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基于时变热激励的圆桁架天线模型束环结构近共振非线性动力学分析
W. Zhanga,lowast;, R.Q. Wua, K. Behdinanb
位于北京重点实验室机械结构非线性振动和强度,机械工程学院,北京理工大学,北京100124,中国Advanced研究实验室
多功能重量轻结构、机械和工业工程系,多伦多大学国王学院5路,m53g8,加拿大多伦多
摘要：由于圆桁架天线具有较大的柔性结构，其非线性动力学分析是其设计和控制的重要问题。本文以圆形桁架天线为模型，研究了梁环结构在周期性热激励作用下的非线性动力学行为。在描述梁环结构的位移和非线性应变的基础上，计算了梁环结构的动能和势能。利用哈密顿原理，导出了梁-环结构的非线性偏微分运动控制方程和边界条件。采用Galerkin方法，将梁环结构的非线性偏控制微分方程截断为一个包含二次非线性的二自由度常微分方程系统。用多尺度法得到了主共振和1:2内共振情况下的四维平均方程。从平均方程出发，对梁环结构的频率响应曲线进行了数值模拟，并研究了热激励对梁环结构非线性动力响应的影响。数值结果表明，梁环结构存在复杂的非线性动力现象。本文的发现有助于控制天线的非线性振动。
1.引言
圆形桁架天线在空间探测领域已应用多年。圆形桁架天线系统由飞行器、桁架天线和太阳翼组成。扩展桁架天线广泛应用于深空探测、陆地遥感、天气预报和海洋探测等多种空间任务中。随着工作要求的进一步提高，桁架天线设计为大口径可折叠可展开结构，组件为柔性系统[1]。由于桁架天线系统大多为轻量化、高柔性结构，系统在外界激励下可能存在刚度低、变形大、振幅较大的非线性振动，对系统的性能和可靠性产生不利影响。桁架天线的稳定性和动力响应越来越受到研究人员的关注。许多文献对桁架天线系统的可靠性、稳定性和动力响应进行了研究。圆形天线的典型构件为两个抛物面网格、一个可展开的环形桁架和一个机械延伸臂，如图1所示。环状桁架作为主要的支撑机构，由重复的类梁晶格结构组成，对圆形天线的非线性振动有重要影响。由于圆天线系统中的许多部件都是高柔性结构，因此该系统的实际结构非常复杂，难以进行动态响应的理论分析。
图1一种圆形桁架天线的原理图。
一些研究者对桁架天线的部署动力学进行了研究。Li等人提出了一种基于绝对节点坐标法有限元法的网格反射体多体系统并行计算方法。Xing and Zheng采用多刚体动力学方法建立了部署树模型并通过展开仿真验证了所提出的姿态控制方法适用于可展开桁架天线系统。提出了一种基于强制控制方法的桁架可展开天线展开动力学控制策略，分析了阻尼、初速度和重力对天线展开运动的影响。文献[5,6]对许多大型可展空间结构进行了回顾和总结。
可展开桁架天线通过索网结构反射电磁波来传输信息。这就保证了电缆网的表面精度对卫星天线精度的重要性。对圆形桁架天线中的索网结构进行了一些研究工作。Zong et al.[7]提出了灵敏度分析方法来研究索网天线的形状精度和索张力。结果表明，细长的前网索、粗大的张力带和高的张力水平等因素可以提高索网天线结构的性能。Wang等人[8]对空间索网结构在谐波荷载作用下的内共振进行了研究，发现索网系统中存在一些非线性现象。Li等人[9]提出了一种基于力密度法(FDM)和最小范数法的网格反射器找形分析方法。他们还研究了网格张力对反射镜固有频率的影响。Dai等人研究了一种新型双环桁架索网可展天线系统的结构优化问题。
卫星天线技术对空间科学和通信的发展具有重要意义，已成为学术界和工程界研究的热点。圆形可展开桁架天线由于其大口径、轻量化等特点，在航空航天工程中得到越来越多的应用。在上述文献中，对可展开桁架天线的展开过程和索网结构进行了大量的研究。此外，桁架天线在结构扩展和锁定后的工作状态下的动力行为是非常值得讨论的问题。对桁架天线结构进行动力学研究有助于避免结构的灾难性振动，有助于设计人员设计出更好的天线结构。因此，对圆桁架天线系统进行动力学分析具有重要的工程意义和理论意义。对于扩展后的圆天线动力学问题，已有一些文献作了研究。Zhang等[12,13]建立了圆网格天线的等效连续圆柱壳模型，分析了热激励下天线系统的非线性动力学行为。此外，Yang等人基于圆形天线连续圆柱壳模型为背景，研究了碳纤维增强聚合物层合圆柱壳的非线性振动特性。Sun等人[15]研究了圆网格天线在1:2内共振情况下的多脉冲同宿轨道和混沌动力学。在他们的研究中，希里尼科夫型多脉冲混沌运动出现在圆网格天线系统中。Liu et al. [16]对沿母线夹紧两端有膜的复合材料层合圆柱壳的非线性动力学进行了研究。Zhang等人[17]研究了带膜复合材料层合圆柱壳的非线性共振响应和混沌动力学。Zhang等[18]分析了在非法向边界条件下CFRP层合圆柱壳在轴向压力和两端径向线载荷作用下的非线性径向呼吸振动。Qi等人[19]研制了一种大型空间卫星天线环形展开机构。吴等人[20]研究了圆网格天线高维非自治非线性系统的多脉冲混沌动力学。
