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Equation Chapter 1 Section 1二自由度驰振压电能量收集器的动力学与性能研究
Chunbo Lan, Lihua Tang, Guobiao Hu, Weiyang Qin
南京航空航天大学航空航天学院，南京；
新西兰奥克兰大学机械工程系；
西北工业大学工程力学系，西安
摘要:为了提高基于驰振的压电能量收集器(GEPH)的性能，本文分析研究了二自由度压电能量收集器相对于传统的一自由度压电能量收集器的潜在优势。首先，提出了两种不同构型的两自由度GPEH，并给出了相应的控制方程。用谐波平衡法导出了两种构型的近似解析解。通过数值模拟验证了这些解析解的准确性。随后，将1自由度 GPEH与2自由度 GPEH的切入风速和输出功率进行比较。分析和数值结果表明，二自由度GPEH的第二种配置可以很容易地显著降低切入风速，提高驰振现象产生的输出功率。最后，进行了参数研究，以确定第二配置的机械参数对能量收集性能的影响。根据参数研究的结果，提出了调整机械参数的设计指导方针，以实现性能的提高。
关键词:驰振，风能收集，压电。
1.引言
在过去的几十年里，微电子的需求，如无线传感器和便携式电子迅速增加。为了为这些小型设备提供可持续和可靠的电力，研究人员被吸引到设计能量采集器，以从环境中捕获可再生能源。气动弹性能量采集是近年来最有前途的微尺度动力装置技术之一，传统的旋转式风力发电机组随着尺寸的减小，效率显著下降。对于气动弹性能量采集器，需要将风能转化为气动弹性振动的形式。压电或电磁换能器可以转换振动并产生电能。将风能转化为振动的各种机制，包括涡激振动、颤振、驰振和尾迹驰振，被用来提高能量收集的效率。在这些机制中，驰振现象因其大的振荡振幅和高效率因而得到了最广泛的应用和研究。驰振式风力采集器的设计主要有两个目标:一是降低切入风速，使广泛存在于环境中的低速风能得到有效利用;二是提高输出功率。传统的单自由度驰振能量采集装置由弹性钝体和压电/电磁换能器组成，近年来得到了广泛的研究。Barrero-Gil等人在理论上论证了驰振能量收集的可行性，Sirohi等人在实验上验证了驰振能量收集的可行性。在Sirohi的研究中，利用一根D形截面钝体梁和嵌入的压电片来收集基于驰振现象的风能。该研究表明，当发生驰振时，随着风速的增加，输出功率迅速增加。为了进一步提高效率，将钝体的几何形状设计为三角形截面、方形截面等。Yang 等人对驰振压电能量采集器的横截面几何形状对性能的影响进行了实验研究。结果表明，方形截面几何的性能优于三角形、D截面几何和矩形几何。
为了研究GPEH的动态特性和性能，各种方法被用于GPEH的建模和分析。Zhao等人对集总参数模型和分布模型等不同建模方法进行了比较研究驰振压电能量采集器的参数模型。结果表明，集总参数模型具有简单、便于从实验中识别参数的优点。Abdelkefi等人利用范式表征了GPEH的Hopf分岔，注意到驰振获得的最大功率往往伴随着钝体的最小位移。为了准确表示驰振时的气动力，Parkinson等基于准稳态假设建立了非线性气动力模型。后来，Barrero等人在理论分析中采用三次多项式表达式对模型进行了简化。Javed等比较了不同气动力模型对GPEH性能的影响。研究发现，基于不同模型的相同实验数据所确定的气动力会导致GPEH动力响应的变化。为了确定负载电阻对GPEH切入风速和输出功率的影响，Zhao等人引入了等效电路表示方法来分析GPEH机械域和电子域之间的相互作用。揭示了交流/直流接口电路的电阻与输入风速、输出功率的关系。Abdelkefi等人提出了一种非线性分布参数模型来确定负荷阻力对收获功率的影响。Tan和Yan利用谐波平衡法导出了Abdelkefi模型的解析解，并从输出功率方面优化了GPEH的性能。Bibo和Daqaq采用多尺度方法推导了1自由度 GPEH集总参数模型的近似解析解，建立了识别重要参数对动力响应和性能影响的解析框架。Zhao和Yang推导了三种不同电路(包括交流电路、标准电路和SCE电路)的GPEH接口的解析解。讨论了不同电路在功率优化中的应用。此外，一自由度 GPEH在基础激励和风作用下的响应已经通过实验和解析进行了研究。结果表明，基极激励增加引起的淬火现象可以抑制驰振，导致输出功率下降。
