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外文翻译
摘要： 我们研究了由一般压力规律控制的等熵可压缩流体的欧拉方程的双曲系统。熵核能够生成弱熵族，熵核的存在性和规律性，可以通过求解一个新的欧拉-泊松-达布方程建立起来了，当流体密度消失时，该方程是高度奇异的。 消除奇异性后在结合熵核与熵流核，发现了新的性质。
我们证明了在任何一致有界的序列具有强的紧致性，而且它的弱熵消耗度量是局部紧致的。在内柯西问题弱熵解的存在性和长时间行为被建立起来了。存在性的结果在拉格朗日坐标系下扩展到了系统的中流体动力学. 我们关于杨测度的约简定理的证明还进一步简化了已知的多方气体的证明。
介绍
等熵可压缩流的欧拉方程写作
在这里定义了密度，表示动量，表示压强。目前这个柯西问题的适定性引起了广泛的关注，以前的研究限制于多方气流的情形，这篇文章起源对实际气体和复杂流体受各种各样压强定律控制应用的关注。一个主要的困难在于真空时，这个方程在数学分析上的是奇异的，这个方程的物理区域是，对于，气流函数在真空附近仅仅是李普希茨连续的。对于，表示气流的速度，另一个困难时是无论初始数据多么光滑，（1.1）的震荡波在柯西问题
上的推广。
这个系统是一个非线性双曲保守系统的原型
对于保守系统，我们参考Lax，在真空以外的严格双曲性和非线性性要求满足：
在真空时，这两个特征速度可能一致而且这个系统不再严格双曲了。
一个弱熵流对定义为
对于任意光滑解，按照已有的保守定律。弱熵在真空状态下会消失。一个弱熵解是由弱熵不等式决定的。
从分布的意义上说，对于任何弱熵对，带有凸性的
所谓的多方气体情形由如下状态方程所描述的那样
假设，目的是为了方面标准化。对于早期的关于弱熵解的存在性，我们参考【29】这个黎曼问题，【34,14】是对于特殊的一类带有有界变量的初始数据，【28】是对于大范围总变量的带有小的或者使用Glimm方案也一样。
对于的情况，在上第一个整体存在性是由DiPerna在【16】利用消除粘性的方法建立起来的。对于一般的的值，这个存在性问题是由丁夏畦，陈贵强，罗佩珠解决了。的情况由Lions,Perthame和Tadmor在【23】中解决了。Lions,Perthame和Souganidis在【24】中解决了区间的情形，并且简化了在整个区间上的证明。
本文致力于一般压强规律下可压缩流体在附近的奇异性。我们假设压强在真空以外是光滑的，但是在真空附近是非常奇异的：的原则上奇异的部分和（1.6）对于一致，但是允许其它的与（1.6）的奇异性不相合，详情在第二部分（2.1）中有精确地陈述。
我们会证明在【7】中如下的结果：
主定理：考虑可压缩欧拉系统在假设（1.4）和（2.1）下
（1）给定任何可测量有界的初始数据满足
则存在柯西问题（1.1）-（1.2）的一个熵解满足
在这里
- 设是一函数列，关于一致的满足（1.7），使得对任何弱熵对
然后这个序列在是紧致的。
弱熵解的渐进衰减和Lax-Friedrichs的收敛性也成立。为了证明主定理，我们发展处出新的技巧来处理随着一般压力规律出现的困难。特别地，相比较于（1.6）的情况，没有没有清晰的公式适用于（1.1）的熵。我们的方法结果在于（1.6）情况的进一步简化证明。
当（1.6）成立时，（1.1）的弱熵通过一个正则光滑函数与一线性波动方程的基本核的卷积给出，定义为
这里 ，是依赖于的常数（见（2.2）和（2.11））。弱熵有以下的形式：
我们把作为气体的熵核。的奇异性很容易从表达式中得到。一般压强规律下的主要困难之一是当一个清晰的公式不适用时，分清由定义的不同阶数熵核的奇异性。
证明熵解的存在性的一般策略如下：首先构造出近似解，然后通过添加一个高阶奇异项到（1.1）或者使用有限微分。当参数趋向于0时，函数列形式收敛于（1.1）的一个熵解。然而，严格地执行这个方法非常具有挑战性。一般而言，只有限制于的是适用的，而且可以找到一个弱收敛的子列。系统（1.1）包含一个非线性复合函数在弱拓扑下不连续，因此需要知道关于近似解的额外的信息。
