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在相干光通信实验中四维信道分布对可达率的影响
Tobias A. Eriksson,Tobias Fehenberger, Peter A. Andreksono, Marlsson, Norbert Hanik, and Erik Agrell
摘要—我们实验性地研究了相干光传输系统的互信息和广义互信息。研究了在四维及以下假定的信道分布对可达率的影响。研究了单信道和波分复用（WDM）在有无内联色散补偿的传输链路上的传输。我们发现对于没有内联色散补偿的波分复用系统，一个循环对称复高斯分布是一个良好的信道近似。对于其他信道来说，比如拥有内联色散补偿的，这不再是正确的，并且增加可达率是通过考虑更复杂的四维分布。我们也表面了对于非线性信道，通过估算四维中接受到的一系列信号的平均值来实现可达率的增加。在那些信道中，与四维相关的高斯分布被视为增益益最高的。
关键字—信道模型，数字通信，光纤非线性光学，互信息，光纤通信。
I.引言
相干光纤通信系统在很大程度上是通过数字信号处理（DSP）来实现的。[1]数字信号处理用于抑制信号失真，如激光相位漂移和偏振漂移。这简化了同时使用光场相位和振幅的高阶调制格式的使用。在今天的通信系统中，提高调制阶的驱动力是对提高数据率不断增长的需求[2]，作为一种更高阶的调制形式可以以更高的光谱效率（SE）进行传输。
目前通信系统的关键技术之一是前向纠错（FEC）代码。由于代码费用和编码解码复杂性的增加，FEC的使用可以降低SE来显著地提高通信系统的灵敏度。没有使用FEC，很多高阶调制方式例如偏振复用正交幅度调制（PM-16QAM）在查明数据无错之前（通常被定义为比特误码率（BER）lt;）[3]无法发送很长。然而，在使用了先进的FEC后，PM-16QAM可以在跨洋传输[4]。先进的FEC与偏振复用正交相位键控（PM-QPSK）相结合使用使记录光谱效率传输距离的产品[5],[6]成为可能。
直到最近几年，在光纤传输系统中使用的FEC代码通常是里德-索洛蒙或者博瑟-乔杜里-霍肯赫姆代码，解码用硬判定（HD）算法。这意味着，在信息被送到解码器之前，接收到的一系列被分解成比特。在最近几年，在光纤通信系统中使用的FEC代码基于软判定（SD）解码，这意味着在接收端进行数字信号处理后的软信息才被送到解码器。这些代码的实例是低密度奇偶校验码（LDPC）[9],极化码[10],和Turbo码[11]。这些类型的代码以更高的复杂度实现了比HD代码更高的灵敏度。值得注意的是，在一些情况下，有内部SD码和外部HD码的级联码是可行的，如果内部码有一个超过无错误比特误码率限制的误码平底。
对于HD编码方式，如果FEC看到的信道可以被建成一个二进制对称的信道，解码后的可达率可以被在FEC之前的BER所决定[12]。换句话说，从接受到的结构中估计BER可以很好的估计在FEC之后的BER,并且这确实是在大多数光纤传输实验中所做的工作。FEC解码器在实验中没有使用的主要原因是后FEC 比特误码率为且满足统计所需的良好的样本的数量在脱机过程中是不可实行的。另一方面对于SD解码器来说，前FEC比特误码率与可达率之间不存在这样的关系。这可以用SD解码器不工作在位上作为输入来解释。对于使用SD FEC的光通信系统来说，互信息（MI）是一种比前FEC比特误码率更靠谱的测量方法[13]。在[14]中，证明了对于具有按位译码器的LDPC代码和Turbo乘积码，且没有没有内联色散补偿[ILDC]的链路，广义互信息（GMI）可以很好的估计后FEC比特误码率，而不受调制格式和光发射功率的影响。
关于MI，在先前的大部分工作中，将其作为光纤通信系统中重要的一部分进行了理论上的仿真[14]-[20]，或者实验，在其中发现信道的输出统计量被认为是无记忆的加性高斯噪音统计量，并且在所有维度[13],[21]-[23]拥有相同的方差。
