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对于设计鲁棒耦合网络
摘要
自然和技术相互依赖的系统由于级联故障和最初失败时全球连通性的突然崩溃，因此被证明是非常脆弱的。 通过部分断开来减轻风险会危及其功能。 在这里我们提出了一个系统的策略，选择最小数量的自治节点，保证鲁棒性的平稳过渡。 我们基于中介性的方法在各种实例上进行了测试，包括2003年着名的意大利着名电气中断。 我们证明，通过这种策略，与随机选择相比，必要数量的自治节点可以减少五倍。 我们还发现，向突然崩溃的过渡遵循三重比例缩放，其特征是一组与保护策略无关的指数。
介绍
互联的复杂网络在今天的世界中无处不在。他们控制现代社会（能源交通运输），金融系统乃至人体的基础设施。不幸的是，它们比最近认识到的非耦合网络脆弱得多，这个发现认为稳健性从非耦合系统中的二阶过渡转变为相互依存系统中的一阶过渡。明显的缓解策略包括通过创建自治节点来部分解耦网络。然而，断开太多会危及系统的功能。我们在这里要解决的问题是如何在不丢失功能的情况下降低脆弱性，并且实际上我们将通过开发一种基于介入度的显式算法来回答这个问题，该算法能够以最少数量的自治节点避免突然崩溃。
Buldyrev等人提出了一个渗流框架来研究两个耦合网络A和B，每个A节点通过双向链路与B节点耦合，这样当一个节点失效时，另一个节点也不能运行。删除一小部分A节点可能会触发多米诺骨牌效应，其中不但B中的对应部分发生故障，而且与两个网络的巨集群断开连接的所有节点也都失败。这导致失败的进一步级联，导致连接的突然崩溃，以不连续（一阶）渗流转变为特征。 Parshani等表明，通过降低耦合程度可以减轻破坏，但只有当节点的一个重要部分（asymp;0.4）解耦时，过渡才会从非连续变为连续。通过随机选择一小部分节点成为自治的，并因此独立于另一网络来减少耦合。例如，对于发电站与通信服务器之间的耦合，自治发电站具有替代的通信系统，当服务器发生故障并且自主服务器具有自己的能源电源时使用这些通信系统。我们提出一种基于程度和中心性的方法来识别这些自治节点，从而在连接性方面最大化系统的稳健性。我们证明，使用这种方案，临界耦合增加，即需要去耦以平滑过渡的节点的分数要小得多（接近于0.1而不是0.4）。对于不同的耦合网络，包括Erdős-Reacute;nyi图（ER），观察到显着的改进，由于它们的狭窄程度分布，鲁棒性的这种改进是意料之外的。为了证明我们的方法的优势，在图1中，我们将所提出的策略应用到意大利的真实耦合系统中，并且表明，通过仅保护四台服务器，鲁棒性得到显着改善（图中标题中的细节）
图1：此处提出的策略显着改善了意大利通信系统（39颗星）与电网（310颗圆圈）之间耦合的弹性。
颜色方案代表14个通信服务器发生随机故障后节点处于非活动状态的概率。 在a）中，所有通信服务器都连接在一起，而b）四台服务器按照此处提出的策略进行分离。 基于节点的地理位置建立网络之间的耦合，使得每个通信服务器与最近的发电站2耦合。 这些图像是使用Pajek软件生成的。
我们考虑一对网络A和B，其中A节点的分数q（耦合程度）与B节点耦合。 为了实现功能，节点需要连接到他们网络的巨型集群。 当A节点失败时，B中的相应节点也不能运行。 因此，通过这些节点桥接到最大群集的所有节点以及其他网络中的对应节点也变为停用状态。 一系列失败发生在全球连通性的严重影响（见图2）。 这个过程也可以被看作是一种传播蔓延。 为了研究对故障的恢复能力，我们在对网络A的一系列随机不可逆攻击下，遵循活动A节点的最大连接集群的大小。尽管单纯考虑随机攻击的简单性，但该模型可以直接扩展到目标。 最近，对于单个网络，已经提出10量化鲁棒性R如下：
其中Q是节点故障的数量，S（Q）是Q故障后网络中最大连接集群的大小，N是网络中节点的总数。 在这里，我们将这个定义扩展到耦合系统，通过执行相同的测量，由方程 （1）中，只在发生随机故障的网络上，即网络A上。为了跟随A节点1-p分数故障触发的级联，同样的，我们求解迭代方程
初始条件alpha;1= p，其中alpha;n和beta;n是迭代步骤n中A和B幸存节点的分数，Sx（chi;n）是巨集群中这些节点的分数。 qchi;，n是从最大集群中分割出来的网络chi;中相关节点的比例（详见方法）。
图2：由网络A（顶级网络）中的节点初始故障触发的级联节点故障的方案。
