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第四章 受压构件
4.1介绍
受压构件是只承受轴向压力的结构构件;即荷载通过构件截面的形心沿纵轴施加，应力可以取为f = P/ a，其中f被认为在整个截面上是均匀的。然而，这种理想状态在现实中是永远不会实现的，因为荷载的一些偏心是不可避免的。会产生弯曲，但通常可以认为是次要的。正如我们将看到的，AISC规范方程的受压构件强度解释了这种意外的偏心。
出现在建筑物和桥梁中最常见的受压构件是柱，一种竖向构件，其主要功能是支撑竖向荷载。在许多情况下，这些构件也受到弯曲，在这些情况下，构件是梁柱。我们将在第6章讨论这个主题。受压构件也用于桁架和作为支撑系统的组成部分。不属于柱的较小的受压构件有时称为杆。
在许多小型结构中，柱轴力可以很容易地从它们支撑的梁的反应中计算出来，或者直接从地板或屋顶的荷载中计算出来。如果构件连接不传递力矩，这是有可能的;换句话说，如果柱不是刚体的一部分；对于刚架柱，存在可计算的弯矩和轴力，需要进行框架分析。AISC规范规定了三种分析方法，以获得刚性框架构件的轴向力和弯矩:
- 直接分析法
- 有效长度法
- 一阶分析法
除了非常简单的情况外，计算机软件被用于分析。虽然这三种方法的详细内容超出了本章的范围，但是在第6章“梁柱”中将对它们进行更多的介绍。认识到这一点很重要，然而，这三种方法是用来确定所需构件的强度(轴向荷载和弯矩)。有效强度的计算方法在本章“受压构件”、第五章“梁”和第六章“梁柱”有。
4.2柱理论
考虑图4.1a所示的细长受压构件。如果轴向荷载P缓慢施加，它最终会变得足够大，导致构件变得不稳定，并呈现虚线所示的形状。构件发生屈曲，相应的载荷称为临界失稳载荷。如果构件比较坚固，如图4.1b所示，则需要更大的荷载才能使构件达到不稳定点。对于非常结实的构件，其破坏可能是通过抗压屈服而不是屈曲来发生的。在破坏前，压应力P/A无论是屈服破坏还是屈曲破坏，A在横截面上的任何一点都是均匀的。发生屈曲的荷载是长细比的函数，对于非常细长的构件，这种荷载可能非常小。
如果构件太细(我们将很快给出长细比的精确定义)，以致于在屈曲之前的应力低于比例极限(即构件仍然是弹性的)，则临界失稳载荷为
其中E为材料的弹性模量，I为截面面积相对于小主轴的惯性矩，L为支撑点之间构件的长度。为了使公式4.1有效，构件必须是有弹性的，其两端必须可以自由旋转，但不能横向平移。此端部条件由铰链或栓接来满足，如图4.2所示。这种不寻常的
关系是由瑞士数学家莱奥哈德·欧拉首次提出的，并于1759年发表。临界载荷有时被称为欧拉荷载或欧拉屈曲荷载。方程4.1的有效性已通过大量的试验得到了令人信服的证明。这里给出它的推导来说明结束条件的重要性。
为了方便起见，在接下来的推导中，构件将沿着图4.3所示的坐标系的x轴进行纵轴定位。滚柱支撑被解释为约束构件上下移动。施加轴向抗压荷载并逐渐增大。如果施加一个临时的横向荷载使构件偏转成虚线所示的形状，当轴向荷载小于临界屈曲荷载时，构件将在移去临时荷载后恢复到原来的位置。临界屈曲荷载，Pcr，被定义为当暂时的横向荷载被移除时，刚好足以维持挠曲形状的荷载。
给出了弹性构件弯曲变形的微分方程
其中x在构件纵轴上定位一个点，y为该点处轴线的挠度，M为该点处的弯矩。E和I之前定义过，这里的惯性矩I是关于弯曲(屈曲)轴的。该方程由Jacob Bernoulli推导，Euler独立推导，Euler将其专门用于柱屈曲问题(Timoshenko, 1953)。如果我们从屈曲点开始，那么从图4.3可以看出，弯矩为Pcry。方程4.2可表示为
这里质数表示对x的微分，这是二阶线性常微分方程常系数方程，并且有解 y = A cos(cx) B sin(cx)
A和B是常数。这些常数是通过应用下列边界条件求值的
At x = 0, y = 0: 0 = A cos(0) B sin(0) A = 0
At x = L, y = 0: 0 = B sin(cL)
最后一个条件要求，如果B不为0，则sin(cL)为0(对应于P = 0的平凡解)对于sin(cL) = 0，
cL = 0, p, 2p, 3p, . . . = np, n = 0, 1, 2, 3, . . .
