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初等几何中的自动发现定理
抽象。我们在这里介绍了通过算法交换代数和代数几何对自然定理证明初等几何的众所周知的方法的进一步发展。在本文中，我们考虑（遵循[8]）自动处理任意几何语句的问题（而不是确认/驳斥几何形式（自动证明）或找到在规定的几何量级中的几何公式（自动导出）即一般来说不遵循的论题，从给定的假设）旨在找到补充假设的陈述成为真实。首先我们将介绍一些标准的代数几何在自动证明中的概念，既用于自我控制又用于集中我们自己的贡献。然后，我们将介绍一种相当成功但不完全的自动发现方法，它大致上将给定的推测性论文加入到假设集合中，然后从这组新的条件中推导出一些特殊的后果。详细讨论了几个例子。
关键词：自动定理证明，初等几何。
介绍
我们在这里展示了由卡普尔（c.f. [6]，[10]）提出的自动定理证明方法的进一步发展，在吴[16]的一些基础性工作的传播之后。 这种方法遵循一个相当直接的代数几何论据来驳斥基本的几何定理，其算法核心是基于r基的计算。 这种方法的缺点和局限性已在文献[1]中描述，并在此考虑。 [17]的书中包含了其创始人之一以及许多参考文献对整个主题的详细说明。
粗略地说，自动证明处理决定类型HT语句的正确性，其中H，T分别是一些给定的假设和论点集合。 预期的产出本质上是一个是/否的答案，虽然可能发生的方法也描述了对这些论题的假设进行一些小的修改（例如排除假设的退化事例）。另一方面，自动证明的不同方法已经适用于几何陈述的自动推导，其目标是找到涉及规定的几何量的论文，该论文涉及一组给定的假设（例如推导出面积的表达式一个三角形的长度，参见[2]和[15]或[9]的最近工作）。我们将在本文中考虑第三个问题，即自动发现的问题，即自动处理任意陈述（即通常可能是错误的陈述）的问题，目的是为了使陈述成为真实而找到补充假设。例如，指出婆罗门（）公式支持任意有序四边形，并得到顶点应该共循环的输出，这是一个来自[15]的例子。正如已经指出的那样，这种方法的一个应用可能在于图像理解;例如，推断场景中平行线在其图像中保持平行的条件（参见[8]）。
自动发现不同于自动证明，因为后者仅提供有关一般（有关说法，大概来说，参见第1.3和2.1小节中的讨论）有关给定陈述的真实性的有用信息。 另一方面，自动发现不同于自动发现，因为前者不包含先验专用论文，也不假装修改给定的假设。 尽管如此，从方法论的角度来看，自动推导可以理解为自动发现没有论文的陈述的特定情况（因为2.1中介绍的方法可以很容易地适用于推导几何公式），但是我们不会 关注这个比喻。
尽管[8]已经明确地阐述了自动发现的目标1，并且在这里使用基础工具提出了类似的想法（在吴的自动证明技术的背景下），但我们认为大多数以前的工作只包括一些 启发性的例子，并没有系统地解决这个重要的问题。
我们已经在第1部分收集了自动验证所需的一些符号和结果，并且我们介绍了一个将在文章中从不同观点来考虑的例子。 有关详细信息，请参阅[1]或[4]的书籍。 第一部分是为非专业人士编写的，并且有一个教学目标（特殊原则应该原谅我们对几何独立变量，一般组成部分等关键概念的迂回逼近）。
第2节介绍我们的自动发现方法并讨论两个说明性示例。 一些基本想法已经在草拟中
- 。这本书[13]（西班牙语）包括一个相对较大的定理（重新）在这种方法下发现的集合。 最后，概述了一些结论，并简要介绍了一个教学应用。
- 自动证明
1.1。 几何学上的真正的定理
设K是特征0的域，例如有理数Q的域，L是包含K的代数闭域，例如复数C的域。给定一个几何定理（或者简单地说，一个几何结构 ）在采用合适的坐标系后，我们通过将几何假设和提纲（或构造步骤）转换为代数表达式来开始我们的过程。 粗略地说，定理的假设集合表示为一组多项式方程，
(, . . . , ) = 0, . . . , (, . . . , ) = 0,
而论题也被重写为一个多项式方程，
k(, . . . , ) = 0,
当, . . . , , k K[, . . . , ].因此几何语句被翻译成
(, . . . , ) , (, . . . , ) = 0, . . . , (, . . . , ) = 0
k(, . . . , ) = 0
因此，在这个公式中，几何声明被认为是几何真实的，如果代数变量由{ = 0,..., = 0} （假设变种H）包含在变种{k = 0} （论文变种T）中。
因为，使用众所周知的技巧，碰巧理想也是一组元素g K [,...,]，使得对于一些功率m，g（，...，），从Hilbert零点定理得知，测试H T的方式是验证11=（，...，，kt-1）K [,...,，t]，
