英语原文共 10 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
复杂振荡和可去集合
J.K.Langley
数学科学学院，诺丁汉大学，大学公园，诺丁汉NG7 2RD，英国
由David J. Hallenbeck提交
在1998年9月1日被承认
假设A是有限级的超越整函数，E是方程的线性无关解的乘积。我们证明了年轮序列的存在以至于如果E在的并集中有相对较少的的零点，那么E在整个平面中都有较少的零点。
1.引言
设A为整函数，，为方程
(1)
的线性无关解，并规范化使得Wronskian行列式满足，Bank-Laine 乘积函数满足在E的每一个零点z处有，且满足关系
(2)
反之，任意整函数E如果满足在E的每一个零点z处有，那么由文献[2]可得：(2)式所定义的函数A是整函数，并且E是方程(1)的线性无关解的乘积。
近年来的这方面的工作主要研究方程解的零点的收敛指数与系数A的增长级的关系，这些定义如下：
, .
注意到
由条件
A是超越整函数，， (3)
可得是一个正整数，在文献已经证明了条件 (3)意味着，并且E是有限级[1]。进一步的结果在和其他之处。
文献[11]中首次关注了集合D在以下意义上是可移除的存在性问题：如果A具有有限级，且E中除D以外的零点具有有限收敛指数，那么是有限的，从而也是。
定理A[11] 设常数，，满足，。设是一个趋近于无穷的正数列，并且对于任意的正整数m满足。设是一个实数列。设D为集合
的并，设A是一个有限级的超越整函数，并且是(1)的相性无关的规范解的乘积，最后假设E的零点在D的补集中有有限收敛指数，那么E有有限级。
因此，如果E有除D以外的相对较少的零点，那么E就在整个平面上有相对较少的零点。在文献[11]中，定理A的一个缺点是，需要联系可去集合D的补集来证明，这是基于文献[18]的部分方法。作为进一步的结果[11，定理3]取消了这种限制，但是需要更强的假设条件，即存在至少一条具有多项式增长的射线，也即. 这里我们证明在定理A中出现的对数矩形可以用环代替，对系数A除了是有限级的超越整函数外没有其它附加条件，由此产生的结论是可去集合有不连续的补集。我们用文献[12]的部分简化的方法比文献[11]的方法更直接。
定理1 假设K、M是正常数满足，A是有限级的超越整函数，是方程(1)的线性无关的规范解的乘积。假设这里存在趋近无穷的正数列使得每个大的正整数m环中E的零点个数
不超过. 则
, (4)
定理2 令K，M，A，E，同定理1的假设，并且假设
(5)
那么E有有限级。
因此，根据定理2的假设， 的并集的补集是上面描述的一个可去集。在定理1、2中的条件A是有限级不是多余的。例如假设H为整函数，在圆上有个普通零点，对于任意的正整数m都没有其他的零点。如文献[16]所选，利用Mittag-Leffler插值，一个整函数g得到满足对于这些中每一个零点都有，那么E就是方程(1)的线性无关的规范解的乘积，并且，虽然E在环上没有零点。
2.证明定理1所需要的引理
引理1 令K，M，A，E，同定理1的假设。并且存在正常量，有下列性质，如果m是一个足够大的正整数，在中存在使得
, (6)
并且使得E在圆盘上没有零点。
证明： 我们用c表示一个与m无关的正常数，c每次出现时不一定相同。我们首先注意到根据[12,p.508]，或者利用文献[7]中的Herold的比较定理，方程(1)的规范解
对于大的r满足
, (7)
我们可以选择s满足，使得s对于文献[6,17]中Wiman-Valiron理论来说A是正常的。这意味着如果并且，那么我们有
(8)
并且
, (9)
对于z属于，这里
. (10)
这里是A的中心指标，并且假设s位于一组有限对数的测度之外，可以假设满足
(11)
定义
, . (12)
我们也可以以这样的形式表达(8)：
，
对于z属于以至对于z的属于有，因此对于z属于从到z沿着一部分射线和部分环整合，沿着的路径长度为，给与
。
因此
(13)
对于z属于，进一步的，
对于z属于，由于Z是局部单价的，根据文献(12)函数Z在中，至少有一个简单孤立的单一映射到闭合区上，由(11)的
, ,
(14)
给定，当s足够大时，也是大的。
为引理1证明的下一步，我们应用了文献[8,9]的Hille的渐近方法来局部模拟。这个方法发展于文献[12]，我们书写为
(15)
对于z属于和Z属于，其中w是方程(1)的一个解。方程(1)转换为
，
. (16)
根据(9)，我们有属于。根据文献[12,引理1]，方程(16)存在解，满足
,
, (17)
属于。我们写作：在中，对于,
， (18)
对于常数，，，，选择属于使得满足
， ， .
