英语原文共 31 页
运动的稳定性
圆周运动是否进入稳态可以通过1.47或1.50两个微分方程来鉴别。当转向角为常量时，等式的形式为：
（1.64）
对于这项二次微分方程，其中所有的系数a1为正时是稳态。只有再最后的系数a2为负时为发散型非稳定性（无振动延伸）。正如前文提及的，这会发生在超过临界转速向的转向过度的车辆上。这种状况下的稳定性可以描述为：
（1.65）
其中角标SS意为稳态状况，或:
（1.66）
下一节会更深入的分析稳定和不稳定运动的动态特性。
值得注意且很重要的一点是，当考虑到一辆车辆的动力或制动力时，前后轴的角刚度会由于前后轴的载荷转移和由动力或制动力引起的联合滑移而发生改变。在表达式1.60中，对于转向不足系数eta;，等式（1.59）中的Fzi表示轴的静态垂直载荷且保持不变。在1.3.4节中，纵向力对于车辆稳定性的影响会被更深入的分析。
自由线性运动
图1.12 对于较低速和较高速车辆转向不足和过度情况下的特征值
为了研究自由运动在经历了诸如自然频率或阻尼的小型扰动后的本质，特征值是评估的关键。这其中的特征值就是线性二次系统的特征方程的基础。系统的特征方程可以通过方程1.49或1.50来表示，也可以通过带入方程1.54中s和eta;的关系从而得到：
=0 （1.67）
对于如图1.13所示的单一一个高阻尼弹簧系统，其中r为质块的位移，delta;为支撑力的位移，M为质块质量，D为两阻尼系数D1和D2的和，K为两弹簧系数K1和K2的和。由此可以得到一个类似于等式1.50形式的方式：
（1.68）
对应特征方程：
(1.69)
当一辆转向不足的车辆超过起境界速度时，式1.67中的最后一项变为负，这很显然对应着负刚度K。倒立摆就是一个典型的最后一项的系数为负二次系统有着单调分离稳定性。
如图1.12所示方程式1.67的根lambda;可能会在水平坐标面上有相应的轨迹。在数值为正的角刚度的条件下，只有在特征方程的最后一项系数可以为负，这也是特征值类型有限的原因。我们将会在1.3.3节中看到，在低于非线性车轴特征峰值下的可能的负斜率可能会引起其他形式的不稳定运动，且该类运动会与两个正实数根或两个共享实数部分的共轭复数。对于线性车辆模型，在转向过度的情况下我们会有2个实数根，而在转向不足时，则会由一堆复数根。注意，在车辆低速状态下，转向不足的车辆，也可能会有一堆负实数根。
正如图中所示，负数根以无阻尼系统（D=0）中的自然频率omega;0来表征，其中xi;为阻尼比，omega;n为自然频率。对于这些项的参数模型表达式相对十分复杂。但是，如果我们考虑到，在一般情况下丨s丨lt;lt;l，且qasymp;kasymp;l/2，我们可以简化表达式，并得出下列一个非常使用的形式：
无阻尼系统的自然频率：
(1.70)
阻尼比：
(1.71)
自然频率：
(1.72)
这些参数的影响如图1.13所示。向上的箭头表示表格中对应列项的数量增加。
见图1.14横摆角引起转向角的分段变化可由响应时间tr来表征，并且可以通过下列参数来表达：
(1.73)
图1.13 各参数对自然频率和阻尼的影响
图1.14 根据表1.1参数tr的影响得到的横摆角引起转向角的分段变化响
应时间tr
其中各项参数的影响都在表格中所显示。这一结果能很好地对应实车辆模型模拟研究中90%的响应时间。其中值得注意的是，在对于一辆转向不足的车辆时其响应时间要比一辆转向过度的车辆小。
受迫线性振动
当研究对象是线性系统的特性时，对于将运动方程（1.46）转化为为标态下的空间表达式是非常有用的。这是一个二次系统，因此它有着两个状态变量可供我们研究选择：nu;和r。这个系统受到一个单输入的信号：转向角delta;。很多不同的变量可以用来分析车辆对于转向输入振荡的响应。下列的若个量是用于引出和研究车辆的动态特性：车辆重心的横向加速度a，横摆角r，定义于重心的车辆滑移角beta;，在矩阵中等式声明为：
