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第三节
拟议框架和实施
HEIA的框架示于图1，其中s是亚种群的数目。HEIA首先初始化总体和设置一些相关参数，之后，执行克隆以获取选定的个体（具有高亲和力值的个体）。然后克隆体随机分为大小相等的亚种群，它们使用不同的进化策略独立进化，以增加它们的亲和力。多进化策略可以在解决方案中寻找不同的方向，避免了单一进化策略固有的局限性。最后，把所有在亚种群中发现的非支配抗体收集在一个精英库中，这使得每个亚群体能够在下一次迭代中共享其搜索结果。为MOP设计的任何有效的进化算子都可以用于这种混合框架。
根据图1的HEIA框架所示，抗体将经历四个重要的程序，即克隆，进化，精英存档和选择，以接近。为了验证所提出框架的有效性，这里给出了一个使用两组著名的进化算子的实现示例。一个是SBX基于多项式的突变，它在一些MOEA和MOIA中使用实值变量[2],[3],[24],[25],[43]。另一个是DE交叉加上基于多项式变异，这对于解决一些具有可变连接的复杂MOP特别有效[29],[59],[60]。首先，在算法1中给出了初始化的伪代码，其中N是人口规模，n是每个解决方案中的决策变量数，和分别是第i个决策变量的上下限，是往返于[0,1]中的均匀分布随机数。将初始群体中的所有非支配抗体添加到精英库E中[2]，计算它们的拥挤距离。其他主要程序的实施细节如下所述。
- 克隆
在生物免疫系统中，克隆是指无性繁殖机制，它从一个共同的祖产生一组相
同的细胞[24]。在MOIA中，是通过克隆高亲和力抗体以进行超突变来模拟克隆的。在本文中，值得注意的是，抗体的亲和力值被指定为拥挤距离值[2]，因此高亲和力抗体是位于搜索空间的不太拥挤区域中的抗体。类似于[24]、[25]和[53]中报告的克隆算子，在本文中，只有一小部分来自精英库中的高亲和力抗体被克隆。这旨在促进对搜索空间中不太拥挤的区域的探索，以便在目前已知的中获得更好的解分布。假设已经选择用于克隆的具有更高亲和力的抗体表示为,其中NA是所选个体的数目。克隆算子可以表示为
（6）
其中用来复制的个副本。这里的值被设为
（7）
其中是抗体的亲和力值，N是种群规模。抗体的亲和力值可以通过下
式得到 （8）
其中和分别是当前个体获得的第j个目标的最大值和最小值，而且
（9）
其中是根据第j个目标按降序对抗体进行分类。是排序后的新索引。在（9）中当边界抗体的亲和力值设置为infin;，不适用于在（7）中获取克隆编号。在这种情况下，除了边界抗体外，它被设置为最大亲和力值的两倍[24]、[25]和[53]。
B．进化策略
在我们提出的框架中，克隆被随机分为多个亚种群，服从均匀随机分布。然后，通过使用多种进化策略分别进化多个亚种群。在混合框架中使用多种进化策略降低了使用单一策略的风险，这对于特定问题可能是不适当的或无效的。这种现象在第IV-F节描述的实验研究中得到验证。这种混合策略提高了HEIA的全局搜索能力以及在解决不同类型的复杂MOP时的鲁棒性。这里，两组进化算子用于说明混合框架的行为。
- 进化：在这个阶段，采用SBX加多项式突变。SBX是在多个MOEAS和MOIA中
使用实值变量的一种重要的复合算子[2],[3],[24],[25],[43]。我们假设克隆后的抗体群体表示为，N表示群体规模。对于C中每个单独，另一个父代是从A中随机选择的（这是从精英库中挑选出来的克隆抗体）。分别设和为最大值和最小值。SBX运算符最初在[28]中定义。在这里，进行了一些改进以改善其性能[61]。它被改成了下式
(10)
(11)
其中和生成子代抗体的j决策变量，而且是由下式获得
(12)
其中是在[0，1]中均匀分布的随机数;eta;是一个交叉分布指数，其较大的值将以较高的概率生成靠近父解决方案的子解；被这样定义（假设）
(13)
其中，和分别是第i个决策变量上限和下限。应用SBX后，随机分配和或重组新的抗体。然后，利用基于多项式的突变进一步排列新的抗体,定义为
(14)
其中和分别是突变后和突变前的第i个决策变量；是一个小变化，由下式生成
(15)
其中r为[0,1]中的均匀分布随机数而且eta;为突变分布指数。eta;值越大，平均方差越小。和的值被定义为
