英语原文共 209 页
第三章
混凝土路面的荷载应力
- 介绍
混凝土路面通常被理想化为弹性地基上的梁或板。放置在梁/板底部的众多假想弹簧代表了这种模型的弹性基础。本章首先分析了弹性地基上的梁，然后分析了弹性地基上的薄板。此外，讨论了板理论如何用于分析搁置在基座/底座上的隔离混凝土路面板（有限尺寸）。
- 弹性地基上梁的分析
梁是一维构件。梁（单位宽度）的示意图，其位于具有弹簧常数k的多个弹簧上（称为Winkler模型，稍后将在下文中讨论）
图3.1：搁置在许多弹簧上的梁受到集中载荷Q的作用
如图3.1所示，在x = 0处受到尖锐载荷Q的影响。一部分的自由体图梁（除了载荷施加点）如图3.2所示。力矩（M）和剪切力（V）显示在自由体图。弹簧在长度dx的元件上的向上力是omega;kdx，其中omega;是光束在Z方向上的位移。从图3.2，使用可以写的力均衡
采取时刻均衡得到，
将公式3.2放入公式3.1并考虑到这一点（即，对于Euler-Bernoulli梁）
其中，EI是梁的抗弯刚度。这是搁置在弹性基础上的梁的广泛使用的基本表达
图3.2：梁中dx元素长度的自由体图
适用于基础工程[109,136,144,247]。公式3.3的一般解决方案如下：
其中，,且,,和都是常数，这些结论可以从相关的边界条件确定到问题的具体几何。考虑到梁的一侧（例如，右侧）相对于无限梁的载荷施加点（如图所示）图3.1），可以写出以下边界条件，然后得出以下结果
这个条件导致.因此，等式减少为
由于对称性，，这导致
弹簧产生的总向上力必须等于向下施加的力Q，即，所以
因此，在弹性地基上的无限梁的挠曲表达式如下
可以注意到，所开发的等式（等式3.5）仅对无限束的右侧（即）有效。以类似的方式，可以为光束的左侧开发表达式。然后，第一边界条件改变为，其他两个条件保持不变。在这些边界条件下，得到常数以及。等式（对于来自x = 0的无限束的左侧）采用以下形式：
可以使用方程3.5或3.6（通过连续微分）来获得旋转，弯矩和剪切轮廓[109]。最大挠度在负载下，并得到
如果每单位长度q均匀分布负载（而不是点加载），则可以通过积分获得偏转。
对于如图3.3，在处的偏转可以通过使用从方程3.5和3.6计算的偏差的叠加来获得，并且可以表示如下：
图3.3：分布载荷的无限梁分析
如果部分位于加载区域（长度为n m）之外，则需要使用公式3.5或3.6，并使用适当的积分限制。此外，光束可以假设为半无限（即，光束在一侧具有明确的结束，而另一侧是无限的，或有限的（即，光束具有有限的长度）。在这种情况下，可以使用适当的边界条件。或者，可以将其解释为两个无限光束的叠加。例如，可以参考[109,247]来了解各种方法的细节。
例如，这种一维分析可用于分析定位销的问题。图3.4说明了如何将单个定位销理想化为搁置在弹性基础上的有限梁。但是，在定位销分析问题中还需要考虑其他因素（参见图3.4），例如，（i）中间部分存在不连续的支撑，（ii）销钉杆的一侧嵌入混凝土中，但另一侧可自由水平移动，（iii）车轮负载不有兴趣的读者可以参考弗里伯格[87,88]和布拉德伯里[27]的过去作品，以及波特[223]关于定位杆分析和相关假设的相对近期研究。
与公式3.3的发展一致，梁的平衡条件（参见公式3.1）具有任意加载
图3.4 用于分析的定位销的理想化
（每单位长度的q，可能包括自重）和任意基础支撑（每单位长度的p）条件（参见图3.5）可写为：
或
图3.5 具有任意载荷的梁
其中，qlowast; 是向下方向上每单位长度的净负荷。根据基础支持，p的表达式可能会有所不同。可以注意到，如果p = 0，则变为相当于梁弯曲方程，没有任何弹簧支撑。 Winkler ，Pasternak和Kerr是不同类型支持的示例，并在下面简要讨论。
