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基于回归模型的房地产价格指数编制
Martin J. Bailey1，Richard F. Muth2，Hugh O. Nourse3
（1.芝加哥大学；2.芝加哥大学；3.华盛顿大学）
摘 要
异质性问题给编制房地产价格指数带来困难，但通过建立同一物业在不同时间的销售价格指数可以很大程度上避免这些问题。重复交易法编制价格指数的问题可以转换成一个回归问题，并且回归分析的标准方法可以用来估计指数。由于早期的价格指数体现在了后期的销售价格中，他、因此本文的编制方法比其他方法更有效。回归模型不但易于计算出价格指数估计的标准误差，而且可以消除对真实指数值产生影响的因素。
绪论
编制真实房地产价格指数是十分困难的。 主要问题就是房地产存在较大的异质性。因此，基于某一特定时期出售的某种特定类型产业的平均销售价格（如劳伦蒂[2]）编制的指数在两个方面上可能是不足的。首先，从前期到后期的产业性质变化将会导致指数的变化范围比任何基期值都大。其次，如果在不同时间出售的房地产性质逐步发生变化，该指数将随着时间的推移而出现偏差。
避免这些困难的一种方法是采用回归分析来消除异质性。这种回归方法已被Griliches [1]应用于汽车行业，Pendleton[4]也将它应用于单户住宅，“而Bailey目前正在对芝加哥的I-Iyde Park地区的单户住宅价格指数编制的研究中使用这种方法。在这种方法中，将重要的定性特征的变量与周期效应一起引入到销售价格的回归分析中。虚拟变量[5]用于描述建筑特征等属性。虚拟变量也用于周期效应，以便数据确定时间索引的特定功能形式。如果销售价格以对数表示，则周期效应的系数产生乘法价格指数。这种方法可以获得由于异质性对销售价格的影响以及房地产价格指数的信息。它还避免了在不同时期内同质住宅之间的比较问题。但是，在住宅性质特征众多且难以衡量的地方，比如多户住宅和非住宅物业，以及城市老城区住宅，这种方法仍有缺陷。
指定和衡量不动产质量特征的大多数困难可以根据同质住宅在不同时间的销售价格编制价格指数来避免。这样做的主要问题是，任何给定的财产只能在偶然间隔内出售。所以，必须找到一种方法，将基于给定特性的重复销售的价格组合成单一指数。获得一个由Wenzlick[7]和Wyngarden[8]进行各种修改的乘法链指数的一种方法如下。首先，计算在零期或基期内出售并在最后期间转售的所有房地产的价格，其几何平均值作为第一期的指数。第一期为初次销售的所有配对交易的价格亲属，然后调整或乘以第一期的指数。第二期价格指数是第二期最终销售的所有调整后价格的几何平均数，其中第零期初始销售价格亲属的调整因子为个体（见第三节方程（7））。 然后重复该过程，通过乘以初始销售期间的指数调整所有价格亲属，并将在特定时期内最终销售的所有调整价格亲属的几何平均值作为该时期的指数。
刚才讨论的链式方法虽然在计算上很简单， 但它效率低下，因为它忽略了价格亲属中在后期的最终价格中所包含的早期的指数信息。此外，计算估计指数的标准误差可能相当困难，而且对影响特定属性指数的其他变化因素的估计是十分困难的。 在本文中，为了避免上述苦难，我们将讨论一种结合价格亲属并基于特定属性的重复交易价格的回归方法。
重复交易法的回归模型
本文的回归方法所基于的模型如下：
，或者
小写字母表示相应大写字母的对数。是这两个时期中第对具有初始和最终销售额的交易的第期最终销售价格与第期初始销售价格的比率。和分别是时期和的真实但未知指数，其中和。尽管其他假设是可能的，但我们现在假设，对数形式的残差，具有零均值，相同的方差，并且彼此不相关。 在第4节中，我们将探讨相关残差问题。
对于未知数的估计被视为一个回归问题。如果每对交易的时间是初始销售期，则的值为；如果是最终销售期，则为1；否则为0。为了标准化指数，令或。根据上述定义，方程（1）变为：