Tartar第一个适用Yong测度来描述非线性偏微分方程组的摆动解。一个Yong测度是一个从到所有概率测度集的弱凸测度映射。对于保守规律性下的双曲系统，所谓的Tartar交换关系约束了Yong测度
对于任何两个熵对，和几乎处处的。这些条件由补偿紧性的方法导出的，尤其是div-curl引理。最后，关于近似解需要一致有界，特别地，熵流的消散测度的 的紧致性对于Murat的引理是非常有用的。
对于几乎处处的如果任何满足（1.10）的测度减少到一个狄拉克物质，则近似解序列在强拓扑下收敛，而且是合适的近似以及弱熵解。对于欧拉方程，为了得到Yong测度是一个在平面的狄拉克物质，它需要满足平面内的依旧由定义的测度要么是一个单点，要么是真空线的一个子集，真空线如下：
主要的困难是由于真空问题的存在，只有弱熵对可以利用。
在的证明中，最终要的核心问题是构造在（1.9）中的特殊函数 来探究限制于（1.10）的集合的形式。这些测试函数对于高阶狄拉克测度的导数是合适的近似。（1.10）被用来表示一个奇异的不平衡性：由于取消了一些，左边的算子比右边的算子更奇异。DiPerna考虑了，为了方便弱熵是黎曼不变量的多项式函数，假设它为整数。在【2.13】中介绍了分式导数，这是一种新奇的思想，可以用来处理实值的。
在【23】中Lions,Perthame, 与Tadmor提出了对于，方程（1.10）的另一种分析，Lions,Perthame 与Sounganidis讨论了的情形。受（1.1）和（1.6）核公式的激发，他们得出严格的结论测试函数的使用实际上可以忽视，而且（1.10）可以直接用熵核 表示。通俗地讲，通过替换和（1.10）对于所有的均成立。这里是熵流核，定义如下：
在【24】中，关于，相互关系是区分开来的，通过使用分式导数算子方便对于不同的 出现奇异性。这个方法依赖于（1.10）两边奇异性平衡的缺乏，由于Yong测度的平均化， 的表现比熵核更光滑。
很多以前的结论没有推广到一般压强规律的情形。我们的第一个目标是构造（1.1）的弱熵对。二到三部分包含一个对熵和熵流核的进一步讨论，它是由和两方面表示的。核的存在性，唯一性在定理2,1中建立起来了。这允许我们一般化（1.9）并获得弱熵对族。在定理2.2-2.3中确定了关于核函数的不同阶数分式导数的奇异性。特别地，我们把核函数分解为一个最奇异的部分与一个不那么奇异的部分之和，前者有一个清晰的公式给出，这涉及压强规律。证明推迟到部分三。在熵核与熵流的爆裂性的连接中将会在【8】中讨论。
在部分四，我们研究了欧拉方程近似解序列的紧致性。在定理4.1中，对于一个关于在一致有界和弱熵消散测度的 紧性的序列，我们证明了这个序列对于，在 上是紧致的。要点是建立下降定理：对于所有的弱熵对，Yong测度满足（1.10）的交换关系是一个狄拉克物质。我们的证明基于熵核和的奇异性消失，其结合如下：
然后我们观察到下面的恒等式是（1.10）对称形式的一个基本序列
对于所有的，在这里，导数按分布来理解。我们证明了当趋向于时，第二与第三项在弱的凸测度内收敛于同一项，只是符号相反。第一项更奇异而且包含由有界测度确定的有界变量函数的乘积，我们都知道这依赖于奇异化。（1.11）中的第一项收敛于一个非平凡的极限，而且是清晰地决定的。最后，关于的真正非线性性被要求包括Young测度要么减少到一个狄拉克物质要么在真空线上成立。
在部分五中，我们证明了对于一般压强规律Lax-Friedrichs方法的收敛性，在【2.13】中对于的情形推广了这种方法。相同的方法可以用来证明由粘性消失方法构造的近似解 ，即
柯西问题的弱熵解的存在性，紧致性以及渐近衰减依赖于部分四中的框架中的紧致性。
我们指出只要熵和熵流核是确定的，本文中发展的方法非常具有一般性，都可以运用到它的双曲系统。详细请见【8】
