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理性期权定价理论
Theory of Rational Option Pricing
Robert C. Merton
摘要
期权定价理论由来已久，始于1900年法国数学家路易·巴切利埃( Louis Bachelier )基于股票价格服从零漂移布朗运动的假设推导出期权定价公式。自那时起，众多研究者对这一理论做出了贡献。本文首先从投资者偏好多而不偏好少的假设出发，推导出了一组关于期权定价公式的约束条件。这些约束条件是一个公式与理性定价理论相一致的必要条件。注意当基础普通股支付股息，期权合同条款可以通过行权价格的变动或通过公司投资或资本结构政策的变动而明确改变时产生的问题。由于推导出的约束条件不足以唯一确定一个期权定价公式，因此引入额外的假设来考察和扩展期权定价的开创性Black-Scholes理论。推导出既要对看涨期权和看跌期权进行定价，又要对认股权证和新式“涨跌”期权进行定价的显式公式。考察分红和赎回条款对权证价格的影响。讨论了该理论进一步扩展到企业负债定价的可能性。
1.介绍
权证和期权定价理论在学术界和商业文献中都得到了广泛的研究。所采取的方法从复杂的一般均衡模型到特殊的统计拟合。由于期权是特殊的、相对不重要的金融证券，因此，致力于某一定价理论发展的时间和空间的多少可能会受到质疑。一个理由是，由于期权是一种特别简单的未定权益资产，期权定价理论可能会形成未定权益定价的一般论。有观点认为，所有这类证券都可以表示为基本期权合约的组合，由此，期权定价理论构成了未定权益定价理论。由此，期权定价理论的发展至少是向统一理论迈出的一个中间步骤，以回答有关企业负债定价、利率期限和风险结构以及投机市场理论的问题。此外，还有大量的数据可以用来检验期权定价理论。
本文的第一部分主要是为理性期权定价理论奠定基础。它是基于充分弱以获得普遍支持的假设，试图推导关于期权价格性质的定理。在一定程度上是成功的，由此产生的定理成为任何理性期权定价理论都必须满足的必要条件。
正如人们可能预期的那样，那些弱到足以被所有人接受的假设并不足以唯一确定一个理性的期权定价理论。要做到这一点，必须在失去某种约束的前提下，通过额外的假设对问题增加更多的结构。Black和Scholes (以下，简称B-S )的提法是解决期权问题的一个重大“突破”。论文第二部分详细考察了他们的模型。他们的公式的另一种推导表明，它在比他们假设的更弱的假设下是有效的。导出了他们理论的几个推论。
2.理性期权定价的约束条件
美式权证是一种担保，由公司发行，赋予其所有者在给定日期或之前以给定(lsquo;行使rsquo;)价格购买股票的权利。一个美式看涨期权除了由个人而非公司发行外，其条款与认股权证相同。一种美式的看跌期权赋予其所有者在给定日期或之前以给定的行权价出售股票的权利。一个欧式期权除了不能在合同最后日期之前交出(lsquo;行使rsquo;)外，其条款与它的美式期权相同。萨缪尔森论证了两类合同可能不具有相同的价值。所有合同在反稀释条款、行使价格变动等其他条款上可能存在差异。其他期权合同，如本息分离债卷、带式策略和交叉合约，是看跌期权和看涨期权的组合。
看涨期权和认股权证的主要区别在于看涨期权的总供给为零，而认股权证的总供给一般为正。零总供给的'投机商行'或'初始'假设是有用的，因为股票价格收益率的概率分布不受这些期权影响，这在一般情况下不是由企业以正数额发行的。“投机商行”假设贯穿全文，尽管许多推导的结果独立于这个假设成立。
整个使用的符号是：—到期前以行权价E和年的美式权证的价值，当普通股每股价格为S时；—欧式权证的价值；—美式看跌期权的价值；——欧式看跌期权的价值。
从认股权证和有限责任的定义来看，我们有
当 = 0时，在到期时，两个合同都必须满足
此外，从套利的条件来看
一般情况下，类似( 3 )的关系不需要持有欧式权证。
定义：投资组合 A比投资组合 B占优势，如果在未来的某个已知日期，对于世上的某些可能情况，A的收益将超过B的收益，那么在世上的所有可能情况下，A的收益将至少与B一样大。