其中t是一些松弛变量;这可以通过计算这种理想的任何基础自动完成，并通过报告1是否是这种基础的一个要素来自动完成。当然，为了避免证明微不足道的真实结果，应该事先检查H是否为空（再次使用零点定理），因为任何论题都可以从一组矛盾的（空的）假设中正式推导出来。
有很多例子显示了概述过程的工作原理（请参阅[1]中给出的令人印象深刻的集合），但让我们选择一个不直观的预期工作的例子。
例子1.让我们考虑由三个给定顶点所定义的圆中顶点O（0,0），A（1,0），B（a，b）和点x（x，y）的三角形三角形的外圆或外接圆）。我们构造（参见下图）关于该点的对称图像三角形的三边，我们分别称它们为（x，-y），（X，Y），（Z，W）。现在我们声称这三点总是如此对齐的，即 = 0。
为了自动证明这个定理，我们开始为给定的数据生成代数转换。在这里，我们非常天真地做到这一点，因为它可以通过一台机器来完成，而这台机器对于我们的施工所涉及的条款信息极少。例如，关于边的x的对称点是逐步构造的，首先是通过x的这条边的垂直线，即：a（L-x） b（M-y）=0, （L，M）为该线与给定边描述的线之间的截面，因此- = 0。最后，这个对称点（X，Y）被定义为矢量方程（x，y） 2（（L，M） - （x，y））=（X，Y）。对于边方面，我们将在结构中类似地定义一个中间点（R，S）;对于第三面，可以直观地看到坐标为（x，-y）的对称点。接下来我们考虑描述穿过O（0,0），A（1,0），B（a，b）的圆的方程- - - = 0。在总的来说，这产生了以下一系列建筑假设：
理想（，- ，（），，()(） b（），
（） （）S，（），，- - - )
显然，这组条件是非空的，因为我们可以构造特定的三角形来验证它们。接下来，我们通过检查（通过本文中的程序）在I中的为1来验证论文是否遵循这些假设，其中
I =理想（，，，，，，，，- - -,）;
但我们获得（1，I）= 1。
令人惊讶的是，我们必须得出结论，这个定理不是几何上的真实的，至少在它的代数翻译方式中是这样。
1.2。非简并条件
代数品种，即。零套代数方程，是“小”或“薄”它们位于所述一个FFI NE空间的子集实际上，它们被认为是小的，因为它们不包括在于a FFI NE空间中的任何超立方体或超球面：一个平面曲线不具有宽度在任何一点，太空中的表面都不会很厚，等等。另一方面，代数变种在真实或复杂的有限空间的欧几里德拓扑中总是闭集。但是有一种不同的拓扑结构可以在任何给定的代数变体上构建：拓扑结构，恰好具有包含在给定变体中的那些代数变体的闭集。因此，开放的集将被视为“大”，是代数变体的补充。
这些技术性评论使我们能够分析一些不符合几何关系的陈述。具体而言，如果几个假设的几何实例被排除（即，如果它们只在假设变化的“小”一组点上失败），那么这些语句在所有情况下都不成立。从技术上讲，我们现在正在考虑H不是T的一个子集，而是一个非空的开放子集WH包含在T中。重要的消息是，我们仍然可以检测到这些声明，对上述过程进行一些小修改。也就是说，当定理不是几何的时候，我们应该计算理想的基础
J =（（，...，，）K [，...，，t])[,...,。
从先例观察来看，对于每个g（，...，）在这个理想中，并且任何x =（，...，），都认为
（）= 0= 0
因此，这个理想J的元素提供了一些负类型的互补假设（），因此，将它们添加到给定的假设中，现在论文如下。当然，为了避免证明由于矛盾假设而产生的定理，还应该要求新条件（）= 0= 0是非空的（即，）。由于会很快出现的原因，这些额外的假设通常被称为非简并条件，理想的J被称为非退化理想。如果，非退化条件被称为平凡。因此，我们应该始终寻找不平凡的条件。
这个扩展过程可以通过计算来进行计算（如[7]中所示），通过消除，通过命令伊利姆从消除J的基础，例如（，...，）。接下来，我们应该在这个基础上寻找微不足道的生成器，并且可以为每个i获得理想中的正常形式1（，...，，）并且确定 - 如上 - 是否H包含在零集{}中。如果，那么找到基础中的所有条件都是微不足道的;此外很容易看出，这意味着非退化理想中的所有条件也是微不足道的。
如果情况并非如此，则将有点,例如
（）= 0= 0）
对于所有这样的，
（）= 0= 0）
所以现在这个定理在任何这些非简并条件下都成立。
让我们看看这个技术如何适用于我们之前的例子。通过消除在定义I的最后一行中引入的松弛变量t，可以得到剩余变量{}中超过30个多项式的集合，例如J = 伊利姆（t，I） ，在这里重现太大了。例如，它们中的一些产生微不足道的条件，例如理想假设的所有生成者（我不包括最后一个的所有生成者），这些明显包含在J.