从
我们获得
不同的n值对应不同的屈曲模式;n = 1表示第一种模式，n = 2表示第二种模式，依此类推。值为0表示没有荷载的情况。这些屈曲模式如图4.4所示。n大于1的值是不可能的，除非受压构件受到物理约束，使其不会在曲率发生逆转的点发生偏转。
因此，微分方程的解是
而且系数B是不确定的。这个结果是在建立微分方程时所做的近似的结果;使用了非线性现象的线性表示。
于两端无支撑的受压构件的一般情况，n = 1，欧拉方程为
可以很方便的将4.3方程改写为
其中A为截面面积，r为回转半径，相对于屈曲轴线。L/r为长细比，是构件长细比的度量，细长构件对应的长细比值较大。
临界载荷除以截面面积，得到临界失稳应力:
在此压应力下，r对应轴发生屈曲，当荷载达到式4.3所给出的值时，柱在最大长细比对应的主轴上发生失稳。这个轴通常是转动惯量较小的轴(稍后我们将讨论这种情况的例外情况)。因此，截面的最小转动惯量和回转半径通常应在公式4.3和4.4中使用。
早期的研究人员很快发现，欧拉方程并不能给出结实或不那么纤细的受压构件的可靠结果。其原因是该类构件的长细比较小，导致了较大的屈曲应力(由式4.4)。当发生屈曲的应力大于材料的比例极限时，应力与应变的关系就不是线性的，弹性模量就不能再用了。(例4.1中，屈曲时的应力为Pcr/A=278.9/14.6= 19.10 ksi，远远低于任何等级的结构钢的比例极限。)这个难题最初是由Friedrich Engesser解决的，他在1889年提出了在方程4.3中使用可变切线模量Et。对于具有图4.5所示的应力-应变曲线的材料，当应力大于比例极限Fpl时，E不是常数。切线模量Et是定义为f值在Fpl和Fy之间的应力-应变曲线的切线斜率。如果压应力在屈曲时，Pcr/A，在这个区域，可以表示为
方程4.5与欧拉方程相同，只是Et代替了E
图4.5所示的应力-应变曲线与前面所示的韧性钢(图1.3和1.4)的应力-应变曲线不同，因为它具有明显的非线性区域。这条曲线是典型的w型短柱的抗压试验，而不是拉伸试验的结果。这种非线性主要是由于w型中残余应力的存在。当热轧件在轧制后冷却时，横截面上的所有元素冷却速率不相同。例如，翼缘的尖端的冷却速度比翼缘和腹板的连接处的冷却速度要快。这种不均匀的冷却会产生永久的应力。其他因素，如焊接和冷弯以在梁中产生曲率，也会造成残余应力，但冷却过程是其主要来源。
注意，Et比E更小而且对于相同的L/r对应一个较小的临界荷载，Pcr由于Et的变异性，利用4.5式计算Pcr的非弹性范围比较困难。一般来说，必须采用反复试验的方法，并且必须使用如图4.5所示的抗压应力-应变曲线来确定Pcr的Et试验值。因此，大多数设计规范，包括AISC规范，都包含了非弹性柱的经验公式。
恩格斯的切线模量理论遭到了一些人的批评，他们指出了几个不一致的地方。恩格斯被他们的论点说服了，并在1895年改进了他的理论，加入了一个简化的模量，它的值在E和Et之间。然而，测试结果总是与切线模量理论更接近。Shanley(1947)解决了原始理论中明显的不一致，今天的切线模量公式4.5被认为是非弹性屈曲的正确公式。虽然这个方程预测的荷载实际上是临界荷载真实值的一个下界，但差别不大(Bleich, 1952)。
对于任何材料，临界失稳应力都可以绘制成长细比的函数，如图4.6所示。切线模量曲线与欧拉曲线在材料比例极限处相切。复合曲线，称为柱强度曲线，完全描述了给定材料任意柱的强度。除了Fy、E、Et等材料特性外，强度仅受长细比的影响
有效长度
欧拉方程和切线模量方程都是基于以下假设:
- 柱子完全笔直，没有最初的弯曲。
- 载荷是轴向的，没有偏心。
- 柱子两端固定住了。
前两种情况意味着构件在屈曲之前没有弯矩。如前所述，一些偶然的时刻会出现，但在大多数情况下它可以被忽略。但是，对固定端的要求是一项严重的限制，必须为其他支持条件作出规定。固定端条件要求构件在端部不能横向移动，且不能旋转。建立一个无摩擦引脚连接几乎是不可能的，所以即使这样的支持条件也只能是最接近的。显然，所有的柱必须自由轴向变形。
