式来形象化：一个虚构的观察者以速度v沿正向行进，那么线上的（x-vt）和（e Zi）两点相对他来说是不变的。如果从线的一端到另一端的行程时间是
（6）
（d表示线的长度），那么当观察者在(t-tau;)时刻离开节点m时的表达式(e Zi)与在t时刻到达节点k时的表达式仍然是相同的，即
（如图1所示电流）从这个等式可得出ik,m的简单二端口网络方程
（7a）
等效电流源Ik和Im，在时间段[t-tau;,t]内已知，则
（7b）
图1 (a)无损线路 (b)等效阻抗网络
图1（b）是相应的等效阻抗网络，完整描述了其末端的无损线路。在拓扑上，线路末端没有连接，另一端只能通过延迟时间为tau;的等效电流源I后间接知道。
电感
对于图2所示分支k,m的电感量L，我们可以得出：
（8a）
从t-Delta;t时刻的已知状态积分到的t时刻的未知状态：
（8b）
使用梯形积分法则可得分支方程：
（9a）
其中等效电流源Ik,m的大小可以从历史值中再次获得：
（9b）
用梯形法则离散化后会产生阶数(Delta;t)3的误差，如果Delta;t足够小并且减小一半，那么误差可以预期减少1/8。请注意，计算积分方程（8b）的梯形法则和（8a）中一样，是将微商替换为（t-Delta;t）与t之间中点处的中心差商，假设e是由线性插值法求得。图2为式（9）所对应的等效阻抗网络。
图2 （a）电感 （b）等效阻抗网络
电容
对图3所示分支k,m的电容C列方程
可以再次与梯形法则相结合，从而得出：
（10a）
等效电流源Ik,m的大小可以从历史值中获得：
（10b）
等效阻抗网络如图3所示。其形式与电感相同，离散误差也与电感相同。
图3 （a）电容 （b）等效阻抗网络
电阻
为了体现完整性，我们添加了电阻的分支方程（图4）：
（11）
图4 电阻
节点方程
如图1-4，网络的所有组成部分都可以用等效阻抗网络来替代，任意系统节点方程的建立就变得非常简单。这些处理过程都是大家所熟知的[3]，这里不再赘述。因此可得出系统在t时刻的状态线性代数方程组：
（12）
其中：为节点导纳矩阵，为t时刻节点电压的列向量，为t时刻注入节点电流的列向量（从参考点到节点之间的特定电流源），为已知的列向量，由已知的等效电流源I组成。
值得注意的是，只要Delta;t保持不变，实对称导纳矩阵[Y]也保持不变。因此，在没有其他特殊情况下，使用固定步长Delta;t来完成工作。矩阵[Y]的生成遵循稳态分析中节点导纳矩阵生成的规则。
在式（12）中，部分电压将是已知的（给定的激励源），而其他电压将是未知的。假设把所有节点细分为电压未知的节点子集A和电压已知的节点子集B，也可以相应地将式（12）中的矩阵和列向量细分，由此可得：
未知向量可由下式求得：
（13）
其中：。
如果Delta;t不变，相当于在每个时间间隔内用一个常系数矩阵[YAA]求解一个线性方程组，每个时间间隔内方程（13）的右边部分必须重新计算。
实用计算
在进入时间步进循环之前，方程（13）最好通过增广矩阵[YAA]、[YAB]的三角分解求解。之后将相同的解决过程扩展到矢量[Itotal]正向解决方案的每个时间间隔中，再将结果回代，可以得到[eA(t)]，如图5所示。[YAA]，[YAB]中的小部分元素非零，利用这种矩阵元素的稀疏性，计算机可仅存储三角化矩阵的非零元素而不是存储整个矩阵，从而优化计算机运行程序的时间及存储空间[10]。
图5 线性方程的解法
图6 暂态程序流程图
如果节点仅通过无损线连接，从节点到参考点直接的集中参数为R、L、C，则矩阵[YAA]将简化成对角矩阵，此时，可以逐个求解节点方程，有些程序就是基于这种受限制的拓扑结构来实现的。然而，稀疏技术自动兼容了这种简化过程，更适合于一般的网络拓扑，而是特定的网络拓扑。
列向量[Itotal]的构造主要是一个不断重复的操作。在正向求解之前，将指定电流源形式的激励[iA(t)]和-[IA]中的历史数据输入到[Itotal]中；[Itotal]构造完成后，将上一时间间隔的电压作为指定电压源[eB(t)]输入到[e(t)]中。激励值可以直接从显示器上逐步读出，或者由标准化函数（正弦曲线，矩形波等）计算得到。激励可以是电压源和电流源的任意组合，或者也可能没有激励源（如电容器放电）。得到[eA(t)]后，历史数据被刷新，并且同时为下一时间间隔构建向量[Itotal]（参见图6中的流程图）。附录I和II中可以找到记录的历史数据和非零初始条件。
线路电阻的近似
忽略线路损耗使得特征方法得到大大简化，这种简化同样也适用于满足R#39;/ L#39;= G#39;/ C#39;（其中R#39;为串联电阻，G#39;为单位长度的分流电导）的无畸变线路，唯一的区别就是Ik的计算方法不同（Im也类似）：
不幸的是，电力线路并不是无畸变的，因为G#39;通常可忽略不计（如果考虑电晕，电压则会非常复杂）。
分流电导G#39;=0的分布式串联电阻可以用将线路视为无损线路并其两端添加集中电阻的方式简单近似。当线路总长度被分成许多线段时，这种集中的电阻就可以插在线路上的许多地方。有趣的是，迄今为止测试的所有案例在少数或多处插入的集中电阻之间没有明显差异。图13表明，在3、65和300个地方插入集中电阻的实际电压曲线都是相同的。目前，BPA程序自动将两端的R/4和线路中间的R/2相结合（R是总串联电阻）；在这些假设下，图1所示的等效阻抗网络仍然有效，只不过数值稍有变化（Im与Ik类似）：
其中：
大地回路和导体表面趋肤效应导致R#39;与L#39;频率相关联，因此难以很好地用表达式描述线路，BPA计划在第四节进一步探讨这个问题。
开关
网络中可能包含任意数量的开关，都可以用指令来改变它们的开合状态。开关的状态都是理想的（闭合时R=0，打开时R=infin;），然而，任何分支可以通过串联或并联开关来模拟物理特性（如时变或大小随电流变化的电阻）。
当网络中只有一个开关时，最好为开关打开创建矩阵，用叠加节点电流的方式来模拟开关的闭合状态[2]。随着网络中的开关越来越多，当开关状态发生变化时最好重新构建[YAA]、[YAB]。但是，每次更改后并不需要重复整个三角分解的过程。与开关相连的节点放在矩阵的底部（如图7），三角分解仅针对没有与开关连接的节点（三角矩阵的上部分），这也使与开关相连节点（假定开关打开）矩阵的简化变得更加容易。当开关状态改变时，首先修改这个简化矩阵，以反映实际的开关位置（如果关闭：添加相应的行和列，并用较高编号的节点来代替闭合前的两个节点），然后三角分解就完成了（三角矩阵的低阶部分）。该方案包
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