和 (16)
最后检查x，看它是否仍然包含在第i个决策变量的边界中。如果没有，设置为下式相应的边界值
(17)
2)进化2：DE是一个非常强大的复合运算符，特别适用于决策变量中有联系的复杂问题[29],[59],[60]。它被用来解决各种各样的优化问题，包括多模态优化问题和MOP。假设C中的每个个体都用表示，新的抗体由下式产生
(18)
其中F和CR是两个控制参数，r是[0，1]中均匀分布的随机数，而且和是两个均匀分布的随机整数，用于在指定的群体P中选择两个父代。在本文中，提出了两种选择P的策略。第一种是从A中选择两种不同的父代，这支持进行全面搜索，因为A中的抗体在精英库中不那么拥挤。另一种是从邻域X选择两个不同的父代，这有利于搜索所处区域。假设邻域的数目是T。在我们的方案中，邻域的定义是根据随机选择的一个目标函数的值找到距离T最近的抗体。这组邻域用N（x）表示。父体的选择由概率参数delta;控制，由下式定义
(19)
在应用DE交叉后，还采用了（14）中定义的基于多项式的突变来排列新的抗体。
C.精英库和选择
在应用上述两种进化策略后，将两个亚种群（）收集到精英库（E）中，然后用帕累托最优[2]来寻找非支配抗体。随着多代的进化，非支配抗体的数量可能非常大。因此，需要一个适当的选择机制来限制精英档案的大小并帮助引导搜索方向走向。在目前大多数的选择策略中，首先采用帕累托最优来确定非支配个体，然后利用密度估计数据进一步保持种群多样性[2],[3],[23]–[25]。在本文中，采用了我们之前的工作[25]中提出的选择机制，该机制对非支配抗体进行了细粒度的选择过程。一旦精英库的大小大于预定义的大小，删除最拥挤的个体，然后重新计算相邻个体的拥挤距离值。这种细粒度选择机制的伪代码如算法2所示，其中输入是两个得到的分别由上述两种进化策略以及精英库E所置换的子群。这个选择程序最终会保持个在精英库E中的非支配解。
D.完整算法HEIA
以上部分介绍了HEIA的主要组成部分，即克隆，进化策略，精英库和选择。其他实现细节在HEIA的伪代码中描述，如算法3所示，g和max_g分别表示当前代数和最大代数，是往返于[0,1]中的均匀分布随机数。在算法1中描述的初始化之后，HEIA进入进化过程的循环，直到最大代数即max_g。首先，根据抗体之间的亲缘关系对其进行分类，从精英库E中挑选出具有高亲和力的抗体E。然后，每个选择的抗体是通过克隆的复制品复制的，每个克隆体被随机分配到两个亚种群中的7-13行。在那之后，两个亚种群分别用进化1和进化2进行置换，如III-B1和III-B2节所述。最后，突变的亚种群和原始库E用作运行算法2的输入，这将会保持个在E中的非支配解。上述进化阶段将重复进行，直到(预定义的)最大代数max_g为止。在算法的最后，E中的非支配解被设定为我们最后的。
第四节
实验结果
A.测试问题
采用了几种类型的测试问题来评估HEIA的性能。首先，采用了广泛的ZDT问题。由于缺乏可变链接和目标函数多模态等特征，因此该测试套件并不是特别具有挑战性。因此，因此，也采用双目标WFG和UF问题，因为它们的特征在于呈现凸性，凹度，不连续性，不均匀性以及许多局部PF的存在[26]，[31]。此外，还利用三目标DTLZ测试问题进一步研究了HEIA在处理具有两个以上目标的MOP中的性能[32]。因此，我们在实验研究中总共使用了28个测试问题(ZDT1-ZDT4, ZDT6, WFG1–WFG9, UF1–UF7, 和DTLZ1–DTLZ7)。这个大集合是全面的，足以评估多目标算法的性能。值得注意的是，对于ZDT1-ZDT3和所有UF问题，决策变量的数量是30。而ZDT4和ZDT6，所有的WFG和DTLZ问题中的决策变量个数是10。在WFG问题中，它们的10个决策变量由8个位置参数和2个距离参数组成。关于ZDT、WFG、UF和DTLZ测试问题的详细信息分别在[26]、[30]、[31]和[32]中提供。
B.性能指标
MOP的目标是找到一个尽可能接近的均匀分布集。由于反代距(IGD)度量[29]可以同时检测收敛性和多样性，它被用于评估我们的实验研究中所有比较算法的性能。设为沿均匀分布的一组解而且设为由算法找到的最佳解的集合（即）。相对于的IGD值即被定义为
（20）