- 基于Winkler基础的射线
未连接（线性）弹簧称为Winkler弹簧[124,142,144,182]。
本节开头已经讨论了在Winkler弹簧上放置尖梁的梁的配方（第3.2节).也就是说，对于Winkler弹簧，p =komega;。因此，受到载荷q的Winkler弹簧上的梁（遵循公式3.3）可以表示为
这里使用的Winkler弹簧常数（k）表示弹簧系统产生单位位移所需的压力。1 因此其单位为MPa / mm。如2.2节所述，路基反应模量（k）也是使单元变形到介质（即路基或底基层或基层）所需的压力。因此，本配方中使用的弹簧常数在概念上等同于支撑层的路基反应模量。
可以参考Terzaghi [270]撰写的论文，详细讨论k值的评估。在预测（i）偏转形状（特别是在板的边缘和角落处）或（ii）应力方面，路基反应模量的非唯一性是过去研究人员提出的问题。
图3.6 搁置在Pasternak地基上的梁和剪切层的自由体图
例如，可以参考[62,117,233]讨论所涉及的问题。这促使研究人员过去开发多参数模型来捕捉土壤上结构的响应。其中一些将在下面讨论。
基于Pasternak基础的射线
在Pasternak地基中，假设在弹簧系统的顶部有一个假设的剪切层（参见图3.6（a））。因此，考虑剪切层长度dx的元素的平衡（参见图3.6（b）），可以写
如果假设剪切层内产生的剪切力与斜率成比例，则可以写入
其中Gs 是基础的剪切模量。将公式3.13放入公式3.12，得到，
将公式3.14中的公式3.14（即，基于弹性地基的梁的一般公式）放置在Pasternak基础上的一维梁的方程变为，
例如，[37]可以参考Pasternak基础上的各种问题几何形状的解决方案。
- 基于Kerr基础的射线
Kerr基础模型[144,145]由两层Winkler弹簧组成（例如弹簧常数k1和k2 ） ， 其间夹有剪切层（参见图3.7（a）).Kerr地基中剪切层长度dx的自由体图如图所示图3.7（b）。在剪切层的顶部和底部传递的压力显示为p1 和p2，顶部和底部弹簧组所经历的位移分别为omega;1 和omega;2 。
考虑到剪切层的平衡
图3.7：放置在Kerr基础上的梁和剪切层的自由体图
进一步，
其中，omega;是光束的偏转。弹簧条件可以写成，
将公式3.17和3.18放入公式3.16，就可以写出
将公式3.18置于公式3.10中（即，基于弹性基础的梁的一般公式并考虑到这一点p = p1 在本例中）它可以写成
- 各种其他型号
在弹性基础上有大量的梁模型（例如， Filonenko-Borodich模型，Vlasov模型，Rhines模型，Reissner模型，Het#39;eni模型等，其中一些是连续模型）各种研究人员提出并研究了各种溶液技术[73,137,237,299]。有兴趣的读者可以参考，例如，[124,142,144,153]等论文/报告，以审查各种类型的基础模型，或参考Selvadurai [247]的书进行详细讨论。
如果搁在Winkler弹簧上的梁承受拉伸轴向力N，则可以显示（从自由体图中，以类似的方式开发其他方程）[109]，
可以看出，等式3.20的形式类似于等式3.15（因此解决方法将是类似的），即使这些已经针对两种不同类型的问题导出。
从上述方法出发，可以进一步开发模型来表示放置在剪切层内的土工织物/土工格栅[179,181]。除弹簧模型（通常归类为“集总参数模型”）外，连续模型也用于表示路基支撑。这将在第5章中讨论。
- 分析在弹性地基上的薄板
混凝土板通常被理想化为搁置在弹性基础上的薄板。在下文中，介绍了基于弹性基础（Winkler，Pasternak或Kerr基础）的薄板理论。板理论的原理和表述在实践和研究中被广泛使用。例如，可以参考[99,134,247,276,295]进行详细讨论。这里，关于板块理论的讨论一直保持简短，感兴趣的读者可以参考上述书籍，例如，进一步研究。