然而，光纤信道本质上是非线性的。当其近似为无记忆白高斯噪声时，这就意味着信息丢失了。这在一些出版物[16],[17],[19],[20],[24]中已经被讨论过了。在[25]中，我们学习了不同四维（4D）假设的无记忆信道分布对可达率的影响。结果表明在具有高发射功率的发射系统中，对于14Gbd PM-16 QAM的单信道（SC）传输，采用假定的4D信道分布的接收测模型可以实现显著地提升可达信息率。
在这项工作中，我们使用MI和GMI实验研究了不同的可达率的估计值。我们比较了不同信道分布模型及其对不同传输情形下对可达率的影响。我们表明，对于大多数实际情形，循环对称高斯噪声统计量是一个很好的假设。我们还表明，对于某些特别的链路，在解码器中使用基于4D分布的更复杂的信道模型可以获得更高的可达率。
II.可达信率
图1显示了一个典型的远程点对点光纤通信系统的示意图。在本节中，将推导出可达信率的不同估计值。
A.互信息
我们通过[17],[18],[26]的方法，在传输和数字信号处理后得出的实数d维符号中求出对符号级MI的一个下界估计。设输出X是一个d维随机变量，他从X={,...,}中提取，满足，并且具有相同的平均值。信道输出Y表示依赖于X和信道的随机变量。X和Y之间的互信息关系如下
， （1）
其中是条件无记忆信道传递分布，是信道输出密度。互信息给予特定的信道和输入分布最高的速率，在这些信道和输入分布中，可以进行可靠的通信，但是每个信道的使用不能超过mbit。换句话说，在互信息下面有可能出现接近0的后FEC比特误码率。如图1所示，互信息是在符号级别上的运算，也就是说，比特到符号的映射不会影响互信息。
注意（1）给出了互信息的无记忆信道。在现实中，光纤信道展现出记忆性，这使得成为可以用信道的输入输出通过[27,III-F][28]方法计算出的互信息的下界。我们还注意到，由于光纤信道的非线性影响，有限的存储量可能会严重影响可达信率[19]。由于大量的线性存储器引入到光纤信道中，如色散和符号间干扰，都是由数字信号处理器来补偿的，因此，在本文的剩余工作中，我们的分析将限制在无记忆的互信息上。尽管如此，在第4节的实验仍然适用于在数字信号处理后具有残留记忆的真实的光纤信道。
利用弱大数定律，我们可以通过蒙特卡积分从N个输入输出()[26]中估计，如下式
， （2）
其中表示概率收敛。方程（2）表明，如果对传输N个符号的信道有一个解析描述，则得到一个互信息的估计值，其精度随着N的增加而增加。
然而在光纤通信中，信道的过渡分布是不知道的。也就是说公式（2）无法直接计算出来。根据[26]，可以证明，的下界可以使用不匹配的解码来实现。在光线传输后，信道输出的样本可以被估算出来，就像它通过一个信道分布为的信道传输而不是真正的具有的信道。注意到与具有相同的输入输出字母表，也就是说。互信息是可达率，所以它的下界也应该是可达率。我们将这个下界表示为R，将其定义为
（3）
在本文中，我们定义R的符号为（b/4D-sym）。显然最好接近，（3）中的界限收的越紧，就可以获得更高的可达率。虽然我们没有获得信道的真正的互信息，但是不匹配译码器的方法得出了一个实际的可达率，因为解码器也需要一个假设的信道。使用辅助信道，互信息的下界可以通过（2）中同样的方式估算出来，
（4）
其中和都是从真实信道实验得出的，和公式（2）一样。
在本文中，我们假设为d维高斯分布。
（5）
其中j=1,...,M，表示第j项的一系列的点。另外，x和y是实数d维列向量，是协方差矩阵的行列式。在第二节C中，我们详细讨论了如何得到公式（5）中的平均值和协方差。本工作中辅助信道的选择见第二节D。
B.广义互信息
除了互信息，我们还比较了使用广义互信息的可达率。广义互信息为BW解码器[29]提供了一个可达率，并且已经被证明是对宽信道，调制方式和代码[14],[30]的后FEC比特误码率的准确估计。值得注意的是，与互信息估计相同，这是一个不匹配的解码方式。虽然它给出了一个实际的可达率，它并没有给BW解码器提供最高的可达率。然而，对于解码器使用迭代映射和解码[31],[32]，广义互信息代表后FEC性能的准确性还有待验证。假设均匀分布的传输符号，广义互信息可以通过下式估计，[14]
（6）
