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具有动态松弛的固定点流固耦合求解器
Ulrich Kuuml;ttler · Wolfgang A. Wall
摘要：重新研究了具有动态松弛的定点流体 - 结构相互作用（FSI）求解器。 近年来获得的新发展和见解激励我们在广泛的应用领域中提供简单和稳健的FSI解算器。 特别强调Aitken#39;sDelta;2法和最速下降法计算松弛参数。 这些方法已被证明是高效FSI模拟的关键组成部分。
关键词：流固耦合作用；定点解算器；Dirichlet-Neumman分区；强耦合
1.介绍
流体 - 结构相互作用（FSI）问题的数值求解器的发展在过去十年中一直是一个活跃的研究领域。 可靠的FSI求解器在气动弹性多样化的领域被要求[8,21]， 土木工程 [41]或血流动力学[2,16]。 尽可能广泛的应用领域是解决方案所面临的要求：空气动力学应用可以将轻型可压缩流体与刚性结构（例如飞机机翼）或轻型不可压缩流体耦合至非常轻的结构（例如降落伞或风帆），而血液动力学模拟可以将不可压缩的液体和柔韧的结构与密度相当。 因此，不能有一个满足所有需求的FSI解算器。 相反，需要各种解决方案程序。
FSI问题的一个特别有趣的类别，也就是许多领域的合适模型，是相互作用的
具有经历大变形的结构的不可压缩流体。 在这种情况下，流体和结构这两个领域都面临着计算上的挑战。 而且耦合仍然是一项非常重要的任务，因为大型结构变形对流场的尺寸和耦合解产生巨大影响。 通常情况下，有复杂的现场解算器可供重复使用。 这对可能的耦合方案提出了进一步的限制。 当然，单片解算器一次处理非线性耦合问题[2,18,19,36]，但是这些方法需要访问现场求解器内部，并且不能用黑盒求解器来追求。 模仿单片解算器行为的分区方法也是如此[7].
一种可以重新使用现有场解算器的分区策略是Dirichlet-Neumann分区，FSI解算器的主要分区方法。 最流行的耦合方法是定点方法[27, 30,40]和接口Newton Krylov方法[10,15,16]。 建议的其他求解器包括具有有限差分非对角块的块牛顿求解器[25]和基于矢量外推法的求解器[26,37]。 也可以看看 [33,34]的FSI求解器框架，其中包括分区块迭代和准直接耦合求解器以及单片解算器。
这种方法中最基本但最有效的方法是具有动态松弛的定点方法，如[27,40]。这是非常容易实现，令人惊讶的效率和强大。 因此，在许多情况下，这是选择的方法，并且如果追求FSI或其他耦合问题的新尝试，则这是特别优选的方法。 但不幸的是，该方法从未在期刊上发表过，但仅在两次几乎没有的会议记录中发表[27,40] 至今。 本文最后通过该方法对Aitken松弛法和松弛法进行进行了详细的处理在定点迭代FSI解算器的情况下，最速下降。 我们尽可能给予简单的介绍。 然而，这并不意味着仅仅重申原来的作品[27]。 FSI问题的不断研究和FSI求解者数量的不断增加刺激了目前贡献中反映出来的观念的微妙变化。 现在，人们更加强调非线性界面问题的制定，该问题适用于许多非线性解决方案。 非线性场解算器放置在不透明接口方程式的后面本文的其余部分组织如下：2 场的方程组和耦合条件使用Dirichlet-Neumann分区的点解法器见下文。3 有关可用放松方法的详细信息，请参见Sect。4。 最后在第二部分显示了两个例子。5.