然后利用(9)，(11)，(14)，(17)和(18)我们有
, ,
. （19）
进一步的，文献(17)和Wrongskians给出的标准性质
属于。因此等式
和等式(7)和等式(19)给出了
, (20)
利用(14)，并且同样的估计也适用于，，。
我们需要对系数，，，进行进一步的估计，为了方便起见，我们称为引理2并证明。下面将完成引理1的证明：
引理2 在每一对中,至少有一项的模最多是。
证明： 假设和的模分别最多有，假设，对于z属于，Z属于，然后我们可以利用(18)和(20)写作：
, , (21)
从(14),(20)和(21)开始，在Y下的图像所覆盖的区域
,
使得中的零点至少有个。由于的每一个零点都是E的零，而是属于的，这与定理1，引理2的假设相矛盾。
我们回到引理1的证明，由于在中最多有个零点，我们可以选定属于和
和
, (22)
使得在区域
中没有零点。设为在中的前像，由于(12)和(13)
在上，满足
,
使得没有零点。在最后一个不等式中我们利用条件(11)
仅供估计。由于
属于。根据(20)和引理2，和的模最多为，和的模最多为。我们不妨假设后者就是这样的。因此，我们有
, , ,
.
进一步的，
使得使用(22)我们有
引理1证明如上。
3.证明定理1和定理2
令K，M，A，E，同定理1的假设，并且和、和引理1中的相同。设映射到单位圆盘保形映射到对数矩形上，并且。令
(23)
定义
, , (24)
通过(2)，我们有
(25)
对于中的z，由于A具有有限级，根据(7)，我们有
(26)
对于中的z，使用d表示一个与m无关的正常数，在每次出现时不一定相同。使用(6)和(26)，我们有
, (27)
由于E在圆盘中没有零点，并且在环中最多有个零点。我们有
, . (28)
在中选定s，使在下圆盘的图像包含弧线，，并且根据定义，。同样，由于F在中最多有个零点，我们可以选定r满足，这样F中没有零点满足。选定R满足，这样F在上就没有零点，并且应用分化的 Poisson-Jensen公式[5,p.22]于中的F，以估计
和，满足。这给了我们
，
如此，使用(27)得到
利用(23),(24),(25),(26)和(28)，我们现在有
因此在此利用(6)得到
由此得出如下结论：
,
并且根据的选择，有
, .
由于序列满足我们得到(4)和定理1，如果有额外条件(5)则可以马上知道E具有有限级顺序，并证明了定理2。
参考文献
1. S. Bankand I. Laine, On the oscillation theory of f' Af = 0where A is entire, Trans Amer. Math. Soc. 273(1982), 351-363.
2. S. Bank and I. Laine, On the zeros of meromorphic solutions of second-order linear differential equations, Comment. Math. Helv. 58(1983), 656-677.
3. S. Bank, I. Laine, and J. K. Langley. On the frequency of zeros of solutions of second order linear differential equations, Result Math. 10 (1986), 8-24.
4. S. Bank and J. K. Langley, Oscillation theory for higher order linear differential equations with entire coefficients, Complex Variables 16(1991), 163-175.
5. W. K. Hayman, “Meromorphic Functions,” Clarendon, Oxford. 1964.
6. W. K. Hayman, The local growth of power series: A survey of the Wiman-Valiron method. Canad.
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[463418]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