为了进一步提高气动弹性能量收集的效率，结构非线性在振动能量收集方面取得了巨大的成功，近年来开始引起人们的关注。Bibo等人将非线性恢复力引入到跳跃能量收集中。结果表明，双稳态井间振荡明显优于单稳态井间振荡。
Alhadidi等人也利用了这种非线性的恢复力来采集尾迹驰动能量。结果表明，所提出的非线性能量采集器能大幅度地拓宽带宽。Naseer等人提出了一种单稳定系统来收集涡旋引起的振动。结果表明，改变非线性恢复力会引起锁定区域的偏移，有利于低速风能的采集。同时Ewere也将冲击引入到驰振能量采集中，以提高GPEH的使用寿命。然而，电压降低是不可避免的。Zhao等人最近提出了一种基于冲击的能量采集器，该采集器将传统的GPEH与弹性塞相结合，实现了宽带能量采集。对于经典的1自由度 GPEH，由于电路诱导阻尼取决于频率，非线性刚度的引入或刚度的变化将改变频率，从而改变电路诱导阻尼。因此，刚度的变化或引入非线性刚度都会影响切入风速，这在本质上依赖于机电耦合。然而，当压电能量采集器连接负载电阻时，电路诱导阻尼为非负，因此，不能通过改变刚度或机电耦合来降低1 自由度 GPEH的切入风速。降低1自由度 GPEH的切入风速的可能替代方法是直接降低机械阻尼，这通常超出了给定的转换机制的控制。因此，尽管人们已经认识到切入风速对低速风能采集的重要性，但降低切入风速是一项困难的工作。
同时，Zhao等人提出了一种非线性的2自由度GPEH，该GPEH由弹性钝体、一个镂空悬臂和两个悬臂自由端的两块磁铁组成。实验结果表明，切入风速大幅度降低，收获功率得到提高。然而，由于结构设计的复杂性和非线性磁相互作用的实现，这一非线性2自由度GPEH没有给出解析解。两自由度GPEH的动态特性和能量收集性能，以及非线性磁力的影响仍然是一个悬而未决的问题。为此，本文重点研究了驰振激励下带压电换能器的2自由度振荡器的动力学特性和能量收集性能。本文的内容组织如下。第二节提出了两种双自由度GPEHs结构，并建立了相应的集总参数模型。第三节给出了用谐波平衡法导出的近似解析解。第四节对传统的1-DOF GPEH和计划的2-DOF GPEH的能量收集性能进行了比较研究。第5节对2DOF GPEH的第二次构型进行了参数分析。第6节给出了一些有用的结论。
2. 驰振压电能量采集器
图1所示 (a)传统的1自由度 GPEH; (b) 2自由度GPEH的第一配置; (c) 2自由度GPEH的第二种配置
图1显示了传统的1自由度和我们提出的2自由度GPEHs的集总参数模型。一自由度GPEH包括一个弹性安装的钝体和一个压电贴片(图1(a))，这已经被许多前人的研究所广泛研究。当受到来袭的均匀横流时，它会在横向上驰振。本文在传统的1自由度GPEH的基础上，开发了一种二自由度GPEH。第一种方法是在传统的1自由度GPEH的基础上再增加一个1自由度的振荡器，如图1(b)所示。第二种方法是用弹性振荡器代替1自由度 GPEH的刚性支撑，如图1(c)所示。对于第一种构型，底部质量被认为是钝体。而在第二种构型中，顶部质量被设置为钝体。因此，气动力作用在配置1中的质量m2上，在配置2中的质量m1上。在实际设计中，对于第一种结构，附加振子可以在钝体内部实现，这样附加振子就不会与气流相互作用。对于第二种结构，附加的振荡器可以设计成一个固定的固定梁，中间的附加质量是由金属制成的，这样它的尺寸很小，并且质量与气流之间的相互作用可以最小化。Fa表示外均匀横流引起的气动力，与钝体的几何形状有关。为方便起见，图1(b)中2自由度 GPEH的第一种配置命名为2自由度 GPEH-1，图1(c)中2自由度 GPEH-2的第二种配置命名为2自由度 GPEH-2。下面将对1自由度和2自由度GPEHs的性能进行比较。
2.1 传统的1自由度GPEH
GPEH在过去的几年里得到了深入的研究。对于1自由度GPEH的建模，基于机电线性耦合和弹性行为的假设，文献中广泛使用的集总参数模型的控制方程为:
(1)
