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一种用于图像去噪的非局部算法
Antoni Buades, Bartomeu Coll
Dpt. Matematiques i Inform atica, UIB
Ctra. Valldemossa Km. 7.5,
07122 Palma de Mallorca, Spain
vdmiabc4@uib.es, tomeu.coll@uib.es
Jean-Michel Morel
CMLA, ENS Cachan
61, Av du President Wilson
94235 Cachan, France
morel@cmla.ens-cachan.fr
摘要
我们提出了一种新的去噪方法来评估和比较数字图像去噪方法的性能。 我们首先计算和分析这种方法噪声的一大类去噪算法，即局部平滑滤波器。其次，基于图像中所有像素的非局部平均，我们提出了一种新的算法，即非局部均值算法（NL-means）。最后，我们介绍一些比较NL均值算法和局部平滑滤波器的实验。
介绍
图像去噪方法的目标是从噪声测量中恢复原始图像，
(1)
其中是观测值，是“真”值，是像素i处的噪声扰动。 建模噪声对数字图像影响的最简单方法是添加高斯白噪声。 在那种情况下，是独立同分布，具有零均值和方差的高斯值。
目前已经提出了几种方法来消除噪音并恢复真实的图像。尽管它们在工具上可能会有很大不同，但必须强调的是，一个广泛的类别具有相同的基本评论：去噪是通过平均来实现的。该平均可以在本地执行：高斯平滑模型（Gabor [7]），各向异性过滤（Perona-Malik [11]，Alvarez等人[1]）和邻域滤波（Yaroslavsky [16]，Smith等人[14]，Tomasi等人[15]），通过变分计算：全变分最小化（Rudin-Osher-Fatemi [13]）或频域：经验主义的维纳滤波器（Yaroslavsky [16]）和小波阈值法（Coiffman-Donoho [5,4]）。
在形式上，我们定义了一个降噪方法作为分解
其中是噪声图像，是通常取决于噪声标准偏差的滤波参数。 理想情况下，比更平滑，看起来像是白噪声的实现。光滑部分与非光滑部分或振荡部分之间的图像分解是当前研究的主题（例如Osher等人[10]）。在[8]中，Y.Meyer研究了适合这种分解的功能空间。后一个研究的主要范围不是去噪，因为振动部分包含噪音和纹理。
去噪方法不应改变原始图像u。现在大多数去噪方法都会降低或去除图像的细节和纹理。为了更好地理解这种去除，我们将介绍和分析方法噪声。方法噪声被定义为原始（总是稍微有噪声的）图像u与其去噪版本之间的差异。
我们还提出并分析了NL均值算法，这是由简单的公式定义的
,
其中,是一个归一化常数，是高斯核函数并且h作用作为过滤参数。这个公式就是这个意思x处的去噪值是所有点值的平均值其高斯街区看起来像x的邻居。根据[6]的提供，NL均值算法与局部滤波器或频域滤波器的主要区别在于系统地使用了图像可以提供的所有可能的自我预测。有关更详细的分析NL均值算法和更完整的比较，见[2]。
第2节介绍了方法噪声并计算了其所提到的局部平滑滤波器的数学公式。第3节给出了NL均值算法的离散定义算法。在第4节中，我们给出了理论结果关于方法的一致性。最后，在第5节我们比较NL均值算法的性能和局部平滑过滤器。
去噪方法
定义1（方法噪声）令u为图像，为取决于滤波参数h的降噪算子。然后，我们将方法噪声定义为图像差异.