考虑两个网络，A（顶部）和B（底部）。 当一个节点最初在网络A中失败时，（a）通过它连接到最大组件的所有节点也将失败（b）以及网络B（c）中的相应依赖节点。 网络B中的从属节点的故障导致网络（d）和（e）中的进一步故障。 对于每个迭代步骤，在（f）中列出了每个网络x的耦合程度qx和最大连接分量Sx的大小。
结果
为了演示我们选择自治节点的方法，我们考虑了两个平均度数为4和10％的自治节点（q = 0.1）的ER图。首先我们考虑一种基于节点程度的方法，然后再与基于介数的方法进行比较。在一系列随机故障下，当接近45％的节点出现故障时，这些网络会发生灾难性的碎片化，如图3所示。对于具有相同平均度的单个ER，仅在故障发生后全局连接才会丢失75％的节点。图3还显示（（绿色）点划线）选择两个网络中的自治节点的结果，其中具有最高度的节点的分数1-q以及随机地耦合剩余的节点。采用这种策略，鲁棒性R可以提高，相应的pc增加约40％，从接近0.45到接近0.65。此外，转换顺序也从第一顺序变为第二顺序。如果另外根据耦合节点在度数排序中的位置进行配对，则可以实现进一步改进，因为互连相似节点会增加全局鲁棒性。在图3的插图中，我们看到与随机情形R / Rrandom相比，程度策略相对鲁棒性的依赖性。对于q的整个范围，所提出的策略更有效，并且当还有85％的节点被耦合时观察到超过15％的相对改善。
图3：对于两个耦合的ER（平均度数lt;4gt;），最大连通群中的A节点的比例s作为网络A中随机移除的节点1-p的分数的函数，其中90％ 通过网间链路连接的节点（q = 0.9）
可以看出，通过适当选择自治节点可以显着提高鲁棒性。 我们从两个完全互联的ER开始，根据三种策略将它们的10％的节点解耦：随机（（黑色）实线），网络A（（红色）点线最高）和网络B（ （蓝色）虚线）。 我们还包括两个网络中有10％的自治节点被选为最高度的节点，而其他所有节点都是随机连接的（（绿色）点划线）。 插图显示了与随机情况相比，度策略的相对鲁棒性对耦合程度q的依赖性。 已经通过生成函数的形式获得了学位的结果（参见方法）。
两种类型的技术挑战即将到来：系统必须从零开始设计为强健的或已经存在的，受限于某种拓扑结构，但需要改进的鲁棒性。在前一种情况下，最好的过程是选择每个网络中具有最高度的节点作为自治，并根据其等级来选择其他节点。对于后者，重新布线通常是一个耗时且昂贵的过程，创建新的自治节点在经济上可能更加可行。最简单的过程在于选择通过相同的互联网链路连接的两个自治节点。然而，网络A中的高度节点并不一定与网络B中的高度节点相连。在图3中，我们比较了根据网络A中或网络B中节点的程度选择自主对。当成对根据网络在初始故障（网络A）下的等级来挑选节点，与随机选择相比，鲁棒性几乎没有提高。另一方面，如果考虑网络B，则鲁棒性显着提高，这表明该方案更高效。 A和B网络之间的这种不对称是由于我们只攻击网络A中的节点，触发级联，最初关闭相应的B节点。该B节点的程度与从主集群断开连接并因此影响网络A的节点的数量有关。因此，控制易受攻击的B节点的程度是缩小级联的关键机制。另一方面，当网络A中的集线器受到保护时，由于初始攻击不区分自治节点和非自治节点，所以它仍然可能受到攻击。
在图4（a）中，我们比较了四个不同的标准来选择两个耦合的ER网络中的自治节点：中介度，k-壳和随机选择。在中介策略中，选择的自主是中间性最高的自主策略。中介性被定义为所有通过节点的节点对之间的最短路径的数量。通过迭代地去除度数小于k的所有节点，直到所有剩余的节点具有度数k或更大，来获得K壳。在k-shell策略中，自主选择为k壳分解中具有最高k-壳的那些。对于所有情况，耦合的节点（不是自治的）已经被随机地相互链接。由于ER网络的特征是少量的k-shells，这种策略对于某些q值的随机策略效率更低，而与随机选择相比，度和策略间策略的改进鲁棒性是明显的。在随机情况下，因为观察到随着q的稳健性的显着下降，在度和中介情况下，变化更平滑，并且只有q的更高值才显着下降。比值R / Rrandom中的最大值出现在qasymp;0.85，其中相对改善高于12％。因为在随机网络中，许多度量都强相关，因此介度和度数的结果是相似的。
图4：对于两个相互关联的（a）ER（平均度ge;4）和（b）度数指数gamma;= 2.5的SF，耦合程度q对鲁棒性R的依赖性。
