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基于GM（1,1）模型的台湾智能手机市场发展预测
摘要
这项研究的目的是使用GM（1,1）四阶段模型预测中华电信3G手机的销售市场以及使用回归模型来模拟3G市场发展的趋势，最后制定合适的3G发展策略。研究的结果表明灰色预测模型能够精准的拟合3G市场的4阶段发展。对不同的阶段模型的准确性都超过了90%，并且对小样本使用灰色模型也能够达到预期。另外，GM（1,1）四阶段模型的预测准确率要高于回归模型。对于2005年12月到2007年6月间的1500万用户，结果不仅显示中华电信将在2009年达到750万用户，还表明3G市场将变得成熟并且在近期将保持增长。因此，3G移动市场的重要性是可以预见的，运营商应该争取尽早分配市场的资源。从这项研究的结果来看，作为市场的领导者，中华电信可以和其他运营商合作去深化3G市场的利润并且为未来4G市场做准备。
1 简介
2G手机主要用于通话，而逐渐成熟的3G技术使得手机即将迎来高速数据传输的时代。手机是一种结合了个人移动多媒体工具，电脑以及电视的产品。现在手机能够支持移动电视、视频通话以及互联网功能。由于3G产品的日益成熟，基站的建立以及3G手机规章制度的更新，3G手机正在逐步取代2G手机并且成为市场的主流产品。然而，必须要问的是，3G市场的发展和3G手机市场占有率的增长是否同2G模型一致。或者社会水平，固有产品限制，经济动荡或成本等因素会阻碍3G手机的快速增长？针对这些问题，这项研究使用灰色预测模型来探究未来3G市场的发展趋势，从而帮助企业规划未来的营销策略。
2006年是3G的开局之年。虽然许多电信公司在建造基站和提供3G服务，但是由于信息的缺乏，以及各个公司用户信息以及运营信息的商业保密性，使得本研究只能够使用可以用小样本数据来进行预测的灰色预测法。基于2006年中华电信台湾公司的运营数据，使用GM（1,1）4阶段模型来预测2007年1月至3月以及2007年四月至6月的手机市场发展趋势。通过对预测的分析,可以为3G运营商做一些建议，也可以用来和传统的回归预测模型做比较。
2 数学模型简介
邓聚龙（1989）提出灰色系统理论主要是针对不明确的系统模型。灰色理论使用关联分析和模型构造，并使用预测结果来分析未来的情况。利用一系列包含二次数据的运算以及转换过程，寻找灰色信息的内在规律，而这些规律通常不能够运用统计方法来实现。最终的灰色序列被用来转换为一个建立GM(1，1)模型的微分方程模型。灰色理论最核心的优点是它能够处理较小的数据以及其相对比较简单的数学基础。灰色预测是利用灰色理论来进行预测的，近年来已经被广泛的用于商业和管理研究。（龚超，2003；龚常，2004；阎聪明，龚，常远，刘培文，2006，徐培云，陈培宇，2006，龚等，2007）
本研究中用来建立GM(1,1)多元灰色预测模型的微分方程解释如下。
1)灰色生成
在灰色系统中，灰色生成是指根据系统的需要加入新信息。也就是说，根据处理过的数据，去找到数据的规则。根据灰色系统理论，灰色生成分为两部分。
累加生成运算（AGO）：
假设是原始序列，即
定义,数学运算为：
定义累加生成的逆运算：IAGO，其数学模型如下所示：
当时，有：
2）GM(1,1)模型
根据灰色系统理论，GM（1,1）模型定义如下;
*其中和为系数，
整个数学分析步骤如下：
转变，将其变形为前一个序列和后一个序列之差，即：
*根据累加生成的逆运算，可知
*另外根据的定义，本为定义背景值为：
综上所述，可以得出GM(1,1)模型的灰色差分方程为：
GM（1,1）模型意味着该模型具有一阶差分且仅具有一个变量，并且等式（7）通常被称为GM（1,1）的源模型，并且可以使用该序列来建立一个近似微分方程。
3）GM（1,1）灰色模型及其响应
根据一阶微分方程的解，初始值为且，根据常规方法，GM（1，1）模型，即 的离散响应是：
其中：
化简等式（8），有
最终的预测结果公式为：
4）GM(1,1)参数求解过程
找到a，b的值的方法分为两种，一种称为最小二乘法，另一种称为参数法，一般情况下，总是使用最小二乘法。根据等式，替换掉所有值，有：
将等式（12）转化为的矩阵形式，则有：
, ,
使用矩阵方法计算参数a，b的值，即。
5）GM(1,1误差分析
得到预测值后，GM（1,1）模型的传统误差公式定义如下：
其中：(1):: 真实值
(2): 预测值
并且等式（13）可被重写为：
方程（14）很难计算，因此我们使用数值方法证明误差与AGO有关。
3.基于GM（1,1）模型的数据处理与分析
1）3G原始数据