或者，用矩阵符号表示：
在（2）中，和是维列向量，其中，为期初始销售和期最终销售的成对交易数量; b是要估计的指数的未知对数的维列向量；x是一个矩阵。对于初始销售期不是基期的一对交易，即，的对应行在第列中为；对于任何其他任何对交易，第列中的对应1；的所有其他元素都是零。
给出关于u的假设，最小平方估计：
是b的最小方差线性无偏估计量。矩阵的第t个对角线元素，简单地说就是时期t初始销售交易的对数加上最终销售交易的对数。的第t，个非对角元素是。最后，是一个T维向量，其第t个元素是时期t最终销售价减去初始销售价的总和。
回归方法的一个优点是它可以很容易地进行修改，以消除初始和最终销售期间财产中某些变化的影响。比如改建或增建一个建筑物，改变住宅单元的数量，改变建筑或小区的种类，以及由于新用途而出售拆除和重新开发物业。使用p个适当的变量来描述影响价值变化的属性，要估计的回归方程变为
或者，取对数表示
矩阵第t行和第列的元素（，），简单来说就是中当t为最终销售期时的价格总额减去当t为初始销售期时的价格总额。对于，当然，的元素是所有观测值的交叉积的和，而的最后一个p元素的形式是。
出于某种目的，可能需要调整折旧价格指数。不幸的是，使用我们的回归方法不能容易地估计折旧调整后的价格指数。 假设房产在单位时间匀速贬值，我们的模型就会变成
，或者
其中为从最初到最终的销售期数；为折旧率的负数。但是的向量值可以通过将（2）中的矩阵x乘以其转置为（1，2，...，T）的列向量来获得。因此，（5）中的x矩阵是奇异的。所以在应用我们的方法时，需要其他信息来调整折旧价格指数。
上面描述的方法具有另一个特征，有些人可能会觉得这是一个缺点。如果将回归方法用于连续构建指数，则每次将另一个时期添加到指数时，整个回归都需要重新估计。这样做可以最有效地利用现有数据，因为任何特定时期的销售额都会增加所有早期阶段有关该指数的信息。如果可以使用计算机，则额外的计算不会成为太大的负担。但是可能会持续不断地修改早期的指数，特别是如果指数已经公布并且被广泛使用。
但是，通过重新计算回归来获得最新期间的最佳指数估计值可以避免持续修订指数的 问题。实际上这个时期在大多数情况下是最重要的。与此同时，重新计算的回归将显示最近一期销售额所提供的额外信息何时改变了较早时期指数的估计值，这一数值具有足够的实际重要性，可保证调整之前得到的估计数。如果理想的话，得到的所有指数可能不会被频繁修改。而且，也可以避免如果重新计算回归每个时期时计算负担过大的问题。在使用回归方法获得初始时间间隔的指数之后，可以使用前面描述的链式方法的变体对后续时期的指数进行估计。最终销售价格出现在通过回归方法进行初始计算后的时期内，可以通过将它们乘以初始销售价格指数的先前估计值来调整为基准价格。这些调整后的价格的几何平均值可以作为该时期指数的估计值。正如我们在下面第3节和第5节中的讨论所表明的那样，回归方法在指数的早期阶段大大优于链式方法。这里描述的链式方法的变体似乎很大程度上克服了它最大的弱点，即缺少早期阶段指数的估计信息。
实证分析
为了了解回归方法是如何使用的，并将其与绪论中讨论的将链式法进行比较，考虑估计三个时期的价格指数。根据（1）中的假设，表示0期初始交易和1期最终交易的所有对的价格的均值；是的无偏估计量。另一个与不相关的无偏估计量是。 此外，鉴于我们对u的假设：
我们都知道，具有最小方差的两个或更多个不相关估计量的加权平均值是其中各个估计量与它们的方差成反比加权的。因此，和的最小方差加权平均值是
现在，考虑方程（3），在3期情况下：
带入（3）的收益率
这与和的最小方差加权平均值相同。第二期类似
在我们的假设中，和是的不相关无偏估计量。
我们现在转向介绍中讨论的链式指数; 在那里描述的未知指数的对数的估计量是
