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基于非常规态近场动力学理论的热塑性破坏模型
1. 介绍
多年来，具有热力学特性的材料和结构吸引了人们很大的兴趣。由于裂纹的萌生和传播，缺陷的存在（如凹口和空穴）会降低材料的功能性。尽管在局域连续介质理论中有许多数值模拟方法（如扩展有限元法[1,2,58,59]，无网格法[3-9,60-62] ，虚位节点法[10-12]，XIGA [13,14,63-68]和网格重划分技术[15,16,69-71]），但对裂纹萌生和扩展的模拟仍然是这些方法所面临的主要挑战。从数学的角度来看，它们是基于偏微分方程的，方程中的空间导数将在不连续处失效[17]。经典位移场理论的适用范围与长度和时间的尺度密切相关。若L表示外部特征长度（例如裂纹长度，波长）而l表示内部特征长度（例如颗粒距离，晶格参数），则在区域L/lgt;gt;1中，经典位移场理论预测的结果足够精确。另一方面，当L/l~1时，则局域理论失效。在动力学中，将会有类似的尺度T/t，其中T是外部特征时间（例如施加载荷的时间尺度），t是内部特征时间（例如， 信号从一个分子传输到另一个分子的时间尺度）。当T/t~1时，经典理论无效。因此，空间和时间尺度上的物理现象要求非局域性按L/l和T/t进行缩放。非局域连续理论可以用来解决上述局域理论的数学问题。非局域的概念是固体物理学中的固有属性，在固体物理学中，原子的非局域吸引作用普遍存在。这里，材料是由远距离作用力相联系起来的离散原子组成的[18]。
Silling[19]提出了基于积分-微分方程的非局域理论，称为近场动力学理论（Peridynamics，PD）。PD理论在不需要求空间导数的条件下重构了运动方程。 在PD理论中，连续体由非局域相互作用的物质点组成。因此，PD方法可以被认为是一种非局域无网格方法，在解决网格的方法失效时的大变形问题中具有优势。PD理论在建模过程中允许不连续和连续同时存在。断裂是PD模拟的自然结果，损伤是材料反应的一部分。 PD [19]的原始版本后来被命名为基于键的（BB-PD）理论。基于状态的PD（SB-PD）理论[20]是BB-PD理论的一个通用形式的理论（关于BB-PD的适用范围参见参考文献[20]）。 SB-PD有两种类型：普通状态（OSB）和非普通状态（NOSB）（关于差异的细节参见参考文献[20]中的定义8.4）。为了建立一个SB-PD模型，材料相关部分要被重新定义，引入一个我们称为“力矢量状态”的数学对象，这在某种程度上类似于传统连续介质力学的传统应力张量。因此，传统的本构模型可以纳入SB-PD模型。例如，Mitchell [21]在OSB-PD理论中实现了对弹塑性本构模型的理论分析。Warren等人通过弹塑性线性硬化本构模型所做的工作对OSB-PD也有类似的贡献。在NOSB-PD理论中，Foster等人通过改进的不包含温度效应的Johnson-Cook本构模型扩展了弹塑性材料模型和Tupek的模型等。
PD理论成功应用到热扩散问题上了。 Kilic和Madenci [25]应用BB-PD理论预测了由于热负荷导致单个或多个预先存在的裂纹的淬火玻璃板中的热驱动裂纹扩展模式。Bobaru和Duangpanya [26]为热传导方程建立了一维BB-PD理论，并将其扩展到求解不连续性的二维问题[27]。 Kilic和Madenci [28]提出了一种非耦合热力学问题的BB-PD的公式。他们将热力学术语纳入PD效应的响应函数中。他们引入了一个多维PD热传导方程，并考虑了带有不连续性的区域，如内有裂纹。Gerstle等人[29]建立了用于电迁移的BB-PD模型，该模型解释了一维热传导问题。Oterkus等人[30]从拉格朗日形式导出了热传导方程的SB-PD模型。另外，Oterkus等人[31]扩展了这一模型，用来分析2D问题。Agwai [32]利用热能和机械能的守恒以及自由能函数，建立了一个完全耦合热弹性的OSB-PD公式。她还使用OSB-PD公式推导了耦合方程的无量纲BB-PD形式，并将其应用于求解一维问题 。 Oterkus等人[33]对其进行拓展之后可以用来解决二维和三维问题。
