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第三章
圆柱形水柱中的瞬态热传导与环形对称性-案例1
从连续性的角度来讲，有三种方式可以将能量从一种介质输送到另一种介质，或者从一个区域输送到另一个区域。这些方式是对流，辐射和传导。(Kreith,1969)对流是宏观运动导致的能量输送。辐射是电磁波能量的转移，即使在没有物质的情况下也是如此。黑体热辐射的发射率与绝对温度的四次方成正比。导热是指由于介质中分子和/或电子的微观运动而传输的能量。在液体中，传导通过相邻分子之间的碰撞和分子的迁移发生。在中等温度地区,与国内太阳能应用中储存热水一样，传导是作为传热机制的主导辐射。虽然一定数量的对流传热是不可避免的，但人们认为，精心设计的层叠存储可能会将减少对流传热，使对流传热成为传热中的次要因素。
图3.1矩形和圆柱坐标图
我们将进行理想化的计算，忽略对流传热，仅处理热传导问题。
为了处理通常为圆柱形的太阳能储罐中的传热，我们将用圆柱形坐标进行热传导计算。
3.1 圆柱形坐标中的瞬态热传导
圆柱形系统中的空间坐标为r和z。矩形系统中的坐标是X、Y、Z，其中X=rcos，Y=rsin，Z=z。时间指定为t。矩形和圆柱形坐标显示在图3.1
当导热率独立于温度时，瞬态热传导的基本方程可以写在形式上写成（Whitaker，1976）
其中热扩散率被定义为
T=温度，k=导热系数，Phi;=单位体积的热生成率，rho;=密度，Cp=定压比热容
在圆柱坐标中，
因此，Eq3.1 采取了这种形式：
如果没有热源存在。
为了解决Eq3.4，并且对圆柱形水柱中的传导有更好的了解，我们区分四个不同的案例，如图3.2。
案例一：未绝热的圆柱形水柱，圆柱具有对称性，初始温度为T1，T=f(r，t)
案例二：未绝热的圆柱形水柱，圆柱具有对称性，初始温度为T1和T2（T2＞T1）T=f(r，Z，t)
案例三：绝热的圆柱形水柱，圆柱具有对称性，初始温度为T1，T=f(r，t)
案例四：绝热的圆柱形水柱，圆柱具有对称性，初始温度为T1和T2（T2＞T1）T=f(r，Z，t)
在所有四种情况下，外部温度等于T3。实际上，案例三和案例四分别相当于案例一和案例二在外壳上增加了绝热层。我们的主要目标是解决案例四的热传导方程。前三个案例是案例四的限制形式。通过解决前三个案例帮助我们解决第四个案例。
首先应用了分析方法。在我们无法分析解决方案的情况下，应用了数值方法。由于分析解决方案必须无论如何都要在计算机上编程，因此数值法更加方便。
图 3.2 四个不同的例子来研究热传导。
3.2 瞬态热传导圆柱形坐标与圆柱对称 （ T=f(r,t) ）-案例一
图3.3圆柱水柱
考虑图 3.3 所示的圆柱形罐。该罐的顶部和底部均绝热良好，因此不会从罐的两端进行传热。热量仅通过外墙传输，始终保持在恒定的温度 T1。在一开始时（t=0），罐中的水的温度被设定在T0。初始条件和边界条件是：
初始条件（t=0）
在这种情况下，热传导的方程是 ：
因为T是仅r和t的函数。由于没有内部热源 ，phi;=0。在进一步介绍之前，将无量纲变量theta;，R和t *定义为：
如果我们用theta;，R和t *代替T，r和t。那么结果是：
以无量纲表示的初始条件和边界条件是：
3.2.1 分析解决方案
在本节中，Eq. 3.9 通过分析法解决。变量的分离通过该式来实现：
当这被带入到Eq. 3.9 时，结果是 ：
由于左侧是仅 t*的函数，而右侧仅是 R 的函数，因此两侧必须等于常数，则可表示为 C。假设 C 为负值，因此我们可以编写 C=-lambda;sup2;，并重新排列以获得两个微分方程 ：