2.场方程
FSI问题域由不重叠的流体和结构域Omega;F和Omega;S组成。 两者共享一个通用接口Gamma;。 在不可压缩流体与弹性体相互作用的情况下，为流体场的未知数选择速度u和压力p，而未知的结构场是位移d。
当然接口位移dGamma;确实会改变接口位置xGamma;x0,Gamma;dGamma;相对于起始位置x0,Gamma;的位置。 因此，运动学连续性表明，随着流场的界面速度uGamma;，整个流体域Omega;F随时间而变化。 动态连续性表明应变在变形界面处相等。
=
2.1结构域
其中rho;S和bS分别代表结构密度和体力。 第二个Piola-Kirchhoff应力张量S与Green-Lagrangian张力有关
其中C表示材料张量，F d表示变形梯度。 时间依赖问题（2）受制于初始条件和边界条件
2.2流体域
流体速度u和压力p由不可压缩的Navier-Stokes方程控制
矢量场bF表示特定的体力，rho;F表示流体的密度。 在FSI模拟的情况下，由于移动界面Gamma;，流体域Omega;F随时间变化。 考虑域变化的一种方法是考虑整个流体域不断变形，从界面位移dGamma;开始。 这是规定一个独特的映射
x =phi;（dGamma;，x0，t） (6)
与界面位移相匹配的流体域。 这要求任意拉格朗日 - 欧拉（ALE）公式[9,12]的Navier-Stokes方程和（4）更改为
ALE对流速度为cuuG，域速度为uGpart;phi;/part;t。 牛顿流体的应力张量由下式给出
表示应变速率张量，mu;表示粘度。 运动粘度由nu;给出 mu;/rho;F。
偏微分方程（7）受制于初始条件和边界条件
=
2.3耦合FSI系统
方程的空间和时间的适当离散化（2),
(5）和（7）和流体域映射的特定版本（6）以及离散版本的耦合条件（1）导致以下非线性代数系统
3 Dirichlet-Neumann耦合方案
系统 （10)–(14）构成一组耦合的非线性代数方程组，每个时间步需要解出一次。 Dirichlet-Neumann分区可以用来解决这个系统，其中流体场成为具有规定界面速度un 1的Dirichlet分区，并且结构场成为加载界面力fF，N 1的Neumann分区。 通过这种方式，现场解算器保持彼此独立，并且可以使用黑盒解算器。
3.1求解器耦合
这同样适用于网格和流体方程。 然而，在流体方程的情况下，所有压力自由度属于域的内部，并且在进一步的符号中被包含在变量uI中。 此外，由于Dirichlet-Neumann耦合，流体网格位移在流体求解器执行期间是已知的，流体操作变成
4 放松方法
界面位移的松弛（35）不过是非线性求解器的线搜索步骤[17,22]。 形成机制，这些已知的解算器技术也可以在这里适用。
4.1固定松弛参数
最简单和最无效的方法是为所有时间步选择固定参数omega;。 松弛参数必须足够小以保持迭代不发散，但是尽可能多地使用尽可能多的新解决方案，并避免不必要的FSI迭代。 最优的omega;值是问题特定的并且不是先验已知的。 此外，即使最佳固定值也会导致比合适的动态松弛参数更多的迭代。
4.2 艾特肯松弛
FSI问题已经在[27,40]使用Dirichlet-Neumann分割方法结合基于Aitken#39;sDelta;2方法的定点求解器，如[20]。 这种方法已被证明是惊人的简单和高效。
Aitken的Delta;2方法的核心思想是使用前两次迭代的值来改进当前的解决方案。 在FSI情况下，两对界面位移，在标量的情况下可变成
5 数值例子
5.1带底部灵活的驱动腔体
第一个例子是一个简单的带有柔性底部的二维驱动腔（图1）。1）已经在[38]并从那以后被用于各种数值研究，例如[13,27]。 有一个单位方形腔体，顶部有一个规定的周期性速度驱动的灵活底部。 流体域用稳定的Q1Q1单元离散化成均匀的32times;32单元网格。 在每一侧有两个不受约束的节点，允许流体自由流入和流出。 这样结构位移不受流体不可压缩性的限制[24].
