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书名：几何学的数学史
引言
几何是什么?当我们学习几何学时，我们学到了什么?
点、线和曲面是数学家研究几何学时所研究的一些东西，但人类一直对直线和形式的问题感兴趣。来自法国拉斯科的洞穴壁画，是在上一个冰河时期拍摄的，展示了非常复杂的野生动物照片。这些美丽的图像是大约15000年前创造的。在人类历史上，它们几乎是不可想象的古老。当这些照片被绘制时，人类正在猎杀猛犸象。那是石器时代。在这些图像完成之后的几千年之前，世界上还没有任何文字语言，然而这些洞穴壁画显示，在15,000年前，洞穴艺术家对线条和形式的使用非常敏感。这是否意味着他们知道几何?如果他们知道一些几何，他们知道几何的数学题目的哪一部分?
几个世纪以来，欧洲、中东和北非的数学家们相信他们知道什么是几何学的答案。对他们来说，答案很简单。“几何”这个词是指古希腊人的几何学。这种几何形状被称为欧几里德几何，因为它是希腊数学家欧几里得最著名的一个。问题的答案是，当我们学习几何学的时候我们学到了什么?(对他们)同样显而易见:我们学习欧几里得最著名的作品《元素》中的定理和证明。这些早期的数学家没有质疑其他几何图形是否存在。这是他们相信大部分的几何形状,可以学到在早些时候已经学到了其他东西,这是留给他们的希腊几何学的问题,它们仍然需要澄清。欧几里得几何是几何学。他们认为，所有的大自然都是欧几里德几何学的一个练习。
古希腊人在几何学方面取得了巨大的进步，这是常识。近一千年的希腊文化造就了一代又一代杰出的数学家。这是一个数学上的卓越和长寿的记录，没有任何其他的文化是匹配的——无论是在之前还是之后。几乎从头开始，希腊人对数学的本质和理解数学的含义就提出了深刻的问题。他们创造了证据的概念，并且努力地将几何学建立在坚实的逻辑基础上。许多希腊的数学发现——证明和结果本身的陈述——在今天的读者看来仍然是现代的。希腊人发明了数学，因为我们现在理解了这个术语，但他们的研究对当代数学家、对几何学的理解却知之甚少。而今天数学家们认识到欧几里德几何只是众多几何中的一个。
几何学的一个更现代的定义是它是对几何性质的研究。这是一个简短而简单的回答。但这显然是一个不完整的答案，它只是将我们的注意力从几何图形转移到几何属性。
几何性质是什么?点，线，平面，角度，曲线，表面，和物体在三个(甚至更多!)维度可能都值得几何研究，但不是一个物体的每一个属性都是几何性质。三角形的形状可以被认为是一个几何性质，但它的颜色、温度和它与读者的距离都是不几何性质的例子。这也许是显而易见的，但也很重要。理解数学家研究几何的关键在于认识到物体的几何性质。
例如，想象一个平面上的三角形，它的三个边都是相同的长度。(三等边三角形称为等边三角形。)要证明这一点并不难，因为我们的三角形有三个相等的边，它也必须有三个相等的角。它有三个相等的角是它有三个相等的边的结果。我们思考的更深入一些就是:因为在三角形三个角相等,每个角度的测量必须60°。所以知道我们三角形的三个方面是相同的长度允许我们推断出三角形在我们所有的角是60°的角度。
现在假设我们把三角形从原来的位置倾斜。它还是一个等边三角形吗?它的所有角都是相等的吗?每个角还测量60°吗?我们可以确定吗，或者每次我们倾斜它或者把它移到一边，我们都需要重新研究我们的三角形吗?