Eq.3.14的解是：
其中C1是常数。很明显，选择 C=-lambda;sup2;是正确的，因为tau;（t*）会随着时间而呈指数级下降。如果选择了C为正值，在不限制t*的最大值情况下，tau;（t*）将不断增加。
方程 3.15 是Bessel的零顺序和参数lambda;R方程，一般解决方案是：（Farrel and Ross，1963 ）
其中 J。和 Y。分别是Bessel的第一和第二定律。但是 Y。（AR）当R变为零时接近无穷大。因此，C3 必须设置等于零，以满足B.C.2。因此，我们得到 ：
其中C2被设成统一的数据但同时也不丧失普遍性。应用B.C.1，我们获得：
有许多lambda;值是这个方程的根， nth的根被指定为lambda;n。因此，nth 的解是：
由于theta;1，theta;2，theta;3，hellip;hellip;theta;n是微分方程的解，因此这些解的线性组合也是方程的解：
其中Cn是任意系数。必须从边界条件找到 Cn 系数。初始条件的应用导致：
我们必须找到贝塞尔函数的适当线性组合，这些组合加在一起就是一个整体。要求解Cn，将两边都乘以RJ。(lambda;mR）（其中m是任意指数），然后从R = 0到R = 1进行积分。贝塞尔函数的正交性用于简化。
当此表达式在 Eq. 3.21 中使用时，结果为：
3.3 圆柱形水箱的应用
水的各项常数为：
公式3.29给出了缸内不同时间的水温，并已为数字计算机编程。该程序及其结果将在下一节中讨论。
3.3.1计算机编程分析解决方案
在编程式3.28中，我们需要使用零，一阶的第一类Bessel函数J0（x），J1（x）。这些功能确定气缸内任何点的温度。指数时间衰减项决定了温度对时间依赖性。这两个贝塞尔定律如图3.4所示。在计算机程序设计中，要获得相当好的准确性，要决定需要使用多少个贝塞尔函数项。最好选择合理数量的贝塞尔函数项，以免浪费过多的计算机时间，并且仍然可以达到合理的精度和稳定性。这需要对公式中使用的贝塞尔函数的性质有所了解。需要关注的点是：
- J0（x）和J1（x）绕x轴振荡。
- 离原点越远，振荡的幅度越低，通过反复试验我们找到了合理数量的项，这些项在等式中表示为3.28和3.29振荡，最后两项的平均值会提高精度。
图3.4 0和1阶贝塞尔函数
在这种情况下，100个项是最合理的数量。为了在温度上达到同样的准确性，使用平均值，需要使用更多项。
只有包含无限数量的贝塞尔函数项，Eq. 3.29 中的 T（R，t*）的表达方式才是正确的。在实际操作中，需要合理数量的项，并且希望项的数量不大。
通过考虑 t = 0 的温度，可以估算收敛速率，这是可以明确得到的数据。并将这与在t=0时Eq.3.29中计算到的温度进行比较。 对于初始内部温度为 100°F 和墙壁的温度为 70°F，半径为 r0= 0.375 英尺，保留的不同数值的计算温度在表 3.10。可以看出，计算的T在100F左右振荡，振荡幅度随着N的增加而减小。平均两个相邻值非常接近确切温度100°F。
从这个表，可以得出结论：
1）结果的准确性随着 Eq. 3.29 中的项增加而增加。
2）Eq. 3.29 最后两个项的平均值可提高结果的准确性，并通过要求较少的项来节省计算机时间。使用平均方法，30个项比100个项准确性更高
表 3-1
温度在 r = 0， t = 0 的罐与 r0 = 0.375 作为方程 3.29 中使用的项的函数。确切的温度为 100°F.