式中、、分别为一自由度GPEH的有效质量、阻尼和刚度。有效阻尼可表示为 ，其中为阻尼比，为固有频率;为机电耦合系数;为压电换能器的箝位电容;是相对于基座的位移;为压电换能器上的电压;R是电阻;是作用在钝体上的气动力的垂直分量。为了表示气动力，在驰振能量采集中广泛采用准定常假设。在准定常假设中，钝体的运动与风的运动相比是非常缓慢的。在这种假设下，空气动力系数在一定攻角下保持不变。根据Barrero-Gil，可以将气动力Fa建模为
(2)
L和D是错流的钝头体的长度和宽度,rho;和U分别是空气密度和风速,s1和s3的经验系数线性和立方横向驰振的力量,这是依赖于横截面几何棱镜的结构。对于方形的情况，这些系数是由Parkinson和Smith[44]决定的。将方程(2)带入方程(1)，将1自由度 GPEH的控制方程重写为
(3)
2.2 二自由度GPEHs
通过对1自由度 GPEH建模，可以快速得到2自由度 GPEH-1的控制方程(参见图1(b))
(4)
其中、、分别为辅助振子的有效质量、阻尼和刚度，y为辅助振子的位移。同理，2-DOF GPEH-2的控制方程(参考图1(c))为
(5)
3.谐波平衡分析
3.1 传统1自由度GPEH的解析解
传统的1自由度 GPEH的近似解(图1(a))通过多尺度方法在Ref中得到。本文用谐波平衡法推导了该问题的解。对于一自由度情况的详细推导可以在附录I中找到，结果如下
(6)
其中r为1-DOF GPEH位移响应幅值，omega;为相应频率。因为压电能量采集器的电路诱导刚度和阻尼是
(7)
式(6)可以简化为
(8)
由式(8)的第一个表达式可知，响应频率主要取决于机械刚度和电路诱导刚度。同时，将式(8)的第二个表达式设r = 0，得到1 自由度 GPEH的切入风速为
(9)
对于某钝体，其参数L、D、、是固定的。因此，切入风速仅取决于机械阻尼和电气阻尼。由式(7)可知，对于任何正电阻，电阻尼都是非负的。因此，1 自由度 GPEH的切入风速永远不会小于不含压电元件的切入风速(假设机械阻尼不变)。因此，对于传统的1自由度 GPEH来说，除了降低机械阻尼外，没有其他方法可以降低切入风速。这是限制传统的1自由度GPEH低速风能收集性能的主要事实之一。为了突破这种对切入风速的限制，开发了2自由度GPEH，其切入风速不仅依赖于机械和电阻尼，还与质量、刚度等其他力学参数密切相关。在实际应用中，可以很容易地实现调整。在下一节中，我们用谐波平衡分析的方法得到了两种两自由度GPEHs构型的近似解析解，并对一自由度和二自由度GPEHs进行了比较。
3.2 2自由度GPEH-1的解析解
为了得到2自由度GPEH-1的解析解，我们采用了谐波平衡法，具体推导过程见附录。近似解是
(10)
其中，系数p和q由附录中的方程定义。通过求解方程式(10)，我们可以得到动态响应的频率(omega;)和位移幅值(由公式(A-18)定义)。设位移大小 = 0，由式(10)得到2自由度GPEH第一组态的切入风速为
(11)
为了比较1-DOF GPEH-1和2-DOF GPEH-1的切入风速，设置2-DOF GPEH-1的阻尼与1-DOF GPEH-1的阻尼相同，因为将振动能量转化为电能的是2-DOF GPEH-1的主自由度。通过比较式(9)和式(11)可知，当2-DOF GPEH-1的阻尼为正时，2-DOF GPEH-1的切入风速总是大于传统的1-DOF GPEH。因此，在插入风速方面，这样的2自由度GPEH-1不利于低速风能收集。
3.3 2自由度GPEH-2的解析解
同样地，同样的步骤也用于求解2自由度GPEH-2的近似解。解决方案是
(12)
其中系数p和q由附录中的式 (A-17)定义。由式(12)，我们得到了动态响应的频率(omega;)和2自由度GPEH2的位移响应的幅度(由式(A-29)定义)。设 = 0，由式(12)计算2自由度GPEH-2的切入风速:
(13)
为了保证2-DOF GPEH-2的切入风速小于传统的1-DOF GPEH，需要满足以下条件:
(14)
由式(13)可知，切入风速不仅取决于原振子的机械阻尼()，还取决于辅助振子的阻尼()、刚度()和质量()。通过适当调整辅助振荡器的参数，2-DOF GPEH-2为确保有一个比1-DOF GPEH更低的切入风速，这有助于低速风能收集。
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