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第六章 受弯构件的极限变形和延性
第三节 无约束梁截面的延性
6.3.1屈服弯矩、极限弯矩和曲率
在极限设计和抗震设计中，构件的延性通常用极限变形与第一屈服变形的比值来表示。下面就来估计受拉钢筋开始屈服和混凝土达到极限应变时弯矩和曲率的相对应的值。此时构件的混凝土将被认为是无限制的。虽然无约束混凝土在实际情况下很少存在，但除非被采取例如用紧密间隔适宜的横向钢来限制这样的积极的措施，否则还是被认为是无约束的。
图6.7展现了一个双筋矩形機面在受拉钢筋开始屈服时和在极限混凝土应变时的一般情 况。受拉钢筋开始屈服时的曲率ϕy,可以按钢筋屈服时的应变公式6.1求得。对于所考虑的钢筋含量来说，当受拉钢筋首次达到屈服强度时，混凝土边缘纤维中的应力可能还比圆柱体强度fc小一个相当的幅度。
图6.7 受弯的双筋梁截图 （a）在开始屈服时；（b）在极限情况下。
混凝土的应力-应变曲线在达到0.7fc之前是呈线性的, 所以如果在钢筋达到屈服强度时混凝土的应力还没有超过这个值，则到中和轴的深度就可以用再第十章导出的弹性（直线）理论公式来计算。一旦确定了中和轴深度系数k，则钢筋与混凝土的压力值及其压力重心也就能求出来了。所以根据10.2.3节和公式6.1，规定在开始屈服时的弯矩和曲率的几个公式为:
（6.11）
（6.12）
（6.13）
式中As为受拉钢筋面积，As为受压钢筋面积，b为截面宽度，d为受拉钢筋的有效高度， d为从边缘受压纤维到受压钢筋形心的距离，Ec为混凝土的弹性模量，Es为钢筋的弹性模 fy方为钢筋的屈服强度，jd为从混凝土和钢筋的压力重心到拉力重心的距离，n = Es/Ec ,rho;= As/bd, rho;=Asrsquo;/bd
若混擬土边缘受压纤维的应力大于大约0.7 fc,则受拉钢筋开始屈服时的中和轴深度就要用弯曲的混凝土应力-应变曲线来计算了（该曲线可相当近似地取为抛物线）.
不过，即使计算出的应力和fc 一样高，还是 可以用直线公式得出一个估计值。图6.8表明，从直线公式计算出的k值将小于当混凝土应力 为曲线分布时的k值，这将导致估算的ϕy偏低，而估算的My偏高。
双筋截面（见图6.7）在受压钢筋屈服时的极限曲率和弯矩可以利用公式4.27, 4.32和 6.1求得。这些公式在这里给出：
（6.14）
（6.15）
（6.16）
由图6.7的应变图形表示的受压钢筋的应变可由下式给出
（6.17）
将公式6.14代入公式6.17表明，当
（6.18）
时受压钢筋就达到了屈服。当应用公式6.14到6.16时，公式6.18的要求必须得到满足。
如果验算表明公式6.18没有得到满足，受压钢筋就没有达到屈服，从而应以公式4.34给出的受压钢筋应力的实际值来代替（即取代屈服强度）。通过联立求解公式4.33和4.34给出
（6.19）
从中可以求得a。而且由公式4.36和4.34还可以得出
（6.20）
而ϕy則由公式6.16给出。
在抗弯强度计算中采用的εc值巳经在第3.3节中讨论过了.显然，在极限曲率计算中 可以采用εc=0.004这个值.因为εc=0.003这个值是偏于保守的.
一种度量屈服后弯矩増加值的方法是采用比值Mu/My。这个比值可以根据公式6.14、 6.15、6.19、6.20和6.12求出。当单筋截面的rho;le;0.02,fcle;5000psi(34.5N/mm2)， 而且fy=60000psi(414N/mm2)或40000psi〈276N/mm2)时，这些公式都表明Mu/Myle;1.06所以弯矩在开始屈服后的増加量是不大的。这种増长情况对于双筋截面就可能更为显著一些。
比值ϕu/ϕy给出了表示截面曲率延性的一个尺度.根据公式6.16和6.13这个比值可以表示为
（6.21）
公式6.21可以用来确定在双筋截面这个一般情况下的曲率延性系数.这时如公式6.U得到 滴足，受压钢筋达到屈服,就可将公式6.11和6.14代入公式6.21,从而得出曲率延性系数为
（6.22）
如公式6.18没有得到満足，受压砌便没有达到屈服.这时就把公式6.11和由公式6.19 求得的a代入公式6.21,从而得出曲率延性系数为
（6.23）
在图6.9和图6.10中针对一系列实用的fy和fcrsquo;的组合以及普通容重混微土和εc=0.003、0.004画出了公式6.22和公式6.23的计算结果。当rho;-rho;rsquo;值较小时，在极限弯矩作用下的中和轴有可能是位于顶部（“受压”）钢筋之上的，从而使顶部和底部的钢筋均处于受拉状态.只要顶部钢筋还保持弹性，公式6.23就能适应这种情况,但如果顶部钢筋受拉屈服, 这个表达式就不能再用。此外，当rho;-rho;rsquo;值较大时，混凝土在受拉钢筋开始屈服时的压应力就会变得较高，而对混凝土假定的弹性性能在此刻还可能导致它的最大应力超过圆柱体强度. 严格地说，当rho;-rho;rsquo;值较大时就应对混凝土采用非线性的应力-应变曲线.在图6.9和圏6.10中 只画出了公式6.22或6.23中所作的假定是准确的那一段曲线，即没有画出在受拉钢筋开始屈服时混凝土的最大压应力超过了fcrsquo;的那部分曲线或顶部钢筋在极限弯矩下受拉屈服曲那部分曲线.在第一种情况下曲後是终止在它的右下端，而在第二种情况下曲线是终止在它的左上端。
截面特征的影响清楚地显示在图6.9和6.10中.对这些图形和公式6.21的査阅表明当其它变量保持不变时:
1受拉钢筋含量的増加降低了延性，因为这时k和a两者都增大了，因而ϕy增大，ϕu减小.