|
项的数量 |
计算出的温度℉ |
平均值 |
|
29 |
96.92 |
100.30 |
|
30 |
103.92 |
|
|
99 |
102.13 |
100.00 |
|
100 |
97.88 |
Eq. 3.19 的根 lambda;n 获得如下。这个方程的前二十个根在文献中都有。（Abramowitz and Stegun，1965）它们在 Apendix 中给出的程序列表中的数据声明中给出。Eq. 3-19 的其他根是根据以下方程的近似值计算出来的。
3.3.2 分析解决方案的结果
计算机程序针对五个半径分别为0.375、0.75、1.50、2.25和4.5 ft的圆柱水柱运行。图3.5、3.6、3.7和3.8显示了圆柱水柱内任意点的温度随时间的变化。从这些数字可以得出以下结论：
- 随着圆柱水柱半径的增加，总的温度衰减率降低
70
0.4
0.6
0.8
图3.5 圆柱体温度变化的理论曲线
半径r=0.375 英尺 初始温T=100℉ 和外部T=70℉ 采用分析法
图3.6具有圆柱对称和半径 r=0.75 英尺的圆柱水柱温度变化的理论曲线，采用分析法。
图3.7具有圆柱对称和半径 r=2.25 英尺的圆柱水柱温度变化的理论曲线，采用分析法。
图3.8具有圆柱对称和半径 r=4.5 英尺的圆柱水柱温度变化的理论曲线，采用分析法。
图3.9 在R=0.8时，不同圆柱形水柱的温度和时间坐标图
图3.9 在R=0.8时，不同圆柱形水柱的温度和时间坐标图
2.温度的下降发生在罐壁附近，通常在R=0.8到R=1的范围内，其中R等于任何内部点与罐半径的半径比率。图3.9显示了不同半径的圆柱形水柱的温度与时间在R = 0.8的变化。墙体附近温度的下降是由于墙体温度假定与外部温度相等，而外部温度始终保持不变。
3.水柱本身就是一种很好的绝缘介质，只要对流不会变的很大。位于 1.9（BTU/hr-ft2p2p2-℉）-1 的圆柱形水柱的一侧就带有 R = r/r0= 0.4 的点的耐热性 （Rtn）。
3.4 数值法导论
在这项工作的开始，我们的主要目标是通过分析方法解决圆柱形水箱中的热传导问题。为这些案件开发了一、二案例的分析解决方案，编写了计算机程序，然后我们试图将分析方法应用于三、四案例，但问题变得过于复杂，无法解决。因此，第三和第四个案例是通过数字差异方程式解决。
有两种不同的方法可以通过用来用数值法解决这类问题。此处称其为'隐性'方法和'显性'方法。显性方法比隐性方法更容易解决，但对时间（t）和空间网格的大小有限制。 因此，显性的方法需要更多的计算机时间和更大的阵列。隐性方法需要更复杂的编程，但可以利用更多的时间步骤和空间网格大小。隐性方法也绝对稳定，更准确。总的来说，隐性方法比显性方法更可取。
我们试图使用隐性方法解决尽可能多的案件。显性方法仅在无法使用隐性方法的情况下使用。
为了获得数值方法的经验，确定分析法和数值法之间的关系，我们使用隐式方法解决了案例一和二。通过将数值解决方案与以前推导的分析解决方案进行比较，我们能够验证数值解决方案的准确性。案例三和四将分别在第五章和第六章提出解决办法。
3.4.1 圆柱形坐标中瞬态一维热传导的数值解-案例一
在前几节中，生成了一维热传导T=f（r，t）的分析解决方案，并讨论了结果。由于无数个Bessel函数的缓慢结合计算，它通常要求编写程序并使用数字计算机。由于计算机无论如何都必须使用，因此使用与微分方程的有限差异近似非常方便，而微分方程可以在数字计算机上直接解决。这避免了缓慢的结合计算，并具有额外的优势，可用于过于复杂的问题和无法通过分析方法解决的问题。
原则上，该方法为离散变量theta;i，j与连续温度场theta;提供了一个有限差分方程。第一个索引指定了时间，第二个索引指定了空间网格中的点。为了从微分方程中得到一个有限差分方程，有必要找到一个在R=jDelta;R，t*=（i 1/2）Delta;t*时，的最合适的解。
通过围绕点R在泰勒级数中展开theta;，可以获得在点R R和R- R处的theta;表达式。（Whitaker，1976）。通过选择t * =（i 1/2）Delta;t*，我们将能够在时间i和i 1处将扩展为theta;。
将这些表达式代入公式3.9得出差分方程：
双方都乘以并重新排列以获得：
定义以下变量：
从圆柱体的中心到墙壁构建一个空间网格，j=0位于圆柱体的中心，N在圆柱体的侧壁。 有N-1个内部点，对于每个内部点j在任何时候都是i，theta;为theta;ij时有意义，theta;向量在内部时间为i时有意义，此时：
此向量只有在初始时间i=0时才能得到。向量D可定义为：
现在最好将Eq.3.38带入到矩阵的形式，但是，在此之前，必须将边界条件应用于j取值为1和N-1的方程。当j为N-1时，存在项theta;i，N代表壁处的温度。由于在我们的问题中壁温固定为T1，因此对于所有i而言，theta;i，N = 0。中心温度是由以下事实决定的：由于圆柱对称性，R = 0时。因此，我们可以推出theta;i，0 =theta;i，1。经过这些修改之后，Eq.3.35可以写成：
为了从theta;i方程推出theta;i 1方程。 3.42-3.44以矩阵形式编写：
用缩写符号表示为：
然后乘以G的-1次方，我们获得：
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