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马尔可夫链在新的股票定价预测模型中的应用
Jui-Chieh黄a，黄文祖b，朱培祖a，李文义a，Hsin-Ping Pai a
Chih-Chen Chuang c，吴亚文c
a：台湾台北市台北商业大学工商管理系 b：北京理工大学商学院物流系，珠海，唐家湾，珠海，广东，中国 c：台湾台北市台北工业大学工业工程与管理系
摘 要
本文建立了一个股票预测模型来分析与台湾公司HTC相关的股票价格变化。与以往文章主要区别在于，本研究使用了近十年来HTC的数据来构建马尔可夫转换矩阵。我们不是试图通过传统的股票价格问题来预测股票价格的变化，而是整合了两种以不同方式使用的马尔可夫链。一个是正规马尔可夫链，另一个是吸收马尔可夫链。通过一个正规的马尔可夫链，我们可以获得重要的信息，例如，长期发生的事情或者国家的分布是否趋向于以一种有效的方式随时间稳定。接着，使用人工变量技术来创建吸收马尔可夫链。从而使用了一个吸收马尔可夫链来提供有关在达到HTC股票下跌状态之前增长期间的信息。最后，我们向投资者提供有关HTC股价在价格开始下跌之前会持续增长多久的信息，这对他们来说是非常重要的。
引言
马尔可夫链提供了一种通过简单矩阵计算来分析未来条件的好方法。只要我们掌握了足够的数据，我们就可以通过使用马尔可夫链轻松预测我们需要的基本信息，例如关于未来市场份额，客户偏好以及获胜游戏概率的信息。此外，我们甚至可以获得有关股票在价格开始以马尔可夫链下降之前会增加多久的信息。与其他预测模型相比，它是一种计划工具，可帮助我们应对未来的不确定性。例如，如果某些事情是不确定的或不可预测的，这意味着我们不确定接下来会发生什么，所以我们需要建立一个主要依赖于过去数据的预测模型。一般来说，人们倾向于通过媒体或互联网寻找他们想要的信息。然而，他们的可信度和准确性值得怀疑。事实证明，有时候我们失去了资金，但却对预测模型很有信心。因此，在这种情况下，我们需要开发一个可行和可靠的预测工具来解决这个问题。马尔可夫链只与当前的数据相关，在预测未来的能力方面提供了一些具体的优势。它可以避免传统预测模型产生的缺陷，基本依赖于过去的数据。因此，本文选择马尔可夫链作为分析证券市场股票长期行为的主要工具。股市连接供需关系，这意味着愿意出售的投资者会在股票市场上找到其他特定投资者的需求。此外，股价会受当地或全球经济状况影响；它也呈现了公司的受欢迎程度和价值。总之，我们的目标是建立一个基于马尔可夫链来分析股价波动的可靠的预测模型。
在本文中，我们构建两种马尔可夫链来获取我们想要的信息。一个是常规马尔可夫链，另一个是吸收马尔可夫链。常规的马尔可夫链使我们能够知道长远来看会发生什么，例如，股价在特定状态下上涨。然而，若投资者希望了解股票会涨多久，常规的马尔可夫链则无法给出我们想要的答案。沙利文（Sullivan）（2011）表示，当且仅当马尔可夫链包含至少一个吸收状态并且在一个或多个试验中可能从任何非吸收状态变为吸收状态时，它是一个吸收马尔可夫链。因此，我们将引入一个吸收马尔可夫链来解决这个问题。我们使用最近十年来在道琼斯美国雅虎门户网站收集的高科技计算机（HTC）公司股票的数据。首先，我们建立一个马尔可夫转换矩阵并将其转换为初始概率分布。为了验证这个矩阵是否是规则的，我们将这个矩阵乘以足够高的权数。事实证明，转型矩阵的较高权数具有类似的解释：当所有的值都是正数时，它被称为正规马尔可夫链。可以看出，我们收集的来自HTC股票问题的马尔可夫链是一个普通的马尔可夫链。为了精确地形成预测信息，我们将常规马尔可夫链变成一个吸收马尔可夫链。假设我们知道，在未达到减少状态之前，HTC股票在增长状态中花费多长时间，那么我们可以假设减少的状态是吸收状态，用1代替当前概率，并使所有其他元素为0。最后，我们获得的吸收马尔可夫链的基本矩阵可以回答股票在其价格之前会增加多久开始下降。
本文的其余部分如下：下一节介绍了使用马尔可夫链来解决过去预测问题的文献。第3节描述了我们在本文中使用的方法和等式。第4节举例说明了HTC的一个例子。最后一节介绍结论。
文献综述
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- 期权定价和贷款估算模型