注意，在没有交易成本和无限制借贷卖空能力的完美市场中，占据主导地位的证券的存在将等同于存在套利情况。然而，在不完善的市场中，有可能存在主导证券而不存在套利。如果假设'对称市场理性'，进一步假设投资者偏好更多的财富而不是更少的财富，那么任何愿意购买证券B的投资者都会偏好购买A。
假设I：理性期权定价理论的一个必要条件是期权被定价，使其既不是主导证券，也不是被主导证券。
在相同股票和相同行权价格下，给定两个美式权证，由假设一可知
和
更进一步说，两个权证，除了一个权证的行权价格比另一个权证的行权价格大外，其他各方面完全相同，必须满足
因为普通股相当于永久性( )美式权证以零行权价格( E = 0 )，则从
( 4 )和( 6 )即
由( 1 )和( 7 )式可知，权证必须是无价的如果股票符合
设为支付一美元的无风险(以违约计)、贴现贷款(或lsquo;债券rsquo;)的价格，年后。如果假设当前利率和未来利率都为正，那么在某一时刻点
定理1 :如果欧式权证的行权价格为E，且在权证的存续期间不向普通股支付红利(或者相反，如果权证受到保护不支付红利)，则
证明：考虑以下两项投资：
A：购买的权证，
以每只债券的价格购买E单位债卷。
总投资：
B：购买S单位的普通股。
总投资：S。
假设在年末，普通股有价值S *，则B的价值为S *。如果，则权证无价值并且A的价值为0 E = E。如果，则A的价值为( S * -E ) E = S *。因此，除非A的当前价值至少与B一样大，否则A将主导B。因此，通过假设1，与( I )一起得出
从( 5 )式可以直接看出，定理1对于合同有效期内具有固定行权价格的美式权证成立。在到期日之前行使选择权总是具有非负值。重要的是要知道该权利何时为零值，因为在这种情况下，欧式和美式期权的价值是相同的。在实践中，几乎所有的期权都是美式期权，而对于一个欧式期权的价值，从分析上求解总是比较容易的。定理1显著收紧了( 3 )上理性权证价格的边界，此外，还引出以下两个定理。
定理2：如果定理1的假设条件成立，美式权证将永远不会在到期前行使，因此它与欧式权证具有相同的价值。
证明：如果行使权证，其值将为但由定理1可知，当 gt; 0，远远大于因为由( 9 ).因此，权证总是比lsquo;死rsquo;更值得lsquo;活rsquo;。
定理2认为，如果美欧权证价格之间存在差异，隐含着提前行使的正概率，必然是由于行权价格的不利变动或缺乏对普通股支付的保护。这一结果与Samuelson和Merton的研究结果一致。
将称为权证的内在价值，并声明权证必须至少出售其内在价值[条件( 3 ) ]是一种常见的做法，根据定理1和定理2，将定义为内在价值更有意义。后一种定义反映了行权价格的数额在到期日之前不需要支付，而只是该支付的现值。正如下面的定理所证明的那样，这两个值之间的差别可能很大，特别是对于长期
权证。
定理3 ：如果定理1的假设条件成立，永久( )权证的价值必须等于普通股的价值。
证明：由定理1，.但是由于，因为，对于正利率，无穷远处应付的贴现贷款的价值为零。因此，但从( 7 )式可知，因此，
Samuelson，Samuelson和Merton，Black和Scholes在他们特定模型下证明了永久权证的价格等于普通股的价格。定理3证明了它不依赖于任何股票价格分布或风险规避行为假设。
定理1的不等式表明，有限寿命、理性确定的权证价格必须是的函数，如果不是，那么，对于某些足够小的 (即大利率)，定理1的不等式将被违背。从不等式的形式和之前的讨论来看，这种对利率的直接依赖似乎是'诱导'的，用行权价格代替行权价格的现值(即我猜想，定价函数可以写成当如果是这样，那么P的变动对认股权证价格的定性影响将类似于行权价格的变动，从( 6 )式来看，P的变动为负。因此，权证价格应该是利率的增函数。这一发现与Samuelson和Merton以及Black和Scholes的理论模型以及Van Horne的实证研究相一致。
对于这一结果是否合理的另一个论点来自于认识到，欧式权证相当于一种有限负债贴现贷款的普通股的长期头寸，借款人承诺在期末支付E美元，但一旦违约，只对当时普通股的价值承担责任。如果此类贷款的现值是利率的递减函数，那么，对于给定的股票价格，权证价格将是利率的递增函数。
我们现在建立两个关于行权价格变动对权证价格影响的定理。
定理4：若是理性确定的权证价格，则F是其行权价格E的凸函数.