我们大多数人会简单地假设，一旦我们发现了三角形内角的测量方法，我们就不需要重新建立我们的发现，因为我们把三角形移出了原来的位置。欧几里得做出了同样的假设。从一个位置到下一个位置不应改变边长或角度的测量倾斜或滑动三角形。也许这对你来说是显而易见的。也许不太明显的是，这个简单的例子也包含了理解数学家在学习几何学时所学习的东西的关键。
几何学是研究一个在特定的运动过程中不会改变的图形的性质。例如，欧几里得几何就是研究一个图形的属性，当图形倾斜(旋转)或沿直线移动（转变）时，它不会改变。当古希腊人证明某个数字有一个特殊的几何性质时，可以通过一系列的翻译和旋转，使其与原来的图形一致，这个证明也适用于任何一个地方。这意味着在欧几里德几何长度和角度测量是几何性质，因为长度和角度测量被保留在旋转（转变）。
射影几何，是文艺复兴艺术家试图在二维画布上描绘三维图形的几何图形，是一个由不同的运动集合定义的几何图形。定义射影几何的运动称为投影。投影既不保留线段的长度，也不保持角度的测量。这听起来可能有些异国情调，但事实并非如此。投影几何可以用来描述当图像从电影放映到电影屏幕时的变化。在射影几何中，两个不同的三角形可以通过一系列的射影“运动”来重合，即使最初的三角形可能有不同的形状或大小。因此，在射影几何中，两个非常不同的三角形可能是“相同的”。因此，研究射影几何的数学家们不关心长度或角度的测量，在射影几何长度和角度测量不是几何性质。
其他几何图形是由其他运动集定义的。
数学家们花了很长时间才从欧几里得几何学中拓展到今天的几何图形的多样性。他们花了几乎同样长的时间来确定几何性质几何:几何性质是一种被保留在一组运动之下的性质。这是一种令人惊讶的描述。几何图形看起来是如此的静态，然而每一个几何图形都是由一组运动来定义的。
在这本书中，我们追溯了几何学的历史，一个关于想象力，创造力和勤奋的故事。我们看到一些关于如何在这些问题上的想法和问题已经给一代数学家甚至是每一代数学家带来了新见解和新技术,以及每一代数学家扩大了最初的想法,重新解释了有时首先被视为相对简单的问题。简单而复杂的，具体的和抽象的——这些对比的描述描述了几何学。它的历史至少和文明一样古老。
几何学继续变化和发展。数学家对形式和空间的理解继续扩展和深化。历史上一些最优秀的数学头脑在几千年的时间里解决了一些古老的问题，这些问题已经被解决了，但是许多其他的新问题也在这几年里被发现了，其中许多问题还没有得到解决。
几乎可以肯定的是，一些最有趣和最重要的几何问题还有待揭示。经过4000多年的研究和研究，几何发现的速度从未如此之快。许多数学家觉得他们几乎没有触及题目的表面。如果我们能欣赏过去，我们就能更好地欣赏现在令人兴奋的发展。发展这种增值是本卷的目标。
第一部分
古代的几何学
1 希腊人之前的几何学
几何开始在埃及。这是公元前五世纪希腊历史学家希罗多德的观点。根据希罗多德的几何学，从必然性开始。每年，尼罗河河水漫过河岸，流过尼罗河泛滥平原肥沃的土地。河流有时会破坏边界标志或改变路线，并冲走土地。
农民们根据他们的土地被征税，所以在洪水过后，为了建立农田边界和税率，必须重新调查田地。显然，埃及几何学发展的动力是对快速准确的测量农民土地的方法的渴望。为了回应这些简单的要求，埃及人很快就开发出了一种简单的测量方法，即几何学的一部分，包括测量中涉及的技术和概念。
这些早期应用数学家的主要工具之一是一段可以被拉伸成三角形的绳子。事实上，这些绳子被早期的测量师称为绳索担架。这个想法很简单。假设一根绳子被分成12个相等的部分。当它被拉伸成三角形的时候，三个单位的绳子组成三角形的一边，四个单位的绳子组成了第二面，而第三边的五个单元，三角形的形状是一个直角三角形。绳子三角形的角度可以用来做简单的角度测量。绳子是一个方便的工具，用来做线性测量。很显然，简单的绳子技巧是埃及人快速精确测量的必要条件。他们这样做的技巧给他们的邻居希腊人留下了深刻的印象。
埃及人对几何学的兴趣远远超出了实际需要。他们开发了一些公式——其中一些公式比其他地方开发的更精确——用来测量某些简单的区域和简单的体积。例如，他们开发了计算圆圈内围的面积的公式。这不是一个精确的公式，但为了实际的目的，一个精确的公式通常并不比一个好的近似好，埃及人通常不区分这两者。错误的估计区域封闭圈内出现时近似pi;数量3 一小部分数量。同样的原因，我们也引入一些错误计算每当我们pi;输入到计算器。然而，与我们不同的是，他们没有意识到或不关心所产生的错误。
在对三维人物的研究中，埃及人对金字塔的几何特性很感兴趣。例如，考虑到基座的长度和金字塔的高度，他们可以计算出金字塔的体积。(这是很重要的，因为它将两个线性测量，高度和长度联系在一起。线性测量通常比体积测量容易。他们还描述了金字塔的其他数学性质。例如，考虑到金字塔底部的长度和它的高度，他们知道如何计算出金字塔边缘陡峭度的数字。(这个数字与学生在入门代数课程中计算的线的斜率相似，但不相等。)在数学方面，埃及人很快就开始了。在他们的历史早期，他们研究了各种各样的三维问题。然而，埃及数学很快就停止了发展。2000多年来，埃及的数学基本保持不变。