其中为S集合的大小并且表示和个体在目标空间中的最小欧氏距离。IGD需要提前知道。我们实验中采用的的子集可以在http://jmetal.sourceforge.net/problems.html.中找到。一般来说，较低的值是首选的，因为它表明获得了更均匀的覆盖范围，并且更接近。
C.实验设置
在我们的实验中，为了评估HEIA的表现，我们将其与求解MOP的几种自然启发的启发式算法包括NSGA-II [2], SPEA2 [3], AbYSS [20], MOEA/D [29]和SMPSO [33]进行了比较。此外，我们还将HEIA与最近提出的三个MOIA即NICA[23],NNIA [24]和MIMO [25]进行了比较。所有算法在求解MOP时都表现出了较好的性能。因此，将我们的结果与这些算法产生的结果进行比较，可以为提出的HEIA算法提供一个全面的性能评估。
按[2]，[3]，[20]，[23] - [24]，[25]，[29]和[33]中所推荐的那样建立比较算法的参数设置，如图I所示。值得注意的是，在我们的实验研究中，我们对比较算法的参数进行了适当的调整，解决了大部分MOP的问题。为了进行公平比较，我们根据比较算法的参数设置了HEIA的参数。在表I中，N是种群数量；是交叉概率；是变异概率；并且和分别是SBX的分布指数和多项式突变。对于AbYSS，和分别是和的大小。在MOEA/D中，T定义权重系数中邻域的大小，delta;控制从T邻域中选择父解的概率并且是由每个子解替换的父解的最大数目。和是在SMPSO中[1.5，2.5]范围内随机选取的两个控制参数。对于NNIA，MIMO和 HEIA，NA是用于克隆增殖所选抗体的大小。A和B是用于MIMO自适应突变算子的两个控制参数并且R是在NICA整个克隆中的克隆率。外部存储大小通常设置为与N相同的值。
需要注意的是，表I中列出的N和NA的设置仅适用于ZDT问题，并且功能评估的最大数量设置为25000。在处理其他MOP时，根据要解决的MOP的难度和复杂性，调整种群规模和最大功能评估的次数。为了解决较为困难的WFG和三目标DTLZ测试问题，种群规模被分别设置为200和500。在这种情况下，功能评估的最大数量被设置为。由于UF问题非常复杂，所有算法都采用了300的总体规模，并且函数评估的最大数量被设置为。这些实验问题中的，和NA的设置是随着人口数量N成比例地调整的。其余参数设置与表I所列相同。所有的实验都进行了100次（使用不同的随机种子），收集平均IGD值和相应的标准差（std）进行比较。最佳结果在比较表中用黑体字表示。此外，为了得到统计上可靠的结论，进一步进行了秩和检验，来评估HEIA所得结果与其他具有显著性水平alpha;=0.05的算法所得结果之间差异的统计显著性。
D. HEIA与NSGA-II，SPEA2，AbYSS，MOEA / D和SMPSO的比较
1）ZDT测试问题的比较：表II提供了关于ZDT问题的所有算法的实验结果。结果显示
NSGA-II，SMPSO和HEIA能够得到较好的的近似值，因为对于所有ZDT问题IGD的相应平均值低于的精确度。SPEA2在ZDT1，ZDT2和ZDT3中也获得了的良好近似值，而AbYSS在ZDT1，ZDT2和ZDT6中表现良好。虽然MOEA/D在ZDT6上获得了最佳性能，但它在ZDT1–ZDT4中获得了最差的结果。由于ZDT3有一个多次断开的，在一些运行中，AbYSS和MOEA/D无法得到的所有断开部分。ZDT4有许多局部的PF，这为寻找增加了难度。SPEA2，AbYSS和MOEA/D无法有效地得到ZDT4的。SPEA2在ZDT6上表现较差，因为ZDT6的搜索空间不均匀。此外秩和检验指示出HEIA在ZDT1和ZDT6上与AbYSS表现相似，在ZDT3和ZDT6上表现与SMPSO相似。倒数第三行标记为“总排名”，总结了所有算法在解决所有ZDT问题时获得的排名，并且倒数第二行标记为最终排名”显示所有算法根据总排名的最终排名。从最终排名一行中可以看出，SMPSO和 HEIA分别得到了第一和第二，而MOEA/D得到了最后一名。最后一行“好/坏/近似”显示出比较算法的性能优于、劣于或近似于HE
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