应用我们提出的策略被应用，自治节点的最佳部分相对很小。 以四种不同方式选择自治节点：随机（（蓝色）三角形），高度（（黑色）点），高度中间（（红色）星形）和高k-壳层（（黄色）菱形）。 与随机情况相比，插入图显示了鲁棒性的相对改进，对于自主选择的不同策略。 结果在两个网络的102个配置上平均，每个网络有103个节点。 对于每种配置，我们对103个随机攻击序列进行平均。
许多现实世界中的系统的特征是程度分布，其程度指数为gamma;。在图4（b）中，我们将R作为q的函数绘制为两个耦合无标度网络（SF），每个节点有103个节点，gamma;= 2.5。类似于两个耦合的ER，当根据最高度或中间度选择自治节点时，该系统也显着更有弹性。对于鲁棒性的值与单个网络（q = 0）的值相似，因为最相关的节点是解耦的。相对稳健性R / Rrandom（见图4b的插图）的峰值出现在qasymp;0.95，其中与随机情况相比，改善几乎为30％。由于这三个属性与SF强相关，因此，介于度，度和K壳之间对鲁棒性具有相似的影响。从图4可以看出，对于SF和ER，通过基于中介性的解耦，小于15％的节点的鲁棒性显着提高。研究鲁棒性对节点平均度的依赖性，我们得出结论：对于平均度大于5的平均度，即使是5％的自治节点也足以实现超过50％的最大可能改进。
对于图4中讨论的情况，通过基于最高度选择自主节点而获得的结果与基于最高中介度的结果没有显着差异。这是由于众所周知的发现，对于Erdős-Reacute;nyi和无标度网络，一个节点的程度与其中间度密切相关。然而，许多真实的网络是模块化的，即由几个不同的模块组成，这些模块通过较少的链路相互连接，然后具有较高的介数的节点不一定是具有最大程度的节点。模块化可以在例如代谢系统，神经网络，社交网络或基础设施中找到。在图5中，我们绘制了两个耦合模块化网络的鲁棒性。每个模块化网络由一组四个Erdős-Reacute;nyi网络组成，每个网络500个节点，平均五级，每对模块之间随机包含一个附加链路。对于一个模块化的网络，具有较高中介性的节点不一定是高度节点，而是桥接不同模块的节点。图5表明，基于中介的策略与高度方法相比表现得更好。
图5：鲁棒性R对两个随机互连的模块化网络的耦合程度q的依赖性，每个节点为2·103个节点。
模块化网络是从四个Erdős-Reacute;nyi网络获得的，每个网络有500个节点，平均度为5，通过随机连接每对模块和一个附加链路。 以三种不同的方式选择自治节点：随机（蓝色三角形），较高度（黑点）和较高中间度（红色星星）。 在插图中，我们看到与随机情况相比，第二和第三种自主选择方案的鲁棒性相对增强。 结果已平均超过102个配置和103个随机攻击序列。
另一个表明介数优于度的例子是当我们研究耦合的随机正则图时。 在随机正则图中，所有节点具有相同的程度并随机连接。 图6显示了具有度为4的两个互连的随机正则图的鲁棒性对耦合度的依赖性。自主节点是随机选择的（因为所有度都相同）或遵循中介策略。 尽管所有节点具有相同的度数，且中介度分布较窄，但基于中介选择自治节点总是比随机选择更有效。 因此，上述两个例子表明，中介性是选择自治节点与度数相比的优越方法。
图6：鲁棒性R对两个随机互连的随机正则图的耦合程度q的依赖性，每个随机正则图具有8·103个节点，全部为4度。
以两种不同的方式选择自治节点：随机（蓝色三角形）和较高中间度（红色星星）。 在插图中，显示了与随机情况相比的中间性的鲁棒性的相对增强。 结果已平均超过102个配置和103个随机攻击序列。
该漏洞与q的耦合程度密切相关。 Parshani等[7]分析和数值表明，对于随机耦合，在临界耦合q = qt处，跃迁从连续变化（对于q lt;qt）变为不连续（对于qgt; qt）。在图7中，我们看到随机（插图）和度（主）策略的三参数点和过渡线（连续和不连续）的双参数图（pc vs q）。如图7所示，当随机选择自治节点时，需要大约40％的自治节点来缓和转换并避免灾难级联，而遵循此处提出的策略，只有相对较小的数量（qgt; 0.9）的自治节点需要避免不连续的崩溃。在三次临界点之上，跳跃随着耦合度增加而增加，因为假定能够解耦的节点的分数通常是有限的，所以将自变量提供给用于自主选择的有效策略的最重要的必要性。 qt对平均度数的依赖性如图8所示。度数和随机策略的三次临界耦合之间的比率随着k的减小而增加。例如，对于lt;kgt;asymp;2，随机选择软化转换所需的自治节点的比例是度方法的六倍。
图7：随机攻击下两个耦合ER（平均度lt;kgt; = 4）的双参数图（蓝色曲线）。
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