在其悠久的历史中，古埃及的几何学一直保持在今天的高中学生容易找到的水平。然而，这种比较可能会产生误导。与我们的数字系统相比，埃及的数字系统是笨拙的，他们做简单的算术和几何的方法常常比我们的复杂。因此，尽管他们所调查的问题对他们来说可能并不是比我们更难理解，但对于埃及人来说，解决这些问题比他们对我们来说要困难得多。
我们关于埃及数学的最好的知识来源是Ahmes papyrus。它是一个问题文本，之所以叫它，是因为它包含了一长串的问题，复制到大约18英尺(5.5米)的卷轴上。抄写员，一个名叫Ahmes的抄写员(ca. 1650 B.C.E.)，可能不是本文的作者。学者们认为，“Ahmes papyrus”是一种可能有几百年历史的纸莎草纸。
为了表达一种对几何学的感觉，埃及人发现了一种吸引人的方法，我们将第51题从Ahmes papyrus(也叫Rhind papyrus)中解释出来。在第51题中，Ahmes计算等腰三角形的面积。(等腰三角形是一个三角形，它的两个边的长度相等。)为了找到三角形的面积，Ahmes设想沿着三角形的对称轴沿中心向下切割三角形。两个相等的直角三角形的结果。然后，他想象在他们的斜边上加入两个三角形，从而形成一个矩形(见附图)。他认为得到的矩形面积等于原始的等腰三角形的面积。他这样做是因为他知道如何找到矩形的面积。矩形的面积是它的高度乘以它的宽度。矩形的高度等于等腰三角形的高度。矩形的宽度是三角形宽度的一半。他的结论是三角形的面积等于三角形的高度乘以三角形底的长度的一半。简要:(三角形的面积)= 1/2times;(基础宽度)times;(高度)。当然，他是完全正确的。
在希腊人之前，埃及人并不是唯一学习几何学的人。也许当时最先进的文化是美索不达米亚文化。美索不达米亚位于距埃及约1000英里(1600公里)的地方，现在是伊拉克。美索不达米亚的建筑不像埃及人那样出名，因为埃及人建造了他们的巨石，美索不达米亚人建造了他们的不那么耐用的泥砖。然而，美索不达米亚的数学比埃及的数学更出名，因为美索不达米亚用来记录数学的泥板比埃及纸莎草纸更耐用。虽然只有少数的埃及数学文本存在，但数百台美索不达米亚的数学平板已经被恢复和翻译。这只是被发现的成千上万片的一小部分，但也发现了许多具有重要数学内容的非数学平板。例如，天文学平板电脑包含了许多关于美索不达米亚数学的信息。建筑记录也是如此，在这些记录中，抄写员进行了相当复杂的计算，以确定所需材料的数量(泥砖是主要建筑材料)和完成项目所需的工时数。
这些平板电脑清楚地表明，美索不达米亚的数学家更喜欢代数而不是几何学，甚至他们的几何问题也常常有代数的感觉。例如，美索不达米亚人早在毕达哥拉斯诞生之前的几个世纪就知道了我们所说的勾股定理。(勾股定理指出，在直角三角形中，斜边长度的平方等于其余两个边的平方和。)他们的板书包含了许多涉及勾股定理的问题，但问题的重点在于解出结果方程，所以勾股定理只是提供了另一个可解代数问题的来源。
美索不达米亚人对几何学的兴趣主要是作为一套技术来帮助他们测量和计算。像埃及人一样，他们的主要是一种测量的几何学。例如，他们可以计算出一个物体的体积，这个物体的形状是一个城市的形状，它的底部比顶部更厚，但它们的重点是泥砖墙，而不是抽象的形式。他们明显的动机是要找到需要制作的砖块数量以及建造长城所需的工时数。他们更感兴趣的是估算成本，而不是研究几何形状。对于美索不达米亚人来说，几何学是达到目的的手段。
美索不达米亚人对数字和计算技术的理解比埃及人要深刻得多。结果，他们开发出了比埃及同行更精确的解决方案。这在代数中尤其正确，但他们解决的一些几何问题比在埃及学的更先进。例如，埃及人显然不知道毕达哥拉斯定理的一般陈述。美索不达米亚人理解毕达哥拉斯定理的更深层次，可以解决与之相关的各种问题。这些问题中的一些问题将会挑战一位受过良好教育的非数学家。然而，就像埃及人一样，美索不达米亚人通常不会区分精确的解决方案和良好的近似。显然，美索不达米亚的数学家们对证明他们所得到的结果是正确的也不感兴趣。他们没有对几何学作为一个整体来发展一个严谨的方法，表现出任何兴趣。
埃及和美索不达米亚的数学家们主要关心的是开发一种实用的几何学。他们试图找到并使用数学公式来计算特定的线性测量的特定的共同几何形状的面积和体积。(给定圆的直径，例如，面积是多少?)然而，埃及人用来表达数字答案的方法与美索不达米亚人开发的方法完全不同。埃及人以10为基数，他们用特定于每10次幂的符号来写数字。例如，写数字320，涉及书写(或绘画)100次的符号和10次的符号。注意，这种计算方法，改变符号列的顺序，不会改变数字的值。相比之下，美索不达米亚人以60为基数，他们用一种几乎完整的位置数字系统来书写数字，这与我们今天使用的概念相似:他们用59位数字来写任何数字，而不是用10位数字;对于大于59的数字，他们只是将数字循环到下一个列，每个数字的值取决于它出现的列。
虽然每种文化用来表达数字的方法都是不同的，但两种文化所发展的几何学在概念上是相似的，因为这两组数
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