(1.74)
其中
(1.75)
且
(1.76)
频率响应方程已经使用Matlab进行过计算。图1.15展示了分别对于三个不同的行程速度数值的三个输出量的振幅和相的响应函数。模型中各项参数的数值和一些特征量值列于表1.1。
对于频率响应函数通过模型参数的清晰表达，不仅有助于我们理解，也有助于在特征的层面上预测这些函数，而这些特征本是通过大量计算的平均值或是完整规模的实验才可能得到的。
通过微分函数1.50，频率响应函数可以轻易地导出。考虑到式1.70和1.71中表述的量和式1.56中稳态响应函数（r/delta;）ss=（V/R）/delta;，我们可以得出：
|
参数 |
导出的特征值 |
||||||
|
a |
1.4m |
l |
3m |
V[m/s] |
20 |
40 |
60 |
|
b |
1.6m |
8371N |
[rad/s] |
4.17 |
2.6 |
2.21 |
|
|
60000N/rad |
7325N |
[-] |
0.9 |
0.7 |
0.57 |
||
|
60000N/rad |
q |
1.503m |
[rad/s] |
1.8 |
1.8 |
1.82 |
|
|
m |
1600kg |
s |
-0.1m |
[s] |
0.23 |
0.3 |
0.27 |
|
k |
1.5m |
eta; |
0.0174rad（～1°额外转向/g横向加速度） |
||||
表1.1 参数值和导出的特征值
(1.77)
相似的，对于横向加速度ay的公式也可以导为：
(1.78)
对于滑移角beta;：
(1.79)
通过观察式1.77，可以得出在较高的频率下，系统表现出一个一次系统的特征，因为分子中的jomega;项在横摆角振幅响应中呈每1/8个周期衰减6dB的趋势，且相滞后不断接近90度。在低频率时相位呈增加状态，且会因为速度V而使得增加速度变快。当速度超过近似特征速度时，分母中的相关项（末项）对于相位特征的的初始斜率的影响会变小。在图1.15中间的图形展示了横向加速度响应（1.78）在频率趋于无穷时其振幅是有限的，这是因为其分子中存在omega;2。同样的道理，相位延迟也会在更高的频率回到零。侧向滑移相位响应趋于-270度（在高速时），这是因为式1.79中分子里的jomega;项的负系数，这与横摆角响应的jomega;项系数相反。
有趣的是，式1.79中的稳态滑移角响应在某一特定的速度V时开始发生改变。在低速时轮胎滑移角还非常小，车辆因为正转向角，其滑移角度显然为负（考虑到图1.11中的标明正方向）。在速度增大的同时，轮胎滑移角也随之增大，beta;改变为正方向
图1.15 频率以及根据表1.1得到的其他车辆参数的响应函数
1.3.3.非线性稳态转向的解决方案
对式1.42和1.59加以如式1.60中同样的限制可以得到如下的力平衡方程（同样也可以藉由式1.61得到）。轮胎拖距的影响会在稍后的章节中再做讨论
(1.80)
其中K=may代表离心力，运动学关系为：
(1.81)
根据式1.44和1.51，在图1.11中的车辆模型被描述为一种处于稳态的转向操作中。从该图表中，显而易见地，关系式1.44在小角度的情况下是基本正确的。
式1.80中横向力和垂直载荷的比可以被视为有关滑移角的函数，该函数也视为标准化的轮胎或轴的特征函数。这些特征函数互相水平抵消产生的了“操作曲线”。其中纵坐标可以使用式1.80中的ay/g来表示。得出的图像其横坐标a1-a2是图1.10中的右手图像的非线性版本（逆时针旋转90度）。这个图像在附加了数个系列的速度V下横向加速度（以g为单位）ay/g和相对路径曲率L/R的图像（根据式1.55）后会更加完整。