在这里，估计量被认为完全忽略了最终交易发生在第二阶段的价格提供的关于的信息，即。估计量同时考虑了和，但是效率很低——与第二阶段的最终销售量成正比，而不是与它们的方差成反比。
对于三周期情况，计算的方差以及相对效率相对容易。根据我们对u的假设：
当：
类似。因此，和的相对效率是
对于，，的相对效率为0.6，而的相对效率为0.9；然而，随着变为零，相对效率都变为零。这个例子表明，回归方法的优势在指数的早期阶段更大，而早期阶段的销售相对较少。而且，由于或变为零，估计量和变得相同，并且的相对效率变为1。这些结果表明一般情况下一个我们无法证明猜想，即在一个特定时期回归方法的优势是最大的，其中前面所有期间的初始交易额超过最终交易额，并且在这个特定时期的初始交易很大。
多次重复及误差分析
在很多情况下，可能会有指数所涵盖的时间段内有两次以上特定物业销售的数据。 如果是这样，没有特定的方式来减少这些销售价格，任何计算价格的方式都可能会遇到残差相关问题。
为了弄明白这是为什么，我们用表示第t期财产中的第i个财产的销售价格；表示是财产效应的产品；表示周期效应；表示剩余效应。
我们假设v具有零均值，常数方差，并且彼此不相关。在这里，例如，v代表由于买方和卖方的特定组合的特性而对销售价格的影响。如果现在的销售价格数据存在t，和时期，则可以计算出三种价格关系，即
在我们关于v的假设下，
解决这个问题的一个方法是直接处理销售价格，并估计每个财产的财产效应以及期间效应或指数。然而，用现有的计算机回归程序来做到这一点在计算上是不可行的。
更可行的替代方案是使用加权回归方法，因为在上面假设的情况下，残差的方差-协方差矩阵M是已知的标量。我们知道，最小方差线性无偏估计量是：
这里，M的对角线为，如果包括和，则在时间中涉及相同销售价格的任何一对亲属的行和列中为，其他地方为0。在实践中，计算可以通过将价格亲属分成两组来简化，第二组包含所有包含普通销售价格的价格亲属。矩阵x，M和r然后变成：
因此方程（12）可以简化为
在（13）中，和可以如上所述直接评估。假设在所涵盖的期间内有少于两个销售价格的属性，通过直接矩阵乘法来获得和应该不是困难的。
然而，可能有人争辩说，除了（1）中的u之外，（1）中的u还包含另一个分量w，它表示平均性质的初期和终期销售价格之间的特定财产价值的偏差。此外，如果一个特定属性的连续w是彼此不相关的，那么在计算指数时应明确包含和，而不是（10）中的其他两个对中的任何一个，以避免残差相关。在不知道v和w的相对方差的情况下，上面讨论的加权回归方法是不适用的。然而，如果有几个销售价格较低的属性，并且v的方差相对于w的方差较小，使用（3）则可能会合理高效。在任何情况下，如果u的均值为零，估计量（3）是无偏的，而不管它们之间的相互关系如何。（3）无疑比链式方法更好，因为它使用了数据提供的更多信息。
链式法与回归法的比较
下面的例子来自Nourse[3]的一项研究，说明了回归方法优于房地产价格链式方法。事实上，正是由链式方法估计的指数的不稳定性促使我们设计出更好的方法。
表 1 运用链式法和回归法编制ST小区房地产价格指数的比较
|
年份 |
链式法 |
回归法 |
每年的初始和最终销售数量 |
||
|
1937年指数=1 |
1937年指数=1 |
指数的对数 |
对数的标准误差 |
||
|
1937 |
1.00 |
1.00 |
0 |
— |
52 |
|
1938 |
.94 |
.99 |
-.0048 |
.0546 |
35 |
|
1939 |
2.50 lt;全文共6925字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[10090]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word |
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