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9.1介绍
在第三章到第八章中，系统在有限的自由度下的振动将被探讨。如第2.5小节所提到的，有着像梁分布式惯性和刚独特性的元素，被用来塑造一些物理系统比如在2.5.4小节的滑雪，在2.5.5的工件刀具系统，以及在2.5.2小节的MEMS加速度计。如前所述，分布式参数系统，也被成为部分连续系统，具有无限的自由度。除了梁之外，我们可以使用的震动模型的分布式系统包括弦线，电缆，经受轴向振动的杆，经受扭转振动的杆。膜，金属板和壳。除了最后被提到的三个系统，其他所有系统的描述都需要用到空间坐标。用有限自由度控制振动系统的运动方程是常微分方程，这些方程是初值问题的形式。通过对比分析，分布参数系统的运动学方程为偏微分方程组，具有边界条件和初始条件，分布参数系统振动响应解的确定要求采用其他数学方法。然而，概念如自然频率，模式形状，模式的正交性，以及在有限自由度系统的情况下使用的正常模式解决方案，适用于有限自由度系统。一个有限的自由体系有着与自由振荡有关的自然频率和电码形状的数量。
在这一章中，梁的自由和受迫振动将被详细考虑。杆，轴和弦的振动在附录G中处理。正如2.5节的不同例子所示，许多物理系统的振动模型需要使用梁单元。除了这些例子之外，使用梁单元来模拟物理系统的其他例子包括旋转机械模型，船体，飞机机翼以及车辆和铁路桥梁。涡轮机中的螺旋桨叶片和直升机的转子叶片通过使用梁元件来建模。 由于梁的振动行为对于这些不同的系统具有实际重要性，因此本章的重点将放在梁振动上。
在上面提到的每一个应用中，以及在其他许多应用中，梁都是由动态变化的力作用的。根据这些力的频率内容，力有可能使梁在一个或多个固有频率上激发。设计工程师的一个常见要求是建立一个弹性结构，对施加的动态载荷作出最小响应，使大位移振幅、高应力和结构疲劳最小化，并减少磨损和辐射噪声。
利用弹性梁的力学原理和哈密顿原理，得到了梁的运动控制方程。对非强迫和无阻尼梁的自由振荡进行了处理，并对影响固有频率和模态的各种因素进行了研究。该检查包括在中间位置和梁的几何变化的惯性元件和弹簧的处理。前几章所使用的模型的局限性也在系统的上下文中指出，在这些系统中，一个灵活的结构支持一个或两个自由度的系统。本文还介绍了用标准模态方法确定梁的强迫响应的方法。
在这一章中，我们将展示该如何：
- 确定各种边界条件下的伯努利-欧拉梁的固有频率和模态形状。
- 确定模形态正交的条件，在给定质量和刚度的分布情况下。
- 用附加的局部刚度和惯性元件确定伯努利-欧拉梁的固有频率和模态。
- 确定可变截面的伯努利-欧拉梁的固有频率和模态。
- 确定伯努利-欧拉梁对初始位移、初始环流和外力的响应。
9.2 运动控制方程
在这一节中，我们将说明如何在任意载荷条件和边界条件下，获得弹性梁的控制方程。在变形的配置中，梁单元如图9.1所示。x轴沿着梁的跨度运行，y轴和z轴沿着横轴向x轴方向运行。M的端点在j方向上显示，假设梁位移被限制在x-z平面上。位移w(x,t)表示沿梁的位置的横向位移。
运动控制方程的推导是基于哈密顿原理的。要使用这个原理，首先需要确定系统的势能，系统动能，以及在系统上所做的功。为了确定系统的动能，将长度x的每个元素视为刚体，并确定系统势能，用梁材料中的应力-应变关系。为此，在第9.2.1节给出了固体力学的预演，并在第9.2.2节中得到了动能、势能和功的表达式。
9.2.1 固体力学的初步预备
在图9.1中，可以看到，位于曲率中心的梁的表面将会收缩，而相反的面将被伸长;也就是说， AA面将会被伸长，而BB面将会收缩。穿过梁横断面质心的直线被称之为中线。在这里，沿中心线的纤维被假定为零轴向应变。所以说，中心线是中性轴。梁的变形是由伯努利-欧拉梁理论所描述的，它适用于长度到回转半径的薄弹性梁。采用伯努利-欧拉梁理论对梁的变形进行了描述，该理论适用于直径大于10的薄弹性梁。根据这一理论，假定中性轴保持不变，使梁正常到中性轴的平面部分保持平面和正常到变形的中心，而像BA这样的横向法线在正常方向上是零应变的。如图9.1所示，在距离中性轴的距离z处有一根纤维，沿着梁长度产生的应变通过下列公式可以得出。上述公式中的R指的是曲率半径，△S。是沿着中性轴的纤维长度。△S是位于距离中性轴的距离z的一种纤维长度。而且我们可以从虎克定律中运用几何知识写下这样的式子：