times;
对流体压力的主要阻力源于其质量，即其密度。 这允许计算具有不同结构密度的一系列测试案例，这给耦合算法带来了越来越大的困难。
在所有测试案例中，时间步长为Delta;t0.1s。 非线性流体和结构解算器中的容差标准被设定为非常低的值alpha;F=10minus;10和直接解算器已应用于线性场
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·
方程。 通过这种预防措施（这些措施只适用于非常小的示例），可以保证FSI迭代的收敛速度不受不精确的场解算器的限制。 FSI接口的收敛容限（34）被设置为alpha;1 10minus;7。
数字2 显示流体压力在时间点t= 7.5 s时的流体域变形，流体流速范数和等值线。 空腔顶部的速度矢量是规定的边界条件。
这个问题已经被Aitken放松，最陡的下降松弛和固定的松弛参数omega;=0.825解决。 通过反复试验发现固定omega;的这个值是第二组示例计算中的最佳选择。 Aitken方法允许的最大开始放松（45）已被设置，对于最陡下降松弛计算界面雅可比行列式（37）乘以界面残差是基于场解算器的衍生物（55）如[27].
=
=
为了比较牛顿方法与无矩阵解算器也被用于非线性界面方程（33）。 两种版本的矩阵向量积近似，有限差分（54）与lambda;=1 10minus;4和评估基于场解算器衍生物（55）已被应用。 这些版本分别标记为FD MFNK和MFNK。 在有限差分近似中的第二次剩余评估（54）场解算器仅限于一次线性求解以节省计算时间。 参见[10,15,16]用于FSI问题的Newton Krylov方法的算法细节。
= ·
第一组运行，如图1所示。3，结构密度rho;=S5 000 kg / m3显示了一个有趣的巧合，因为大多数耦合方法需要三次FSI迭代。具有固定松弛参数的耦合方法和具有艾特肯参数的耦合方法。 然而，每次迭代所需的时间对于不同的方法而言是不同的。 非常便宜的Aitken方法，每次迭代只需要一个FSI周期，需要与最速下降方法相同的计算时间。 这里最慢的方法是基于有限差分的无矩阵Newton Krylov方法，每个FSI迭代需要更多的接口残差评估。
=
这些以及所有以下时序已经在双处理器Opteron节点上完成，并在两个处理器上执行基于MPI的代码。 测量的时间是耦合求解器的执行时间。 当然，这些时间是用一小撮盐进行的，总体情况表现得很好，但是在同一个问题的多次运行中可能出现的小变化没有考虑在内。
降低结构密度至rho;=500公斤/平方米3 导致耦合算法的工作量增加，参见图2，图3，图4
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现在牛顿克雷洛夫方法比固定点方法需要更少的迭代，但忽略牛顿克雷洛夫方法中流体场对网格运动的依赖会导致迭代明显增加。 时间表明，对于所有耦合方法而言，工作量确实增加了，并且没有什么巨大的。
不同方法之间所需计算时间的差异。 现在最快的是Aitken方法和基于Newton Krylov方法的有限差分。最终减少到50 kg / m3，参见图5
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导致一个具有固定参数的发散松弛法。当然，这可以通过选择一个更小的omega;值来解决，但是由于这不是一个推荐的方法，所以在这一点上会被放弃。 还有两点需要注意的是，Aitken方法比最速下降方法有明显的优势，并且近似的Newton Krylov方法在第一个规定的速度周期后看起来不太好。
时间证实了这张照片，并且有趣的是Aitken方法和基于牛顿克雷洛夫方法的有限差分再次接近。 然而，结构密度的进一步降低最终会导致牛顿克雷洛夫方法比艾特肯方法解决得更快的问题。 为了进一步了解定点耦合算法的行为，可以使用松弛参数omega;i在特定时间步中的行为。 作为例子，我们选择rho;S中的第31步，
=
在这一步中，Aitken和最速下降方法所需的迭代次数非常相似。参见图6.
事实上，在一次FSI交互期间，松弛参数变化很大。 特别是艾特肯版本似乎并没有遵循一定的模式。
5.2柔性管中的压力波
第二个例子是柔性管中的3d流动，因为它已经在[10,15]。 这个例子是由血液动力学中遇到的问题的类型驱动的。 该管具有l = 5cm的长度，ri的内半径= 0.5cm和ro的外半径= 0.6cm。 结构密度为rho;Slt;
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