证明：为了证明凸性，我们必须证明如果那么对于每个有
我们通过类似于定理1证明的支配性论证来做到这一点.设投资组合A含有行权价格为E1的单位的权证和行权价格为E2的1-单位的权证， E2 gt; E1。设投资组合B包含行权价格为E3的1单位权证。如果S*是到期日的股票价格，那么根据的凸性，投资组合A的价值将大于或等于投资组合B的价值。
因此，为了避免占优，投资组合B的现值必须小于或等于投资组合A的现值，从而证明了欧式权证的定理。由于论证中没有任何地方涉及使用的因素，如果两个投资组合中的权证过早行使，也会得到同样的结果。因此，该定理适用于美式权证。
定理5：若是理性确定的欧式权证价格，则对于此外，如果f是其行权价格的可微函数，
证明：右边的不等式直接来自( 6 )式，左边的不等式来自优势论点。让投资组合A有权证以每只债券的价格购买E2和( E2 - El )债券的股票。让投资组合B有权证在El购买股票。如果S *是到期日的股票价格，那么投资组合A的终值为
将大于投资组合B的终值，当S *lt;E2。因此，为了避免占优，导数上的不等式是将离散变化不等式除以( E2 - El )，并取E2趋于El时的极限。
如果定理I的假设条件成立，那么定理5的不等式对美式权证成立。否则，我们只得出较弱的不等式和
设Q(t)为股票在t时刻的每股价格，为股票在未来某一给定日期T年或之前以价格购买一股股票的权证的价格，当股票的当前价格为Q。
定理6：如果k是一个正数，Q(t)=kS(t);=kE，则对所有S，T，E和每个k都成立。
证明：设S *为两种权证要么行使，要么到期时具有初始值S的普通股的价值。然后，根据定理的假设条件，Q=Q*=kS*和,Q上的权证价值将为，是S上权证价值的k倍，因此，为了避免一方对另一方的支配地位，Q上的权证价值必须卖出恰好是S上权证价值的k倍。
定理6对理性权证定价限制的含义取决于产生定理假设条件所需的假设条件。在其最弱形式下，它是一个量纲定理，其中k是两个单位之间的比例因子(例如，k = 100美分/美元)，如果股票和权证市场是纯竞争的，那么它可以解释为一个规模定理。也就是说，如果交易费用不存在规模经济，不存在不可分割的问题，那么k股股票总会卖出一个股票价值的k倍。在此条件下，定理规定，当每股股票价格为S美元时，以总额( kE )美元购买k股股票的认股权证，其价值等于以E美元购买1股股票的认股权证价格的k倍，其他条件相同。因此，理性权证定价函数在S和E中关于规模的一阶齐次性，反映了通常的规模报酬不变的竞争结果。
因此，只要选择k = 1 / E，股票价格和认股权证价格以行权价单位报价，就可以始终工作在E = 1的标准化单位中。这种单位变动不仅消除了问题中的一个变量，而且在对不同的认股权证进行实证比较之前，如
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