相应的作用在纤维上的轴向应力
在此处E是材料的杨氏模量。如图9.1所示，正位移w在单位向量k的方向上。因此，中性轴以上的纤维经历一个正的s，表示张力，中性轴下方的纤维经历一个负s，表示压缩。
在光束的内部部分，y轴的力矩有公式：
y和y2的空间极限对应于y方向上的积分，我们用了EQ（9.3），公式如下：
I所表示的量，表示光束在y轴上通过质心的横截面惯性矩。一般而言，Eq.(9.5)中的二重积分的极限不必是常数，那是因为：,a=a(x), b =b(x), y1 = y1(x), and y2 = y2(x). 在这种情况下，惯量的面积矩随长度而变化，因此，总的来说I=I(X)。曲率k 1/R，它被假定为正的凹曲率向下，有公式：
假设斜率很小，那就是是在x位置的中性轴的斜率，然后Eq.(9.6)简化为：
将Eq.(9.7)代入Eq(9.1)和(9.4)，我们得到
因此，应变和弯矩的大小与梁位移的第二空间导数成正比。弯曲矩与梁位移的第二空间导数成正比的表述是伯努利-欧拉定律，它是线性弹性薄梁理论的基础理论基础。
方程(9.8)只考虑了在梁两端的力矩的影响。另外，如果有一个横向荷载f(x,t)，那么在梁内的垂直剪切力可以抵抗这种力。在图9.2中，如果对poin的力矩之和沿着jdirection进行，如果忽略了梁单元的转动惯量，结果就是：
这又可以推出：
在极限情况下，剪切力增加，我们得到：
在使用了上式后，推导出公式
因此，剪切力等于沿x轴的弯矩的变化。因此，如果M(x)在x上是常数，那么V是0。
9.2.2 势能，动能，和功。
我们构造了系统势能，系统动能，并决定了外部力量在第9.2.4节中进一步使用的功。
势能
变形梁的势能来自不同的来源，包括应变能。对于由于弯曲而承受轴向应变的梁，如果应变能是对系统势能的唯一贡献，则梁的势能被写成：
动能
假设梁的平移动能是对系统动能的唯一贡献，可以写成：
A(x)是梁的横截面面积，r(x)是梁材料的质量密度。如果考虑到梁单元的转动惯量，则在Eq.(1.23)中，将会包含一个与旋转动能对应的附加项。
功
每单位长度fc(x,t)应用横向保守载荷所做的功是由下式得来的：
如果重力是唯一分布的保守荷载作用在梁上，那么：
如果梁也在轴向拉伸力(x,t)的作用下，如图9.3所示，那么中心线的长度不再保持不变，而是延伸到新的长度。如果我们假设变形很小，且不影响载荷p(x,t)，那么光束元素长度的变化就是，有
因此，轴向力的外功是由下式得来：
我们使用的是Eq.(9.13)。由于拉伸力作用于横向位移w，所做的功有一个负号。如果轴向力是压缩的，那么p(x,t)被p(x,t)取代。、
最后，我们考虑了梁正在静止的线性弹性基础，如图9.3所示。横梁的横向位移产生f (x,t) kfw(x,t)的基础上的力。图中kf是基础的单位长度的弹簧常数。这个弹簧力反对光束的运动。由弹性地基所做的外功。公式如下
再一次，我们引入了一个负号来解释作用于梁上的地基力与梁的位移相反的这个事实。
拉格朗日系统
在构建拉格朗日系统的目标上，构建了系统拉格朗日算法，我们从表达式构造函数GB(x,t,w, w, w)
式中：
我们在这里引入了简洁的符号：
在方程式。(9.18)、w、wrsquo;、wrsquo;rsquo;分别表示波束速度、波束斜率、波束角速度和波束曲率。在Eq.(9.17)中，Wc(t)是由保守力所做的工，它是假设外部加载fc(x,t)的工Wf(t)是保守的，而由轴向加载p(x,t)所做的工Wp(t)是保守的。
收集了Eqs给出的空间积分(9.10),(9.11),(9.12)、(9.14),(9.15)和U(t),t(t),Wf(t)Wp(t)和Wk(t)分别,我们可以从EQ(9.16)中发现：