本研究首先从中华电信中央台湾商业集团2006年1月至12月以及2007年1月至3月采用以下3G销售数据作为其行数据：9675,8616,22975,11844,12879,29280,12142,15499 ，38454,20723,39874,38552和25687,31352,4364。
这些数据看起来非常混乱。 2006年的五个月销量明显偏高，销售波动肯定不是很规律。 实际上，中华电信2006年3月，6月，9月，11月和12月的全面营销活动和促销活动刺激了销售，这五个月的销售额大幅上升，影响了正常预测。 因此，本研究进行了调整，以反映这些情况并提高预测的准确性。 我们的调整原则如下。
虽然年度营销预算是固定的，但根据挤出效应，在某些月份使用的营销资金比其他月份多。 仅考虑营销费用的因素，假设如果每个月分配营销资金的平均数量，则每个月的表现将是相同的。
2）促销活动（3月，6月，9月，11月和12月）的销售数量因此减少，未经促销（1月，2月，4月，5月，7月，8月和10月）的销售月数增加 以下方法：
（1）计算促销月平均销售额和非促销月平均销售额。 （2）计算促销月平均销售额增长。 （3）促销月销售总额的增加是根据促销月平均销售额增加和促销月数计算的。 （4）促销月促销总额在12个月内均匀分配。（5）促销月销售总额从促销月平均值中扣除。 使用这些原理调整的数据如表1所示。
表1 调增后的2006年3G销售数据
3）GM（1,1）灰色预测模型的使用：
以下计算得出了中华电信台湾中部业务集团2006年1-12月的3G手机原始销量数据序列：
在原始序列上使用一次累积生成操作（AGO），生成的数据序列如下：
然后使用最小二乘法推导系数和:
此外，使用常微分方程的推导方法可以推导出离散的的响应方程：
由上式可知：
将上述序列代入转换得到的序列，进行逆累计生成操作（IAGO），得到简化的序列，如下式所示：
4)残差检验
公式用于计算2007年第一季度和第二季度的预测值。然后利用残差检验比较实际值和预测值的残差，并将残差代入公式。
精度为1- = 1-1.6 % == 98.4 %; 结果表明，精度大于90%，说明该灰色预测模型具有良好的预测性能。结果如表2所示，计算机计算如图1所示。
表2 中华电信台湾中部企业集团3G用户预测精度比较
图1 中华电信台湾中部商业集团3G用户预测结果
5）回归模型与灰色预测模型精度比较
本研究使用回归分析进行的预测如下：
原始数据：
→4 个数据|→ 5个数据
(46459 59196 71288 83569 | 100686)
（1）2007年第一季度使用GM（1,1）模型预测的3G销量为99070个，实际销量为100686个，两者之间的误差为1.6%。
（2）回归分析
本研究采用回归分析，将2007年第一季度的数据46459 59196 71288 83569与100686进行比较。将第一季度到第四季度的3G销量代入公式，运营结果误差为4.67%。详细的计算方法及数学公式如下：
2007年1-3月3G销售误差比较：
GM（1,1）模型的误差：1.6%
回归分析的误差：4.67%
这表明，GM（1，1）灰色预测模型不仅可以用于预测3G市场的需求，而且预测结果非常可靠，预测精度优于回归分析。预测结果的比较表明，灰色预测模型的平均残差小于回归模型的计算结果。这表明，GM（1，1）灰色预测模型不仅可以用来预测3G市场的需求，而且预测结果非常可靠。与回归模型相比，GM（1，1）灰色预测模型是预测3G市场需求的一种非常精确的方法。
4.结论和讨论
本研究得出以下结论：
1. 3G手机的年销量预计将从目前的160万部增长到2008年的700万部。
2. 本研究的分析表明，中华电信的3G手机销量可以用GM（1，1）4阶段模型进行预测，预测结果的准确性将在90%以上。这与灰色理论基于少量数据和小样本进行预测的能力以及新信息的优先级一致。
3. 本研究尝试比较不同预测方法，以确定最佳预测方法。实验结果表明，GM（1，1）灰色预测模型比回归模型具有更好的预测精度，这表明在数据较少、样本较少的情况下，灰色预测方法比回归方法更准确。
4. 由于2006年是3G提供服务的第一年，数据因此受到限制。唯一可用的数据包括2006年1-12月中华电信台湾中部业务集团的销售额。这些数据为四个季度数据集，用这些数据来进行预测。由于数据周期较短，采用灰色预测方法进行3G用户增长趋势预测是最合适的方法。本研究所取得的准确度，证明了灰色预测方法能够以四个数据点为基础进行预测。
5. 由于中华电信进行促销的月份与没有促销的月份之间的销售量差异较大，建议公司谨慎选择促销方式，并提供足够的激励措施，以鼓励3G客户的增长。
参考文献
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