建立一个合理的简化动力学模型来表示天线系统是理论研究的关键。Gao[21]等人建立了由刚性臂和柔性梁组成的理论模型，研究了圆形天线的面内振动。在他们的研究中，天线的延伸臂被简化为波束结构。一些研究者对周期性重复晶格结构做出了贡献[22-25]，他们提出连续介质等效建模是分析这些结构的一种有效方法。Salehian和Inman[26]用均匀化方法研究了梁状平面晶格结构，并通过实验验证了实验结果。他们得出的结论是，桁架结构的连续介质模型的形式类似于各向异性的Timoshenko梁。基于这些晶格结构的等效连续介质模型，在[27]中给出了环形桁架结构的连续介质模型。Liu等人[28]给出了圆形天线的等效环形模型，并通过数值方法验证了连续模型的有效性。Wu等人[29]对圆形桁架天线梁环简化模型的振动频率进行了研究。
梁式和环式结构广泛应用于各个工程领域，是多年来研究的热点结构。大量的文献对梁的研究有贡献，主要包括直梁、弯梁、单梁和多梁结构。近年来，Gao等人对欧拉-伯努利梁的非线性动力屈曲进行了研究。Vakil等人利用Timoshenko梁讨论了该模型的封闭频率和振动。Jeong and Yoo [32]提出了一种用于受大挠度作用的柔性梁静力或动力分析的新的非线性方法。Zhang等[33-36]对组合梁、压电梁和z形梁的非线性振动特性进行了理论和数值研究。Jafari-Talookolaei等人[37]用一阶剪切变形理论研究了复合材料层合梁的面内和面外振动。
此外，环和弯梁也引起了许多研究者的关注。Wu等人[38]研究了具有不同单元的弯曲梁的自由面内振动的精确解。Wang et al. [39]利用Timoshenko梁理论研究了任意分布面内力作用下的厚环，提出了一种分析厚环面内振动的迭代方法。Ding等人[40]用两种梁理论研究了弹性地基上转动环的固有频率和弯曲模态。通过实验和有限元模拟对分析结果进行了验证Timoshenko理论更好。详细研究了受点质量和弹簧扰动的均匀细线弹性环的频率。Hajianmaleki和Qatu [42]在对近期研究成果的基础上，对直弯组合梁的振动问题进行了综述。用里兹法得到了中厚双曲开壳的自由振动和壳的固有频率和模态振型。
虽然已经取得了一些进展，但对于圆形天线的非线性动力学响应，目前还有很多工作要做，特别是要建立更合理的天线系统动力学模型。由于圆形天线系统的刚度主要取决于可展开环桁架和可展开臂，因此本文不考虑索网。通过对上述文献的研究，提出了梁环结构作为圆形桁架天线的简化理论动力学模型。梁环模型中，梁代表拉伸臂，环是桁架结构的等效连续体模型。根据相关文献，从理论研究的角度出发，将实际桁架天线简化为波束环模型是合理的。
本文介绍了由横梁和圆环组成的简化动力学模型，从理论上描述了真实的桁架天线系统。对于由梁环结构组成的耦合系统，很少有研究者做出贡献。圆形桁架天线系统中的伸展臂连接在可展开桁架结构的一侧，可展开桁架结构由三维柔性梁建模。利用哈密顿原理，导出了梁-环结构的偏微分运动控制方程和边界条件。将非线性偏控制运动微分方程的连续系统截断为包含二次非线性的常微分方程的二自由度系统。根据多尺度[44]方法得到的平均方程，研究了热激励对桁架天线系统非线性动力响应的影响，并给出了在1:2内共振和主共振情况下的频率响应曲线。采用数值方法分析了光束结构的周期运动和混沌运动。用相谱、时程、功率谱和max Lyapunov指数描述了束环结构的周期运动和混沌运动。数值结果表明，梁环结构中存在复杂的非线性动力现象。此外，周期性热激励对桁架天线系统的非线性动力行为有显著影响。
2. 运动控制方程
桁架天线具有高柔韧性和轻量化的特点，刚度低，变形大，非线性振动幅值大。根据圆形桁架天线的结构特点，将动力学模型建立为表示天线系统的波束环结构，如图2所示。梁代表拉伸臂，环是桁架结构的等效连续体模型。图2中，坐标OXYZ为整体惯性坐标，为梁的局部坐标，为圆环的局部坐标。坐标和分别是基于环心的局部惯性坐标和局部圆柱坐标，用于推导环的局部位移。
图2圆形桁架天线的波束环模型
梁环结构变形前后的位移如图3所示。在图3(a)中，是梁沿, 的位移分量。梁的位移矢量给出如下
Rb=R0 Tbtimes;ub （1）
其中，R0为地基位移激励，Tb为梁局部坐标与整体坐标之间的变换矩阵，ub为梁局部坐标中的位移向量，其表达式为：
， （2）
式中，为沿梁中心轴的扭转。
在图3(b)中，ua、var和wa分别表示环上任意点在局部圆柱坐标o2Rzeta;theta;上的位移分量，分别为环中心轴上一点的位移。环形局部柱面坐标中的位移向量为
（3）
式中，为沿环中心轴的扭转量。则圆环的位移矢量为
（4）
其中位移Rcois为环的中心点，Tc为局部坐标o3x3y3z3与整体坐标之间的变换矩阵，分别得到
（5）
图3梁-环模型的位移给出:(a)梁的位移和(b)环的位移。
式中L为梁环结构中梁的长度。假设材料属性只有长度的结构,功能和质量中心和横截面的面积重心一致,单位长度的动能表达式(电弧)梁和戒指分别获得如下
（6a）
(6b)
点表示的时间导数,rho;bis梁和的密度rho;cis的密度戒指,Jchi;代表的主要质量时刻惯性,omega;chi;代表的角速度,壹个组合指标横截面、a
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