我们注意到本文中所有的结果在拉格朗日坐标下可以扩展到系统流体力学
在这里是特殊的体积，是流体的速度。在条件下，对于任意的，这个系统是双曲型的，而且当是真正的非线性的。观察到，当密度消失时，这个特殊的体积是无解的，应该被理解为一个分布。
在系统（1.1）的熵与熵解和（1.12）之间存在一个一一对应。和表示欧拉方程（1.1）的熵与熵流核。（1.12）的系统承认一个熵核和一个与之对应的熵流核，这可以生成弱熵对族。设 ，
观察到当时，趋向于无穷大。
熵与熵流核：主要结果
在整篇文章里，除了远离真空以外的系统（1.1）的双曲性与（1.4）的非线性性，我们总是假设是类的一个函数，而且存在和使得
对于足够小的成立。在充分的考虑下的解将会保留在的一个子集以便当足够大时，与它无关。在本文中记号表示一个本性常数，在不同的场合不需要相同。
注：正如规律下的气流一样，压强有相同基本奇异性，但是（2.1）允许当时，有额外的奇异性。的确从中观察到，当，对于，是无界的。同时注意到 ，但是对于，的高阶导数在真空附近是无界的。
表示声速，条件（1.4）保证了在真空以外，（1.1）是严格双曲的并且有两个与本性波速 相联系的非线性特征域。在真空时，，并且波速相同。考虑如下的函数：
从（2.1）可以得到这个积分是有限的。
通过
定义常数，和 ，对于多方气体的情形，
注意到与 。则有，如果则。换句话说，，当则。
引入黎曼不变量
则满足，在真空处有。在特殊的情况下：
这是比（1.4）要强的一个条件，黎曼不变量和分别是是的凹函数和凸函数。这是规律气体下的情形，但是对于单独满足（1.4）和（2.1）的实际气体并不一定对。
对于远离真空处的光滑解，（1.1）等价于
方程
是（1.1）的一个结果，方便导出满足一个满足弱熵流对的下面的方程组：
消去q，得到下面的关于熵的二阶线性双曲型偏微分方程：
在变量下，我们得到
在这里 ，。对于规律气体的情形， 是一个常数，即最简单的情形。
方程（2.3）-（2.4）属于一类欧拉-泊松-达布方程。主要的困难在于真空附近的奇异性。从（2.1）中可看到，比如的导数当趋于零时，爆炸式增长，它的高阶导数更奇异，这是与规律气体最本质的区别。经典的欧拉-泊松-达布方程理论就不适用了。在本部分，我们建立了（2.3）的基本解的存在性，并研究了它的奇异性。
按照定义，熵核是问题
的解，从分布上来说，表示参数，表示狄拉克在处的测度。按照定义，满足
对于每一个带有紧致集的测试函数均成立。
由于初始数据的支撑是点 ， 应该在独立于的区域成立
的确曲线和是双曲方程（2.5i）的特征线。在变换下，从不变量的角度出发，当时，对于研究（2.5）已经很充分了。
熵流核，按照定义，满足：
对于每一个的值均成立。对比问题（2.5），条件（2.7iii）依赖于，并且有。然而，从函数的角度，条件（2.7iii）写作：
并且只依赖于，也一样。规律气体更简单些因为从中清晰的决定了，请看（1.8）。
在部分三，我们证明了下面的定理。
定理2.1（存在性与唯一性）
问题（2.5）有一个唯一的赫尔德连续解，定义在集合上且在内部是正的。
问题（2.7）有一个唯一的连续解，定义在集合上而且只依赖于。
从定理2.1中我们推断：
推论2.1
可压缩欧拉方程的弱熵族由一下所表示：
这里是一个正则函数。按照构造，。对应的熵流是
我们现在确定出现在和导函数中的奇异性。不失一般性，我们假设这里并设。核的奇异性应当局部化与边界中的特征线：
当从v（或者等价的s）方面对待不同的核，在上的估值会出现变化。
为了说明结果，我们使用以下记法。对于任何实数，带有紧支集的函数的分式导数记为：
卷积是从分布角度定义的，是经典的伽马函数。观察到公式
对于所有的分式导数依旧成立。
所有以下得性质对于和在一个有界集合上是一致的。
定理2.2（的渐近展开）
熵核存在展开式：
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