陈（1998）使用了Ritchey的有限混合期权定价模型（1990），但通过用一个有限马尔可夫链替换他的非组合二项概率树来改变它，以防止组分分布的数量爆炸。因此，该模型比Ritchey的计算效率更高，因为组分分布的数量是固定的，并且通过Chapman-Kolmogorov方程可以更容易地计算转移概率。 加布里埃拉等人（1998）根据墨西哥国家银行委员会（MNBC）为内部评级目的获得的数据引入了一个模型。MNBC估计了一个马尔可夫链，它反映了银行贷款恶化的不同阶段。转换概率是根据226次贷款的随机抽样进行估算的。
在十三个月内，该模型采用与通常定价模型完全不同的方法，因为它基于对价格概率分布的估计，而不是试图直接预测中标。该方法可以在估计的最高出价范围内缩小置信区间，这似乎随着出价人数的增加而提高。因此，可以计算贷款遵循任何特定轨迹的概率，在贷款期限内在任何特定状态中花费的平均时间相等。该论文讨论了一个似乎表现良好的随机估值模型，该模型在估计现金流量和测试违约情况的不同假设，担保止赎，诉讼费用等方面显示出很大的灵活性。此外，它还可以详细了解贷款条件的不确定性，担保估值，缺乏贷款信息或销售条件，且解释行政和尽职调查成本相对容易。最后，中标的置信区间相当窄，随着竞标人数的增加而改善。Ghezzi和Piccardi（2003）通过使用马尔可夫链提出了一种新的股利估值模型。在该论文中，对股利增长率是离散变量的估值问题提供了一般性处理。为此，在股利增长率的每个可行值上附加一个固定的马尔可夫链状态。在推导现有条件时，估值问题转化为一个线性方程组，其中未知数是价格-分红比率，每个比率对应于马尔可夫链的不同状态。当上面提到的独立同分布随机变量的假设放宽时，这个过程也是成立的。他们的估值设置延伸了Gordon和Shapiro的设置（1956），赫尔利和约翰逊（1994）和姚（1997），更强调应如何更新预测。它基于一个固定的马尔可夫链，其中每个状态对应于股利增长率的可行值。在最普遍的情况下，未来的前景是依赖于状态的，所以当从一个状态转移到另一个状态时，预测会被隐式更新。他们认为，估值模型使读者能够掌握股票市场的基本原理，而不涉及误导性的分析微妙之处。毋庸置疑，如果要获得可靠的转移概率估计值，股利增长率的范围必须包括代表值。
陈（1998），Gabriela等人（1998），和Ghezzi和Piccardi（2003）的研究关注有限混合期权定价模型，股息估值模型和利用马尔可夫链的贷款估算模型。他们用不同的方式预测不确定的未来，并提高预测信息的准确数量，但没有包含简单预测模型的使用。相比之下，我们专注于预测股市的长期状况。为了分析股票价格，我们提供了这个简单的预测模型。
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- 信用评级和管理质量模型
Costa和DeMagalhatilde;es（2005）采用指数分布来描述在开发成本函数时利用马尔可夫链方法保持控制的过程的时间长度。第一阶段筛选基于替代变量，第二阶段筛选的基础是性能变量，认为这两个阶段都是基于与绩效变量相关的变量。使用两阶段控制图的重要原因是通过探索代理变量来节省资金。徐和李（2006）为中国A股上市公司的管理质量开发了马尔可夫链模型。他们发现马尔可夫链模型反映了中国A股上市公司管理质量的变化趋势公司更准确。Kaniovski和Pflug（2007）为具有非违约信用评级的所有资产的一步联合分配和损失分配的生成函数找到了生成函数。这项研究的主要动机是抵押债务（CDOs）。它们包括具有不同信用评级的贷款和债务工具。根据马尔可夫转换矩阵，相信每家公司都会在信用评级之间迁移。弗里德曼和舒尔曼（2008）提出了一个罕见的模型，它是两个马尔可夫链的混合体，根据经验证据混合两个速度体系，一个是缓慢的，另一个是快速的。该论文考虑了与现有文献中讨论的不同类型的非马尔可夫行为，并提出了非马尔可夫模型，该模型是连续时间齐次马尔可夫链的推广。他们发现，两家具有相同现有信用评级的公司可能具有明显不同的未来评级分布，并且对商业周期或产业集团状况的调整并不能消除移动速度的异质性。