据我们所知，目前还没有用NOSB-PD理论来研究热塑性问题中韧性断裂的研究报告。因此，本文的主要目的是将三维热力学模型扩展到NOSB-PD理论中，并且利用其处理韧性断裂的能力。热力学中韧性断裂的一个主要特征是其耗散性。塑料会在裂纹尖端区域产生大量的热量，从而会产生热软化，剪切带和热损伤现象[34]。Johnson-Cook模型是处理应变硬化、热软化、应变率效应和韧性损伤等最受欢迎的韧性断裂模型之一。对于绝热加热，热力学耦合只能通过非弹性产生的热量来模拟，这表明塑性变形所做的功转换为热量[3]。我们将注意力局限于绝缘加热下的热塑性问题，而求解完全耦合的热力学方程式并不是我们的目的。我们采用JC模型进行本构建模和损伤评估。在这里介绍了热塑性NOSB-PD方面的细节。利用泰勒杆冲击试验验证了该方法的有效性。另一个验证实验是Kalthoff-Winkler实验。
本文的其余部分如下：第2节描述了JC本构和损伤模型。 在第3节中，介绍了PD理论的概念以及热力学问题中的NOSB-PD公式。 在第4节中进行数值验证和结果验证，并且对实验数据进行了比较和总结。最后，总结了一些具有结论性的意见。
2 约翰逊 - 库克模型
2.1约翰逊-库克本构模型
在高速冲击问题的动态响应中，应变硬化，热软化和应变率是十分重要的影响因素。 Johnson-Cook本构模型[35,36]解释了这些因素对该问题的影响。 JC本构模型的von-Mises流应力由下式给出
其中εp是等效塑性应变，A是屈服应力，B和n是应变硬化常数，C是应变速率常数，m是温度软化指数参数，是无量纲的塑性应变率, 和 = 1.0s-1分别为塑性应变率和塑性应变力的参考值，T *为同源温度，定义为
其中T，T0和T m分别是电流，参考温度和熔化温度。
Camacho和Ortiz [37]修改了JC本构模型的von-Mises流动应力，使之可以避免lt;1的不利影响。
2.2约翰逊 - 库克损伤模型
Johnson-Cook损伤模型将累积损伤D与等效塑性应变增量△εp的关系表示为[36]。
其中nt是时间离散程序中的时间步数，εf是断裂应变，定义为同源温度，则它与应变率，压力的函数为[36,38]：
其中D1 ,... D5是材料常数，sigma;m=trace（sigma;）/ 3是由柯西应力张量sigma;得到的静水压力，sigma;*是三轴应力比。当sigma;*gt; 1.5时，与其为线性关系的是参考文献中提出的断裂应变εf。sigma;*spall=sigma;spall/S，是由破裂裂缝和von-Mises应力的当前值计算得到的无量纲裂缝。方程式的第一个括号（5）表明，断裂应变随着静水压力增加而减小。 第二和第三个括号分别代表了应变率和温度效应。 D = 0表示材料未损坏的点，而D = 1表示材料点完全损坏
为了避免 lt;1的不利响，断裂应变被修改为
因此，考虑损伤的JC本构模型可写为
其中εrp是损伤累积塑性应变，损伤累积塑性应变速率形式为 =（1-D）和为材料受损点的无量纲塑性应变率。
图1.（a）参考矢量状态和变形矢量状态，（b）半径为delta;，xi为中心的Hxi 。
3 热力学的近场动力学理论
3.1 热力学控制方程
线性动量平衡的强形式是
和能量平衡的强形式
其中rho;0是初始质量密度，u是位移矢量，t是时间; Cp是比热容，T是温度，beta;是泰勒 - 昆尼经验常数[40]，代表转换为热量的塑性变形做的功。 这表明该参数随塑性应变的变化而变化[41]。 通常认为90-100％的塑性变形的功被转化为热量; tau;是基尔霍夫应力张量，dp是变形速率张量d的塑性部分; F是变形梯度张量; KT =kappa;1是各向同性材料的热导率张量，其中kappa;是热导率系数，1是二阶单位张量，P是第一个Piola-Kirchhoff应力张量，而J = det（F）gt; 0是形变梯度张量。
