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Banach空间的共轭性
赋范空间的赋范共轭
引言 如果X和Y是拓扑向量空间，将表示X到Y中的所有有界线性映射（或算子）的集合。为了简明起见，将缩写为.每一个自身关于函数通常的加法和数乘运算是向量空间.（这一点仅依赖于Y的向量空间结构，而不依赖于X。)—般说来，有许多方法可以使成为拓扑向量空间。
在这一章我们将只和赋范空间X，Y打交道。在这种情况，自身可
以用很自然的方式来赋范。当Y特殊化为标量域的时候，就是X的共
轭空间，上面提到的上的范数确定了的拓扑，它强于它的拓扑.Banach空间X和它的赋范共轭之间的关系构成这一章的主要话題。
4.1 定理 假设X, Y是赋范空间.对于每个相应地有
(1)
的这个定义使成为赋范空间.若Y是Banach空间，则也是.
证明 由于赋范空间的子集是有界的当且仅当它们在单位球的某个倍数中，对于每个,。若是标量，则,故
(2)
Y中的三角不等式说明对于每个，，
所以
(3)
若,则对于某个, ;所以。于是是赋范空间。
现在假定Y是完备的并且是中的Cauchy序列。因为
(4)
并且根据假定当时，，故对于每个,是Y中的Cauchy序列。所以
(5)
存在。显然是线性的。若，假使m和n充分大，（4)的右端不超过。由此推出对于所有大的m，
(6)
所以，故，并且。于是以的范数，。这就证明了的完备性。
4.2 共轭性 用表示X的共轭空间中的元并且以
代替将是方便的，这个记号也适应了一方面是在X上的作用，另一方面是X在上的作用之间存在的对称性（或共轭性）。下面定理叙述了这种共轭的一些基本性质。
4.3 定理 假设B是赋范空间X的闭单位球.对于每个定义
(a)这个范数使成为Banach空间。
(b)设是的闭单位球.对于每个，
因此，是上的有界线性泛函，范数为。
(c)是紧的。
证明 当y是标量域时，，(a)是定理4.1的推论。固定。定理3.3的推论说明存在使得
(1)
另一方面，对于每个，
(2)
(b) 从(1)和(2)推出。
因为X的开单位球U在B中稠密，的定义说明当且仅当对于每个，。现在（c)直接从定理3. 15推出。
注 由定义，的拓扑是使一切泛函
连续的最弱拓扑。因此（b)说明的范数拓扑比它的拓扑强；事实上，它是严格强的，除非,因为在3_11节末尾叙述的命題对于拓扑也成立。
除非相反的情况明确的指出，从现在起将代表X的赋范共轭（只要X是
赋范的），并且关于的所有拓扑概念将指它的范数拓扑。这并不意味着拓扑不起重要作用。
现在我们给定理4.1中定义的算子范数以另一种描述。
4.4 定理 若X和Y是赋范空间并且，则
证明 用Y代替X，应用定理4.3(b)。对于每个，这给出
为了完成证明，注意
4.5 Banach空间的第二共轭空间 Banach空间X的赋范共轭本身是一个Banach空间，因而有它自己的赋范共轭空间，记为。定理4. 3(b)说明每个以方程
(1)
定义了惟一的，并且
(2)
从而，由（1)推出是线性的；由（2),是等距的。因为X现在假定是完备的，故在中是闭的。
于是是X到的闭子空间上的等距同构。
通常把X和等同起来；故X可以看成的子空间。
中的元恰是上的那些线性泛函，它们关于它的拓扑是连续的。(见3.14节）因为的范数拓扑较强，可能出现是的真子空间。但有许多重要的空间X(例如，所有空间，),对于它们；这些空间称为自反的。它们的一些性质在习题1中给出。
应该强调，为了X是自反的，X到上的某个等距同构的存在性是不够的；关键是要满足恒等式（1)。
4.6 零化子 假设X是Banach空间，M是X的子空间，N是的子空间；M和N都不假定是闭的。它们的零化子和定义如下：
于是由在M上为0的X上的所有有界线性泛函组成，是X的子集，在它上面N的每个元为0。显然和都是向量空间。因为是当x遍历M时泛函的零空间的交（见4.5节），是的闭子空间。是X的范数闭子空间的证明甚至更直接。下面定理描述了这两种类型的零化子之间的共
轭性。
4.7 定理 在上面假设下，
(a) 是M在X中的范数闭包，
(b) 是N在中的闭包。
关于(a)，由定理3.12, M的范数闭包等于它的弱闭包。
证明 若，则对于每个，，故。因为是范数闭的，它包含M的范数闭包。另一方面，如果Hahn-Banach定理得出一个使得。于是，(a)得证。
类似地，若;则对于每个,,故有。的这个闭子空间包含N的闭包。若，Hahn-Banach定理(用于具有拓扑的局部凸空间)意味着存在使得;于是,这证明了（b)。
作为一个推论，注意X的每个范数闭子空间是它的零化子的零化子，并且同样的事实对于的每个闭子空间也真。
4.8 子空间和商空间的共轭空间 如果M是Banach空间X的闭子空间，则X/M关于商范数也是Banach空间。这在定理1.41(d)的证明中已经确定过。M和X/M的共轭空间可以借助于M的零化子来描述。粗略地说，这个结果就是
这是粗略的，因为等号应该换为等距同构。下面定理精确地叙述了它。
4.9 定理 设M是Banach空间X的闭子空间。
(a)Hahn-Banach定理把每一个延拓为泛函，定义
则是到上的等距同构。
(b)设是商映射，令。对于每个，定义
则是到上的等距同构。
证明 （a)若和是的延拓，则在中；从而。于是是确定的。容易验证是线性的，由于每个在M的限制是的一个元，所以的值域是整个。
固定。若延拓，显然。根据商范数的定义，的最大下界是,所以由商范数定义
但定理3.3提供了的满足条件的延拓。由此推出。(a)证毕。
(b)若，，则;所以是X上的连续线性泛函，它在上为0。于是。的线性是显然的。固定，设N是的零空间。因为，存在Y上的线性泛函，使得。根据中商拓扑的定义，的零空间是Y的闭子空间。由定理1.18, 是连续的，即。所以。从而的值域是整个。
剩下证明是等距映射.