其中是发送的比特序列，是相似度，k表示比特位置，i表示第i个收到的符号。与（3）中互信息计算类似，LLR的计算也需要对底层信道分布进行假设。除了对辅助信道分布和真实信道分布进行最佳匹配外，对非负参数的优化也是必须的，正如[14,第三节C]中被讨论的。在工作中如果忽略了这些优化，可能会导致广义互信息的估计偏低。
对于d维高斯分布在（5）中定义的一般情况，LLR被像[14],[33]中一样计算。
（7）
其中表示以传输X的第k位比特数为条件的辅助信道的概率密度函数。此外，和是第k位比特数为0和1的点集。值得重点注意的是，如图1所示，广义互信息依赖于比特到符号的映射。在本文中，我们在二维上使用灰色代码集。
C.参数估计
我们从公式（5）中可以得出维数，和的选择决定了高斯辅助信道，同时也决定了互信息和广义互信息。在本工作中，我们区分了静态均值和自适应均值。注意，对于自适应的情况，平均值估计为一批接收到的符号，但是这批符号是常数。这应该与一段时间内平均值被跟踪的情况区分开，这不属于本文讨论的范围。协方差不是独立同分布高斯（iidG），就是相关高斯（CG）。
当使用静态均值时，是输入字母表的M值之一，也就是说，。对于自适应均值，我们使用条件样本均值作为多远正太分布的jth均值。
（8）
其中索引集表示对应于的发送点集的所有索引，也就是。
对于独立同分布高斯辅助信道，是dtimes;d恒等矩阵乘以平均一维噪声方差，
（9）
其中指的是d维向量的第维。注意到对所有的j都相同，也就是说。对于相关高斯辅助信道，计算了每个点集的。然后，根据接收到的样本y估计所发送的第j点集的样本协方差。
（10）
公式（8）和（10）的估计值与公式（5）中的辅助信道具有相同的维数d。需要重视的是，这个条件样本协方差意味着噪声不是加性的，因为随传输点集的变化而变化。换句话说，信道噪声统计量是条件高斯。在本文中，我们随机得在数字信号处理的输出中选择了N个样本用于估计的参数和N各不同样本计算出的可达率。对于每一个估计的可达率，我们使用四个不同的实验批次，从每个实验中选取20万个样本。最后的可达率是这四个批次的平均值。这种双蒙特卡罗方法确保我们不会因为二次估计参数，如协方差，平均值和其他参数，而高估可达率。
D.渠道模型
在本工作中，我们考虑了表1中给出的使用高斯分布的 的5种不同的模型。二位独立同分布高斯分布被认为是基线，因为这是文献中最典型的假设。也就是说，所有接收到的点集被认为在两个维度上具有相同的变化幅度，不适用于接收到的点集平均值的自适应。我将此与二维相关高斯进行了比较，该方法对每个点集假设了不同的协方差，并且对每个接收到的点集的中心值进行了估计。由于偏振复用信号确实是四维信号，并且完整的四维字段需要数字信号处理，所以我们研究了两种四维分布。四维独立同分布高斯对所有点集假设了相同的方差，并且在所有四维和四维相关高斯中，对所有点集估计了一个四维协方差矩阵。这两种估计都适用于四维中接收到的点集的中心点的自适应。由于偏振复用正交幅度调制可以看做是一种一维调制格式，即在每个维度上的四进制脉冲幅度调制，因此我们还考虑了一个一维分布，其中我们假设每个点集的变化相同，并估计一维接收到点集的中心。如图2所示，对于偏振复用正交幅度调制，一组是没有使用内敛色散补偿的波分复用传输（a）和（b），另一组是使用内敛色散补偿的单信道传输（c）和（d），对于这两种不同的实验方法，接收到的点集呈现单极化——。图2表明了方差的90%的置信区间，由两个自由参数的卡方分布计算，二维独立同分布高斯为黑色圆，二维相关高斯为白色圆。绿色环标表示发送的集，白色方格标记表示估计的平均值。
表1也列出了整个四维信号分布的自由度(DoFs)。自由度表示对每个辅助信道估计出的和的参数数量。表1最后一列的表达式表示估计估计的平均值的数目加上协方差的数目，乘以4/d，得到的自由度的四维表达式。对于二维独立同分布高斯，平均值不会被估计，但是每二维估计一个单房差，四维中的总收益为2个自由度。具有自适应的一维独立同分布高斯估计值具有四个均值和一个方差，导致每1维有5个自由度，或者每4维有20个自由度。其余的自由度以
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