这两个方程本质上通过本构方程耦合在一起。 一般来说，由于与热力场和力场相关的时间尺度不同，这种耦合系统的数值模拟很复杂[42]。 为了求解这些方程，可以采用两种数值积分的方法，即单片法[43-45]和算子分裂[46,47]法。 在用算子分裂求解方程时（9）可以分为两个子系统[34]：（a）由于绝热热力系统（塑性变形）和（b）基于热传导产生热量的系统，可以表示为
绝热加热：
热传导：
为了求解方程 （10）能量平衡方程，可以分两步进行
1 .在JC 本构模型中，更新由于绝热加热而引起的温度变化
2 .更新由于热传导引起的温度变化。
式。（10） - （b）需要重新改变微积分方程形式，用于更新PD中由于热传导引起的温度变化。由于高速冲击问题发生的时间很短（几百微秒），我们只考虑热量的变化受绝热加热的影响和热效应的影响，热传导可以忽略不计[3]。 人们通常认为塑性变形的能量转化为热量，所以根据这个计算热量变化
在这里，耦合热塑性问题被简化成一种力学问题[3]。 所以，动量方程，方程 （8），满足NOSB公式和能量方程，式（10） - （a）仅用于本构模型的更新。
3.2 Peridynamic态
设参考（初始）对象Omega;0中物质点i和j的空间位置向量分别为xi和xj（见图1（a）），u（xi，t）和u（xj，t）分别表示为变形结构Omega;中时间t时的材料点i和j的位移矢量，y（xi，t）和y（xj，t）分别表示为变形结构Omega;中时间t时的材料点i和j的位置矢量。 物质点xi的状态取决于它与物质点的相互作用，物质点位于有限距离Hxi内，称为半径delta;，它是xi的近场作用范围（近场作用范围）。 材料点i与位于Hxi内的所有材料点j之间是非局域相互作用（见图1（b））。
在PD概念中的一些特定状态有：参考位置矢量状态：Xlt;xi;gt;=xi;= x j - xi，（12）
位移矢量状态：U [x，t]xi;= h = u（x j，t） - u（xi，t），（13）
变形矢量状态：Y [x，t]xi;=xi; h = y（x j，t） - y（xi，t），（14）
其中Xlt;xi;gt;表示作用于xi;的状态X. 矢量状态是二阶张量的通用形式，即状态X将参考位置矢量状态xi;表示为矢量[3] [20]，Y [x，t]表示状态Y依赖于空间位置矢量x和时间t。
3.3 基于非常规态近场动力学热塑性模型
基于PD状态的运动方程可以表示为[20]
图3. NOSB-PD理论流程图
其中N表示离散物体的节点的总数，m是物质点xi的近场作用范围中物质点的数量，b是外部体力密度矢量，T [x，t]lt; xj - xigt;和T [x，t]lt;xi - xjgt;是力矢量状态。 T （15）满足线性动量和角动量的平衡关系[20]。
为了离散方程式（15）中，我们将积分近似为有限求和
其中Vxcj = vcj Vxj是相邻点j的校正体积。 如图2所示，对物质点xi构建的近场作用范围体积积分的近似可以改写为[17]，
其中xi;ij= |xj-xi|和r =Delta;/ 2是距近场作用范围表面的距离，其中△表示物质点之间的距离。
为了计算力矢量状态T，Silling等人 [20]提出了将经典本构模型纳入PD范围的方法，图3和图4对该范围中的NOSB-PD流程图和力矢量状态进行了总结。JC模型的流程图如图5所示。
非局域形式的张量是由参考位置矢量状态的张量积分定义的，可以表示如下[20]，
其中K是二阶对称正定张量，omega;lt;xi;gt;是影响函数。
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