上述文献的主要动机是使用马尔可夫链来预测过程的成本函数和每家公司信用评级之间的偏差。然而，本文应用一个常规和吸收马尔可夫链来分析股票市场预测模型的波动，例如股票在价格开始下跌之前会增加多久，这对投资者非常有用。
2.3 美式期权
Costa和Machado（2011）提出了使用纯马尔可夫链方法来确定X图表执行方式的想法。他们将X图表的性能与可变参数和X图表的双重采样进行了比较。该论文的目的是表明纯马尔可夫链方法可以研究具有可变参数（VP）的X图和具有双重取样（DS）的X图的属性。这些发现使得VP和DS图表的设计和实施更容易，并且具有更好的整体性能。Simonato（2011）研究了在对数正态跳跃扩散情况下计算美式期权价格的数值方法。该方法使用过程的已知转换密度来构建离散时间齐次马尔可夫链来逼近目标跳跃扩散过程。本文考察了马尔可夫链方法如何利用已知的股票价格转换密度构建近似马尔可夫链来计算跳跃扩散背景下美式期权的价格对数正态跳跃。综上所述，本文提出了一种马尔可夫链方法来定价对数正态跳跃扩散框架中的美式期权，所提出的方法在数字上显示为随着马尔可夫链状态的数量增加而平稳地收敛到基准值。他建议进一步的研究可以检查和比较递归整合方法，该方法也使用股票价格的转换密度来计算衍生品价格。Hoek和Elliott（2012）表示他们的论文的主要贡献是评估马尔可夫链动力学框架下的一般有限到期美式期权。动态框架由有限状态马尔可夫链驱动。在他们的论文中，一个金融市场模型被认为是一个有限状态马尔可夫链描述不确定性的地方。
这些研究使用不同的马尔可夫链模型，如纯粹的，均匀的和有限的类型来研究跳跃-扩散背景下美式期权的性质和计算价格，并用对数正态跳跃来估计一般有限到期美式期权。 迄今为止，上述有关期权定价，贷款估计，信用评级，管理质量和美式期权的论文都忽略了在股票市场上的简单使用预测模型。与之不同的是，我们的研究试图基于相关文献未采用的吸收马尔可夫链为股市投资者提供可靠和新颖的预测模型。
2.4 优缺点分析
由于通过文献综述中提到的这些方法的优点和缺点的重要性，我们创建了一个小节来作出详细的陈述。期权定价和贷款估计模型的优点是显示价格的概率分布，风险中性估值的BS公式，离散随机变量和线性方程，由Chen，Gabriela等人（1998），和Ghezzi和Piccardi（2003）。这些作品使数学和期权贷款问题之间的关系良好。一方面，这些模型的缺点可能在实践中不能提供可接近的方法和应用实例。这些缺点激发了研究的兴趣，因此我们研究的优势是建立一个规则的马尔可夫链，这对于股票定价来说是极其有意义的。
另一方面，信用评级和管理质量模型的优点已经很好地界定了经济设计的成本模型，它使用Antonio等人的性能变量（2005），徐和李的管理质量概率矩阵（2006），通过Kaniovski和Pflug的个人迁移和跨部门链接的信用风险模型（2007）以及使用通过Frydman和Schuermann的替代慢速和快速混合模型的评级历史特定转换矢量（2008）。这些贡献通过马尔可夫数学和信用评级以及管理质量形成了明确的联系。但是这些方法的缺点并不能在实践中给出一种可访问的方法和应用程序说明。而且，这些缺点激发了我们的工作，因此，我们研究的优势在于建立另一个可用于股票定价的吸收马尔可夫链。
关于美式期权模型的优势，Costa和Machado（2011），Simonato（2011）和Hoek和Elliott（2012）都将他们的工作贡献给了可变参数方案和双采样的X图表，具有均匀性质的跳扩散框架混合以及具有随机折现函数的Saigal算法。这些贡献使每个纯数学和美国的选择有明显的联系。但这些模型的缺点不能提供可行的方法并在实践中应用答案。另外，已有研究的缺点激励了本文的进一步研究和探索。因此，我们研究的优势在于建立替代的人工变量技术来增强我们的吸收马尔可夫链，这对于股票定价是可行的。
研究方法
在本节中，我们介绍了以不同方式使用的两种马尔可夫链模型。一个是第一阶段方程式及其初始转换矩阵P的正规马尔可夫链模型，另一个是第二阶段方程式的吸收马尔可夫链模型。通过一个常规的马尔可夫链模型，我们可以获得重要的信息，比如长期发生的事情或者国家的分布是否趋向于以有效的方式随时间稳定。接下
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