去噪算法的应用不应该改变无噪声图像。因此，假定图像的某种规律性时，方法噪声应该非常小。如果去噪方法运行良好，则即使噪点很小的图像，方法噪声也必须看起来像噪声，并应包含尽可能少的结构。由于即使是高质量的图像也会产生一些噪音，因此以这种方式评估任何去噪方法是有意义的，而不需要传统的“添加噪声然后去除它”的技巧。我们将列出允许计算和分析几种经典局部平滑滤波器的方法噪声的公式：高斯滤波[7]，各向异性滤波[1,11]，全变差最小化[13]和邻域滤波[16]。对于频域滤波器的方法噪声的形式分析超出了本文的范围。这些方法噪声也可以被计算，但它们的解释取决于小波基的特定选择。
高斯滤波
图像各向同性线性滤波归结为图像由线性对称核卷积。该这种内核的范例当然是高斯内核。在那种情况下，Gh有标准，偏差h，很容易看出
定理1（Gabor 1960）图像方法的噪声用高斯核函数Gh进行卷积，
h足够小。
在图像的谐波部分和非常大的近边或纹理中，高斯方法噪声为零，其中拉普拉斯不能小。结果，高斯卷积在图像的平坦部分是最佳的，但是边缘和纹理被模糊。
各向异性过滤
各向异性过滤器（AF）试图避免模糊通过仅在x处卷积图像u而获得高斯效应在与正交的方向上。这样的过滤器的想法可以追溯到Perona和Malik [11]。它由,定义，对于x使得Du（x）ne;0并且其中（x，y）perp;=（-y，x）Gh是具有方差的一维高斯函数。如果假设原始图像是两倍在x处连续可微（），很容易表示二阶泰勒展开式。
定理2各向异性滤波器的图像方法噪声是,
当Du（x）ne;0时该关系成立。
通过curv（u）（x），我们表示曲率，即通过x的水平线曲率半径的有符号倒数。无论图像u在本地表现如同一条直线，还是在弯曲的边缘或纹理（曲率和梯度运算符都取高值）时，噪声都是零。结果，直线边缘恢复良好，而平坦和纹理区域退化。
全变差最小化
全变差最小化由Rudin，Osher和Fatemi [13]提出。 给定一个噪声图像v（x），这些作者提出恢复原始图像u（x）作为最小化问题的解决方案
其中表示u的总变化量，lambda;是a给定拉格朗日乘子。 上述最小化的最小值问题存在并且是独特的。参数lambda;与噪声统计相关并控制所获得解的过滤程度
定理3全变差最小化的方法噪声是如在各向异性情况下，保持直边因为它们的曲率小。但是，如果lambda;太小，细节和纹理可能会过平滑。
邻域过滤
我们称邻域过滤器为恢复过的任何过滤器通过取相邻像素值的平均值来确定像素具有类似的灰度值。雅罗斯拉夫斯基（1985）[16]对具有相似灰度值和归属的像素进行平均到空间邻域，
(2)
其中x isin; Ω, 是正常化因子和h是一个过滤参数。
雅罗斯拉夫斯基滤波器比较新的版本更为人所知，即SUSAN滤波器（1995）[14]和双边滤波器（1998）[15]。两种算法都不考虑固定的空间邻域，而是对参考像素x的距离进行加权，
(3)
其中是正常化因子和rho;现在是空间滤波参数。 在实践中，和之间没有差别。如果两个区域之间的灰度差大于h，那么两种算法都会计算属于与参考像素相同区域的像素的平均值。因此，算法不会模糊边缘，这是它的主要范围。 在实验部分，我们只比较雅罗斯拉夫斯基邻域滤波器。
这些滤波器的问题在于，当这些值有噪声时，仅比较单个像素中的灰度级值并不那么健壮。邻域滤波器还会产生人造震动，这可以通过计算其方法噪声来证明，参见[3]。
3. NL均值算法
给定离散噪声图像v = {v（i）| iisin;I}，针对像素i的估计值被计算为图像中所有像素的加权平均值，
其中权重族取决于像素i和j之间的相似性，并且满足通常条件0le;w（i，j）le;1并且。
两个像素i和j之间的相似性取决于强度灰度级矢量和的相似性，其中表示固定大小的正方形邻域并且以像素k为中心。 这种相似度被测量为加权欧几里得距离的递减函数，其中alpha;gt; 0是高斯核的标准偏差。欧氏距离在嘈杂的街区中的应用带来了如下等式：
该等式显示了该算法的鲁棒性，因为在期望中，欧几里德距离保存了像素之间的相似性的顺序。
图1. NL均值算法策略的方案，相似的像素邻域给出了一个很大的权重，w（p，q1）和w（p，q2），而不同的邻域赋予一个小权重w（p，q3）。
具有与相似的灰度邻域的像素具有较大的平均权重，参见图1。这些权重被定义为，
，
其中Z（i）是归一化常数，参数h充当一定程度的过滤。它控制指数函数的衰减，并因此控制作为欧几里得距离的函数的权重的衰减。
NL均值算法不仅比较单个点的灰度级，而且还比较整个邻域的几何配置。 这个事实允许比邻域滤波器更强大的比较。 图1说明了这一事实，像素q3具有与像素p相同的灰度级值，但邻域差别很大，因此权重w（p，q3）几乎为零。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图2.显示用于估计每个图像中心像素的NL均值算法权重分布。 权重从1（白色）变为0（黑色）。
4.NL均值算法一致性
在平稳性假设下，对于像素i，NL均值算法一旦观察到它的邻域，就会收敛到条件期望值。在这种情况下，平稳条件就等于说随着图像尺寸的增大，我们可以找到许多类似的补丁为图像的所有细节。
设V是一个随机场，并假设有噪图像v是V的一个实现。令Z表示随机变量的序列，其中是实值，是值。NL均值算法是条件期望值的估计量。
定理4（条件期望定理）假设i = 1,2，...，是一个严格平稳和混合的过程。令表示NL均值算法应用于序列。然后，
对于jisin;{1,...,n}
这个定理的假设及其证明的完整陈述可以在[12]中的一个更一般的框架中找到。这个定理告诉我们，NL均值算法纠正了噪声图像，而不是试图将噪声（振荡）从真实的图像（平滑）。
在假定加性白噪声模型的情况下，下一个结果表明条件期望是的函数，它使真实图像u的均方误差最小。
定理5假设V，U，N是I上的随机场，使得V = U N，其中N是信号独立的白噪声。然后，下列语句成立：
- 对于所有的iisin;I和xisin;.