图1.17所示为标准化下车轴特征和完整的操控曲线图像。操控曲线是由一根主支和两个侧支（副瓣）曲线的不同部分被编码来展示其对应和转变而来的原始的车轴特征。在靠近原点的位置该系统可以近似为一个线性模型。因此，操控曲线在原点关于垂直轴的斜率与转向不足系数eta;相等。与图1.10中线性系统的程直线的的操控图像不同的是，非线性系统的图线是一条曲线。它的斜率随着曲线变化，着意味着转向不足的角度随着增大的侧向加速的而改变。图1.17反映了车辆在经受转向不足到过度转向中的变化，我们定义：
若,则转向不足
若，则转向过度 (1.82)
这一族直线代表了加速的和曲率在不同程度的速度下的关系。速度V=50km/h的速度图像是一条直线，如图所示（轴距l=3m）。该直线在一段距离后向左偏移，其距离正好等于转向角delta;=0.04rad，且从而得到与操控曲线相交的三个交点。这三个交点，交点Ⅰ、交点Ⅱ和交点Ⅲ反应了在特定速度下和特性转向角度下，维持平衡的可能。相对路径曲率l/R作为一个关联值可以在速度图像（直线）中找到。在更深入的研究中我们会看到，只有交点Ⅰ代表稳定转向运动。交点Ⅱ和交点Ⅲ处(Rlt;0!)处的运动是不稳定了。
图1.17 由标化轮胎特征值得到的操控曲线。在delta;=0.04rad，V=50km/h的条件下，其得到的平衡点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中只有Ⅰ是平衡的。从上面的图像中，可以得到不同的线性分别对应的类型。
在给定速度V时，需要一个特定得转向角delta;来中和一个半径为R得弧形路径，这一需求可以从操控曲线图像中直接得出。同样的，在非常低速的状态下（V→0），趋于l/R的转向角要中和同样的弧形路径。用delta;0表示该转向角。因此，操控曲线横坐标的alpha;1-alpha;2也可以改为delta;-delta;0，这使得使用简单的实验方法来确定操控曲线成为可能，即测量转向轮在不同的速度下下经过同样的弧形路径的输入（简化为测量通过转向比等效道路轮胎转向角，该方法包含了变形转向效应）。
图1.18 一系列由左边的标化轮胎特征值而得到得操作曲线，只画出了主支
(1:前部，2：后部)
去除标准化特征值可以会导致即便是对于原始特征值的轻微改变也会使得操控曲线发生非常大的变化。如图1.17所示，除了经过原点的主支，还可能出现独立的各支线。这至少与一对标化轮胎特征值的衰减末端有关。
在图1.18中，4个可能的车轴特征组合通过各自的操控曲线被展示出来。这组特征值反映了转向行为的本质完全是由标化车轴特征主导，且尤其他们的相对形状互相相关。
图1.19展示了我们如何利用操控曲线的方法。行程速度可以保持不变，但是横向加速度会在经过逐渐减小半径的螺旋路径上增加。转向角的这种变化会随着操控曲线与速度线之间的的距离而产生。相似地，我们可以观察到路径曲率保持不变，速度增长时的现象。同样的，在转向角不变，速度增加的情况下曲率产生的相应变化也可以观测到。更多准稳态运动的一般案例也可以被研究到。
图1.19 准稳态变化得几种形式
在大横向加速度下的运动稳定性
在操作点附近的非线性方程组（式1.42-44）可以被线性化，这是上述的其中之一个稳定状态。因此而产生的二次微分方程有着与式1.64和1.47相似的结构，但是其中不同的是很多量被稳定状态相关的量所替代了。分析特征方程的系数可以检查稳定状态是否存在。同时稳定的性质（单调，震荡）也能从这些系数中得出。这点可以从代表着在相平面中的平衡方案（和
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