2受压钢筋含量的增加提高了延性,因为这时k和a两者都减小了，因而ϕy减小、ϕu增大.
3提高钢筋的屈服强度就降低了延性，因为这时fy/Es和 a两者都增大了。因而ϕy增大ϕu减小。
4提高混凝土的强度就提高了延性，因为这时k和a两者都减小了，因而ϕy减小，ϕu增大.
- 提高边缘纤维混凝土的极限应变就提高了延性，因为这时ϕu增大了。
混凝土不受约束的梁当fy=40ksi(276N/mm2)时其ϕu/ϕy的变化情况
例题6.1
设某一钢筋混凝土梁具有宽10 in （254mm）、总高25 in （635mm）的矩形截面.其受拉钢筋为四根8号（直径25.4mm）钢筋，受压第筋为两根8号（直径25.4mm）钢筋，各根钢筋都是配置在至其形心的表层厚度为2 in (51mm)之处。混凝王的圆柱体强度为 3000 psi (20.7N/mm2),抗折模量为 410 psi (2.83N/mm2),弹性模量为 3.2x106psi(22070N/mm2)。钢筋的屈服强度为 40000 psi (276N/mm2),弹性模量为 29x106 psi (200000N/mm2),试计算：
- 在混擬土即将开裂时；
- 在受拉钢筋开始屈服时和
- 当混凝土边缘纤维压应变达到0.004时的弯矩和曲率。绘制截面近似的三折线弯矩-曲率曲线。
解：
配筋率：
1.开裂前（见图6.11b）
截面可以用弹性理论和换算截面进行分析（见第10.2.4节）
模量比
换算截面形心是由各个面积对截面上边缘取矩而得出的。
故惯性矩为
当在下边缘纤维处达到抗折模量fy= 410 psi时就会开裂。
又
2.开裂后，当开始屈服时（见图6.11c）
假定混凝土按弹性工作，即可由公式6.11得出
故应由应变图形求出
因此，三角形应力是一种近似。
又因应变图形可得
因此，总压力为1263501b,作用在晅上边缘为 处,
于是，由公式6.12得
由公式6.13得
3.开裂后，在极限荷载下（见图6.11d）
假定受压钢筋也达到屈服,故由公式6.14得出
因而由应变图形求得
但fy/Es = 0.00138,因此受压钢筋没有达到屈服。受压钢筋的实际应力可按公式4.34求得. 也可以釆用试算法。现试取fs = 38800 psi,于是
与试选值相校核满足要求。
又由公式6.16得
弯矩-曲率曲线示于图6.11e
6.3.2规范规定的对梁得延性要求
ACI 318-736.1规定有下面这几条用于曲率延性的要求:
- 在受弯构件中，如受压钢筋达到屈服，任何时候都要求（见公式4.49）
- 在对弹性理论弯矩做了调赃以便考虑弯矩重分布的超静定结构受弯构件中要求
(6.24)
- 在地震区延性框架的受弯构件中，若受压钢筋达到屈服，就要求
(6.25)
表6.1示出了公式6.24到公式6.26对于不同的钢筋和混凝土强度所容许的最大钢筋含量
(6.26)
6.26保证了更大的比值。例如，当rho;/rho;rsquo;=0.5时，公式6.26在ε= 0.003的情况下将保证ϕu/ϕygt;4,z在ε=0.004的情况下将保证ϕu/ϕygt;6 .这种ϕu/ϕy值随受压钢筋而增大的现象在应用公式6.25时将不会出现。
由此可见，凡是按规范设计的截面总会具有一定的延性.由公式6.25和公式6.26所提出
的要求的重要意义还将在其它一些章节中讨论。
第十三章 细部构造技巧
第一节 混凝土
在对混凝土结构受力性能的理解方面所取得的最新进展巳经导致了更加完善的分析和设计方法。面
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