- 期望的随机变量是的函数，使平均值最小化平方误差
类似的最优性理论结果已经在文献[9]中得到，并且被提出用于二值图像的去噪。这两种算法之间的理论联系将在未来的工作中进行探讨。
5.讨论和实验
在本节中，我们比较了局部平滑滤波器和NL均值算法在三个明确定义的标准下：方法噪声，恢复图像的视觉质量和均方误差，即恢复图像和真实图像之间的欧几里得差。
对于计算NL均值算法的目的，我们可以限制在尺寸为Stimes;S像素的较大“搜索窗口”中搜索相似窗口。在所有的实验中，我们已经固定了21times;21像素的搜索窗口和7times;7像素的相似性正方形邻域。如果是图像的像素数量，那么算法的最终复杂度约为49times;441times;。
7times;7的相似窗口已经显示出足够大以对噪声强健，足够小以照顾细节和精细结构。 当添加标准偏差sigma;的噪声时，滤波参数h已被固定为10 *sigma;。 由于指数内核的快速衰减，大欧几里德距离导致几乎为零的权重作为自动阈值，见图2。
图3.去除天然纹理的体验。 从左到右：噪声图像（标准偏差35），高斯滤波，各向异性滤波，总变差，邻域滤波和NL均值算法。
图4.自然图像上的方法噪声体验显示图像差异。从左到右和从上到下：原始图像，高斯滤波，各向异性滤波，总变差最小化，邻域滤波和NL均值算法。视觉实验证实了第2节的公式。
在第2节中，我们明确计算了局部平滑滤波器的去噪方法。这些公式由图4的视觉实验证实。该图显示标准图像Lena的方法噪声，即差值，其中参数h被固定以消除噪声标准差2.5。去噪方法有助于我们理解去噪算法的性能和局限性，因为去除的细节或纹理具有较大的去噪方法。我们在图4中看到，NL均值去噪方法不会呈现任何明显的几何结构。图2解释了此属性，因为它显示了NL均值算法如何选择适合图像局部和非局部几何图形的加权配置。
人眼是唯一能够判断图像质量是否通过去噪方法得到改善的人。我们展示了将NL均值算法与局部平滑滤波器进行比较的一些降噪经验。通过将标准偏差sigma;的高斯白噪声添加到真实图像来模拟所有实验。其目的是比较恢复的图像的视觉质量，不存在伪影和边缘，纹理和细节的正确重建。
由于算法的性质，NL均值算法最有利的情况是纹理或周期性情况。在这种情况下，对于每个像素i，我们可以找到一组具有非常相似配置的样本。有关周期性图像的NL均值算法的权重分布示例，请参见图2 e）。图3比较了自然纹理的NL均值算法和局部平滑滤波器的性能。
自然图像也有足够的冗余可以通过NL均值算法恢复。平坦的区域呈现出大量类似的配置，位于同一物体内部，见图2（a）。直线或曲线边缘具有完整的具有相似配置的像素线，请参见图2（b）和（c）。另外，如图2（f）所示，自然图像允许我们在很远的像素中找到许多类似的配置。图5显示了一幅自然图像的实验。这一经验必须与图4相比较，图4显示了原始图像的方法噪声。恢复图像的模糊或退化结构与其方法噪声的明显结构相一致。
最后，表1显示了本文给出的去噪实验的均方误差。这种数字测量是最客观的，因为它不依赖任
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