其他的结束条件可以在公式4.3的推导中说明。一般情况下，弯矩是x的函数，从而得到一个非齐次微分方程。边界条件将不同于原来的推导，但整个过程是相同的。所得的反应方程式Pcr的形式也将是相同的。例如，考虑一个受压构件，一端固定，另一端固定，以防止旋转和平移，如图4.7所示。这种情况下的欧拉方程，按与方程4.3相同的方式推导，为
因此，这个受压构件具有与两端固定的柱相同的承载能力，且仅为给定柱长度的70%。对于具有其他结束条件的柱，可以找到类似的表达式。
柱的屈曲问题也可以用四阶微分方程来代替4.2式。这被证明是方便的，当处理边界条件，而不是固定的结束。
为方便起见，临界失稳荷载的方程写成
其中KL是有效长度，K是有效长度因子。固定压杆的有效长度因子为0.70。对于两端固定不动的最优条件，K = 0.5。这些和其他情况下的K值可以通过AISC规范附录7评注中的表C-A-7.1来确定。到目前为止所提到的三个条件，以及一些可能的最终翻译。给出了K的两个值:一个理论值和一个推荐的设计值，当接近理想的结束条件时使用。因此，除非“固定”端是完全固定的，否则应该使用更保守的设计值。只有在最不寻常的情况下，理论值的使用才是合理的。但是，请注意，评注表C-A-7.1中(d)和(f)条件的理论和建议的设计值是相同的。原因是，任何偏离完全无摩擦铰链或销钉都会引入转动约束，并倾向于减少k。因此，在这两种情况下，理论值的使用是保守的。
用有效长度KL代替实际长度L丝毫不会改变到目前为止所讨论的任何关系。除了重新命名横坐标KL/r外，图4.6所示的柱强度曲线没有变化。给定长度所对应的临界失稳应力，无论是实际的还是有效的，都保持不变。
4.3 AISC的要求
受压构件的基本要求在AISC规范的E章节中有介绍。公称抗压强度为
为了给出临界应力Fcr的AISC表达式，我们首先将欧拉荷载定义为
根据欧拉方程，这是临界失稳荷载。欧拉应力是
稍加修改，这个表达式就可用于弹性范围内的临界应力。为了得到弹性柱的临界应力，为了考虑初始弯曲度的影响，将欧拉应力降低如下:
对于非弹性柱，切线模量方程，即方程4.6b，被指数方程所代替
利用公式4.9，可以得到非弹性柱的直接解，避免了使用切线模量方程所固有的试错方法。在非弹性柱与弹性柱之间的边界，方程4.8和4.9给出了相同的Fcr值。这重现当KL/r是大约
AISC规范规定根据KL/r的值来区分非弹性和弹性行为(如公式4.10和4.11)或比值Fy/Fe的值。Fy/Fe的极限值的推导如下。由AISC方程E3-4可知，
AISC抗压强度的完整规范如下:
在这本书中，我们通常会用KL/r的极限，如式4.10和4.11所示。这些需求在图4.8中用图形表示。
AISC方程E3-2和E3-3是5个方程的浓缩版，涵盖了KL/r(Galambos, 1988)。这些方程建立在实验和理论研究的基础上，考虑了残余应力和L/1500，其中L是构件长度。这些方程的完整推导由Tide(2001)给出。
尽管AISC对长细比K/L没有要求上限，但建议上限为200(请参阅AISC E2中的用户说明)。这是一个实际的上限，因为受压构件如果再细长，强度就会降低，经济效益就会下降。
在例4.2中，rylt; rx，在x方向有多余的强度。方形结构管(HSS)是受压构件的有效形状，因为ry= rx且两轴的强度相同。出于同样的原因，有时用空心的圆形作为受压构件。
到目前为止，考虑的破坏模式被称为弯曲屈曲，因为构件受到屈曲，或弯曲，当它变得不稳定。对于某些截面结构，构件将通过扭转(扭转屈曲)或扭转和弯曲的组合(弯曲-扭转屈曲)而失效。我们在第4.8节中考虑这些罕见的情况。
4.4局部稳定性
然而，如果截面单元太薄而发生局部屈曲，则任何整体屈曲模式(如弯曲屈曲)所对应的强度都无法得到发展。这种类型的不稳定是局部屈曲或褶皱在一个孤立的位置。如果发生这种情况，横截面就不再完全有效，构件就失败了。带有薄翼缘或腹板的i形截面容易出现这种现象，应尽可能避免使用。否则，必须降低AISC公式E3-2和E3-3所给出的抗压强度。这种敏感性的度量是每个横截面单元的宽厚比。必须考虑两种类型的构件:非加劲肋构件，沿与荷载方向平行
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