在Eq.(9.19)中，没有术语，因为我们忽略了在开发中横截面的转动惯量。在x =0和x= L上的光束的边界上，可以有离散的外部元素，它们对系统的总动能和总势能有贡献。例如，考虑图9.4所示的光束。在左边界(x 0)处，有一个线性平移弹簧，其刚度为k1，而刚度为kt1的线性扭转弹簧。类似地，在右边界(x L)，有一个线性平移弹簧，其刚度为k2，线性扭转弹簧的刚度为kt2。还有一个惯性元件，在左边界有质量M1和转动惯量J1，在右边界处有质量为M2的惯性元件和转动惯量J2。还有线性粘滞阻尼器阻尼系数c1 x 0和c2 x l .采取不同的动能惰性元素的左边界和势能刚度元素在图9.4左边界,可以得到离散的拉格朗日函数：
下标0表示在x 0处取值;即w0= w(0,t)表示边界x =0处的位移，表示边界x 0处的位移，表示边界x =0处的斜率，以此类推。同时，刚体质量中心的平动速度表示为w0，扭力弹簧的角位移为w0rsquo;，刚体的角速度为w0rsquo;rsquo;。类似地，给出了与右边界x =L对应的离散拉格朗日函数：
用下标L表示在x = L处取值;也就是说，wL =w(L,t)表示边界x = L的位移，表示边界x = L处的斜率，以此类推。同时，刚体质量中心的平移速度表示为，扭力弹簧的角速度为，刚体的角速度为。
回顾拉格朗日定理是系统动能和系统势能之间的差值，对于波束系统是由下式给出的：
其中GB由Eq.(9.19)给出，G0由Eq.(9.20)给出，GL由Eq.(9.21)给出。在Eq. (9.22a)右侧的最后两项是在第6章中引入的delta函数，包含在空间积分中。这将导出下式：
在这里
在方程式。(9.22 b)和(9.23),delta;函数用于表示来自空间位置的离散附件x = 0到x = L .具体来说, 假设当x不同于零,零值和假设当x = 0值不同于L的使用这些功能使我们能够包括离散表达式中包含整个域的贡献。在边界上的阻尼元素引入了以下离散的非保守力：
9.2.3扩展了哈密顿的原理和运动方程的推导。
为了推导出光束运动的控制方程，我们采用了扩展的哈密顿原理。本文首先提出了适用于空间一维连续的Ageneral公式，并得到了该公式的一个应用。首先，我们考虑了保守系统，即由于阻尼和其他耗散源而没有损失的系统，然后考虑非保守系统。
保守系统
哈密尔顿关于完整和保守系统的原则的陈述如下。在所有可能的运动路径中，在时间t1和t2的两个瞬间之间，系统所采用的实际路径对应于整体IH的平稳值;也就是说,
在到达Eq.(9.26)时，我们已经使用了Eqs。(9.22)系统的拉格朗日函数。第一个术语是在等式右边的积分中(9.26)表示的是(9.26)，表示的是，在连续体(beam)内部，在连续体(梁)内部的工作中所做的功。(9.26)来自于边界x = 0和x = L的离散元素的表示。通过对变量的计算，可以显示出Eq.(9.26)在内部0 lt; xlt; L和边界x = 0和x = L时满足以下条件时的平稳值。
连续体内部(0 lt;xlt; L)
x = 0处的边界条件
或者
并且
或者
x = L时的边界条件
或者
并且
或者
方程(9.27)到(9.31)表示受保守力作用的梁的运动方程的一般形式。
非保守系统
在非保守的情况下,所做的功非保守的力量单位长度fnc(x,t)作用于系统连续体内部和非保守力fnc0(t)= fnc(0,t)和fncL(t)= fnc(L、t)作用在边界x = 0到x = L,分别也需要被考虑。在这种情况下,方程式。(9.27)至(9.31)被修改为以下内容：
连续体内部(0lt; xlt; L)
式(9.32)被称为空间一维连续系统运动的拉格朗日微分方程.
边界条件x=0
或者
而且
或者
边界条件x=L
或者
9.2.4一般情况下的梁式方程
图9.5中所示。该系统由一个外部横向载荷f(x,t)组成，为了一般
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