具有小偏转的薄板的假设a如下[99,134,153,247,276]，
- 与其它尺寸相比，板（h）的厚度较小。
- 与板的厚度相比，偏转omega;较小。
- 由于施加载荷，中间平面不会拉伸。
- 垂直于中间平面的平面部分在弯曲之前和之后保持平面。
- 板材只能以两种方式变形;它可以轴向膨胀或收缩，也可以弯曲，其横截面保持平面。因此，可以忽略沿横向的法向应力，即sigma;zz = 0。
- 基于Winkler基础的板材
板的厚度为h，其中间平面假设与X-Y平面重合，因此z从 到 变化。
图3.8：薄板元件的偏转位置
该板的偏转分别假设为u和v，分别在X和Y方向上。图3.8显示了偏转板的元件，并且仅沿X方向示出了偏转。从图3.8中，人们可以写，
类似地，因此将沿Y方向偏转
使用公式1.18中的公式3.21和3.22，可以写，
用等式1.30中的公式3.22中的表达式代替（即，对于平面应力条件），得到，
使用公式3.23，得到的矩,
其中 是板的抗弯刚度。
方程3.24至3.26是薄板理论中广泛使用的矩方程。可以回想起，在当前情况下，假设薄板搁置在弹性基座上。让净垂直向下压力假设为每单位面积qlowast; （即qlowast; = qp，其中q是每单位面积的施加载荷），其可包括板坯的自重，p为每个基础单位面积支撑，由弹簧（例如，Winkler，Pasternak，Kerr等）提供每单位面积。
图3.9显示了作用在板的小元件（）上的各种力和力矩。假设的正方向也显示在图表上。为清楚起见，该图分为三个部分（a），（b）和（c）。可以注意到，力矩和剪切力是每单位作用的长度，而qlowast; 是每单位面积。通过采取垂直力平衡（参见图3.9（a）），得到
或
通过沿着DC获取的时刻，
忽略较小的订单条款并重新排列，
同样地，通过沿着BC获取的时刻，
图3.9 薄板元素的自由体图
同样，忽略较小的订单条款和重新排列，
将公式3.29和3.31放入公式3.27，得到[99，134, 247, 276],
或
因为，
现在，分别从公式3.24,3.25和3.26中得到Mxx，Myy 和Mxy 的表达式，得到[99,134,247，276]
或
或
其中
公式3.33是一个众所周知的方程，用于放置在弹簧基础上的板[99,134,247,276,295]。对于Winkler的基础案例，等式可以重新排列为
等式也可以写成，
图3.10：二维Pasternak地基剪切层的自由体图
其中，，被称为相对僵硬的半径。
此外，以下部分将简要讨论搁置在Pasternak和Kerr地基上的板块的情况。也可以在圆柱坐标系中以类似的方式进行，表明公式3.33成立，其中.例如，可以参考[134,276]进行推导。
- 基于Pasternak基础的板材
图3.10显示了二维Pasternak地基剪切层的自由体图。考虑到剪切层的力平衡，人们可以写，
假设在剪切层中产生的剪切力与斜率成比例（以类似于中的方式）可以写为
和
因此，可以写
因此，考虑到公式3.33，搁置在Pasternak地基上的板的控制方程变为：
或
- 基于Kerr基础的板材
以与上述类似的方式进行第3.2.2节，对于二维情形，可以得到Kerr基础的控制方程，
可以参考Cauwelaert等人的论文[38]，其中提供了克尔基础案例的配方的详细开发。
图3.11：板边界可以是自由的，固定的或铰接的
- 边界条件
图3.11显示了一个尺寸为Ltimes;B的混凝土路面板，理想化为
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