设B是X的开单位球，则是的开单位球。因为，故对于每个，
伴随算子
现在我们把每个算子与它的伴随算子联系起来，我们将看到T的一些件质怎样在的性质中反映出来。若X和Y是有限维的，每个可以用矩阵表示，在这种情况下，倘若各向量空间基已经适当选取，是的转置。下面我们将不特别注重研究有限维的情况，但是历史地讲，线性代数的确提供了今日所知的算子理论的框架的背景和很多原始动机。
伴随箅子的许多非平凡的性质依赖于X和Y的完备性（开映射定理将起重要
作用）。由于这种原因，除了为的定义作准备的定理4.10以外，整个将假定X和Y是Banach空间。
4.10 定理 假设X和Y是赋范空间。对每个对应有惟一的使得任何，，
(1)
此外，满足
(2)
证明 若并且,定义
(3)
作为两个线性映射的复合，，并且
此即（l)。(l)对于每个成立的事实显然惟一地确定了。
如果，，则对于每个
故
(4)
类似地，.于是是线性的。最后定理4.3(b)导致
4.11 记号 若T把X映射到Y中，T的零空间和值域将分别用和表示：
下面定理涉及零化子；记号见4.6节。
4.12 定理 假设X和Y是Banach空间，。则emsp;
证明 在下面两列中，每一列的每个论述显然等价于紧接着的一个及前面一个。
推论
(a) 在中是同构。
(b) 在Y中稠密当且仅当是一一的。
(c)T是一一的当且仅当在中是稠密的。
回忆对于Y的每个子空间M，在中是闭的。特别地，这一点对于是真的。于是（a)由上面定理推出。
至于（b), 在Y中稠密当且仅当;在这种情况。类似地，当且仅当不能被X中非0的x所零化；这就是说在中是稠密的。
注意Hahn-Banach定理3.5已悄然用于（b)和（c)的证明中。
(b)有一个非常有用的类比，即当且仅当是一一的并且的逆映射（映到上）是有界的。下面定理中（a)与（b)的等价性以不同的方式表达了这一点。定理4.15与此密切相关。下面三个定理并在一起有时称为闭值域定理。
4.13 定理 设U，V分别是Banach空间X，Y的开单位球。若，，则对于下面四个论断，蘊涵关系
成立：
(a)
(b)
(c)
(d)
此外若（d)成立，则对于某个，（a)成立。
证明 设（a)成立，取。因为是凸的，闭的和均衡的，定理3.7说明存在使得，，但。若,这推出
于是。现在（a)给出
这推出当时，。于是。
下面假设（b)成立，不失一般性，取，则于是对于每个和对应有使得并且。
取。再取使得
假定并且已经取定，存在使得并且。令
由归纳法，这个过程确定了两个序列和。注意到
所以
由此推出在U中（见习题23)并且
因为当时。于是,这证明了（c)。
注意上面的讨论恰是开映射定理2.11的部分证明的特殊形式。
(c)蕴涵(d)是显然的。
假设(d)成立。由开映射定理，使得。所以对于每个，
此即（a)。
4.14 定理 若X和Y是Banach空间并且，则下面三个条件每一
个蕴涵其他两个：
(a)在Y中是闭的。
(b)在中是闭的。
(c)在中是范数闭的。
注 定理3.12意味着（a)成立当且仅当是闭的。然而，中的范数闭子空间并不总是闭的（第3章习题7)。
证明 显然（b)蕴涵（c)。我们将证明（a）蕴涵（b), (c)蕴涵（a)。
假设（a)成立。由定理4.12和定理4.7(b), 是的闭包, 从而为了证明（bgt;只要说明。
取，在上定义线性泛函,
注意是确定的，因为若，则。从而
把开映射定理应用于
因为已假定是完备空间Y的闭子空间，从而是完备的。由此推出存在使得每个，对应有使得,，并且
于是是连续的。由Hahn-Banach定理，某个延拓。所以
这意味着。因为是的任一元素，我们证明了。于是（b)从（a)推出。
下面假定（cgt;成立，设Z是在Y中的闭包，以定义。因为在Z中稠密，定理4.12的推论（b)意味着
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