但是一些其他的多项式从消去的基础上，例如a4-2a3l 2a2b2 a2l2-2ab2l b4 b2l2给出了非平凡的条件：
（1，Ideal（，，，，，，，，- - -）
（）t-1;1;
因此，该定理应该保持在= 0的条件下。我们检查给理想的I加上多项式（）h-1，其中
h是另一个不同的松弛变量。正如所料，现在正常1的形式是0。
（1，Ideal（，，，，，，，，- - -）,（)t-1，））;0;
这种非简并条件在几何上意味着什么？它因式为（)（）0，即{) 0} { 0}。
因此，这个连接中的第一个子句可以在实数上被解释为{a1} {b0}，第二个子句意味着{a0} {b0}。条件{b0}意味着给定的三角形不会折叠到某一行;另外两个条件意味着三角形不是直的并且可以被认为是与代数公式相关的退化。我们警告读者强加这些“真正的”对应物而不是找到的条件，他们不会产生0的正常形式。尽管在几何语境中它们看起来更自然，但它们不能很好地表达几何状态的代数行为。这些实地解释应该是“仅供您的眼睛”。可以对由此消除计算产生的其他条件进行类似的分析。
2.自动发现
2.1。方法
从探索开放式几何情况的角度来看，我们对上述（或多或少的经典）结果的解释如下：假设假设和论点是以某种完全任意的方式给出的，那么计算机将输出三种可能的答案种。第一类，猜想定理如陈述的那样是真实的。第二种，它（通常）是真实的。最后，答案可能是，即使在考虑任何互补的非简并假设时，即使它们都是平凡的（即如果非退化条件的理想为零），它也不是普遍真实的。
因此，通过概述的方法，我们将只能处理那些之前可能被“接近”猜测的定理，因为 - 随着1.2开始引入的术语 - 论文应该保留一个“大”（开放）子集该方法输出一些有用信息的假设变量。所以我们必须在实践中事先知道这个定理是“几乎”真实的，而且这个方法只是确认/稍微纠正/驳斥了初始猜测的正确性。因此，到目前为止，该方法正确地说是自动“证明”之一。如果我们最初的猜测是错误的，上述方法根本不提供任何有关如何进一步处理的有用提示。另一方面，我们可以说在大多数情况下，自动定理“发现”应该处理的只是检测假设变量的“细”子集，而不是一个很大的子集。事实上，如果论文不支持任何大的假设变量集合，它仍然可能发生，论文在假设变量的较小子集上消失;或者可能它在任何时候都不是真的。但是，到目前为止，我们还没有提供任何方法来在这个特别有趣的情况下识别这些真值子集，当我们没有对几何定理进行正确的猜测时。
我们在这里提出的基本几何自动发现方法非常简单。让我们假设给定的论文k不支持任何开放集合（由几何独立变量=（，...，）中的多项式描述）假设变种{=0,...,= 0}，即该定理通常不是真的，因此（0）=（，...，，）K [,...,，t]cap;K[，...,]。
然后，我们开始将这个论题添加到假说集合中。当然，由于总是如此，很明显，无论论文可能是什么，现在都会从扩大的假设出发。用几何术语来说，假设变种和论文超曲面的交集总是包含在后一种变种中。向发现迈出的关键一步是用几何意义变量来重新假设假设和论题的结合，即。独立的。因此，我们必须从（假设，论题）的新理想中消除非自变量。在这个消去理想（假设，论题）中，每个元素的消失cap;K[独立变量]显然是定理所必需的条件，因为它是（假设，论题）的组合。如果这个定理在某些情况下成立，那么假设和论点都必须消失，消除理想的因素也应该发生。
那么我们必须区分两种可能的情况。
首先，（，...，）=（，...，，k）cap;K[，...， 。 。 ，] （0）。
很容易证明这种情况发生，当且仅当k消失在（旧）假设变种的非退化成分上。这种情况在文献（[1]）中已经被标记为通常是假的情况。事实上，这意味着该定理不能保留任何开放的几何非退化情况：它只能保持开放的几何退化情况13。
此外，在这种情况下，前假设变量中的（，...，）的零集合给出了适当的闭集（因为它仅包括x0中的
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