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优化材料组分以使与温度有关的材料性能的梯度功能材料（FGM）板产生的热应力降到最低
丁爽、吴志平
接收日期:2017年7月4日/接收日期:2017年9月26日/在线发布日期:2017年10月7日
施普林格科学 商业媒体BV 2017
摘要 一种具有复杂方法的混合遗传算法被开发出来，用于优化具有温度相依性的材料特性的多层功能梯度材料板的材料组分，以使板在受到稳态热负荷时所引起的热应力最小。在公式中，将板人为划分成为一个nl-分层板，利用Reissner混合变分定理，建立了基于弱形式的有限层法求解nl-分层板分层板的位移和应力分量。考虑了施加在板的顶面和底面上的两种热条件，即规定的温度和热对流条件。假设各组分体积分数的穿透厚度分布为幂律、s形、逐层阶跃和逐层线性函数分布等特定/非特定函数分布，利用Mori-Tanaka格式估计板材的有效材料性能。比较了各种最佳材料组合对梯度材料板应力比最小值的影响。
关键词 有限层方法、功能梯度板、遗传算法、优化、Reissner的混合变分定理、热应力
1 引言
功能梯度材料(FGMs)的概念是Niino于1984年在日本国家航空航天实验室首次提出的，FGMs被用于制造热障材料(Koizumi 1992, 1993, 1997)。从那时起，FGMs逐渐取代了传统的纤维增强复合材料(FRCMs)，并被用于形成各种梁、板、壳状结构，具有先进的工业应用，特别是当这些结构用于更恶劣的高温环境时。
大量文章报道称，FRCM叠层结构在受到热力载荷时，相邻层之间的界面经常产生高残余应力。这主要是由于在通过界面时，层压FRCM的材料性能的突变，而高的残余应力经常会导致在界面处发生分层和在基体中发生横向裂纹。相反地，FGM结构的物质特性逐渐地在不同的厚度方向上持续变化，这就说明了叠层的FRCM结构的缺陷是可以被克服的。此外，在厚度方向上的FGM结构的物质特性可以根据工程的要求来设计，给出特定的特定的或非特定的组分的体积单位的函数。此外，在厚度方向上的FGM结构的物质特性可以根据工程的要求来设计，通过给出具体的特定的或非特定的组分的体积分数的函数。因此，为了提高其结构性能，优化FGM结构的材料成分是一个重要问题。
Tanigawa和Matsumoto(1997)以及Kawamura和Tanigawa(1998)分别给出了在非稳态热荷载作用下，单层FGM无限平板和单层FGM圆形平板所产生的热应力最小的材料组成。对于这两个FGM平板，一个是由氧化锆和钛合金组成，另一个是氧化铝和铝合金组成。这些极板的材料特性被认为符合根据成分的体积分数通过厚度方向变化的幂律分布，并考虑了温度相关材料特性。利用混合料规则(Kerner 1956)对有效材料性能进行了估计，热加载板的热弹性耦合分析是基于经典的层合板理论。选取材料律的幂次作为设计变量，采用非线性规划方法求得幂次的最优值。与田川和松本(1997)和川本和田川(1998年)的作品不同的是，在1998年，在FGM板块的厚度方向上假设了物质组成的一个特定的分布函数，Ootao等人(1998年，2000年)用一个逐步形成的方法重新检验了上述问题。在他们的研究中，FGM板块被人为划分为一个多层次的各向同性板块，构成了构成要素的体积分值的一阶分步函数分布，并被认为是不确定的，还有一种遗传算法(GA)(Gen和Cheng 1997)是在Ootao等人(1998)的优化工具中使用的，这是一种神经网络算法(Hagan 等人,1996;1995年的Zurada)在Ootao 等人(2000)中使用的。Na和Kim(2009, 2010)将这一逐步方法推广到单层FGM面板的材料组成优化设计中，考虑了降低热残余应力和提高面板的临界热负荷的作用。Vel与Pelletier(2007)和Goupee与 Vel(2007)提出了一种多目标优化问题，寻求单层FGM壳体/板在稳态热载荷作用下的最优材料组成，以最小化金属陶瓷或金属-金属两相复合板在稳态热载荷作用下的质量和峰值环应力。采用分层Hermite三次多项式函数(HCPF)来表示材料各相在厚度方向上的体积分数，利用Mori - Tanaka (Mori 和 Tanaka 1973)和self-consistent (Hill1965)方案来估计材料的有效性质。Tornabene和Ceruti(2013)结合一阶剪切变形理论和微分求积(DQ)方法，对四参数FGM双弯壳板进行了动静混合优化。在他们的工作中，使用了粒子群优化算法(PSOA)、蒙特卡罗算法和遗传算法三种优化方法，假定材料的性能服从幂律分布，通过壳/板的厚度方向进行。Ashjari和Khoshravan(2014)基于Reddy的精制高阶剪切变形理论(HSDT) (Reddy 1984;Reddy 和 Phan 1985)，对机械荷载作用下简支FGM板的材料分布进行单目标优化，采用分层HCPF插值法构建构件体积分数的穿透厚度分布。利用混合料的规则估计了材料的有效性能，并采用实数编码遗传算法和PSOA算法，在柔性和应力约束条件下，将梯度梯度板的重量减到最小。
除上述应用外，遗传算法（GA）还可推广到梁、板、壳的其它分析中。Maletta和Pagnotta(2004)结合遗传算法和有限元方法，利用振动试验数据识别复合材料层合板的弹性常数。Roy和Chakraborty(2009)开发了一种基于遗传算法（GA）的线性二次调节器(LQR)，用于智能纤维增强聚合物复合壳体结构的振动优化控制设计。Bruant和Proslier(2016)还将LQR用于薄轴向功能梯度梁的主动振动控制。Liew 等人.(2004)开发了一种遗传算法（GA）来设计具有表面粘结压电贴片和温度梯度的梯度功能梯度材料板的最优形状控制。Zhang 等人. (2016a)基于HSDT与GA相结合的方法，研究了具有表面粘结致动器和传感器的功能梯度碳纳米管增强复合材料(CNTRC)板的最优形状控制。Zhang等人(2016b)还提出了基于HSDT的单层CNTRC斜板临界荷载参数优化问题，在此基础上寻找CNTs的最佳取向角。对气体在各种物理问题中的应用进行了综述，如传热问题(Gosselin等人. 2009)和复合材料层合板刚度最大化问题(Potgieter和 Stander 1998)。
在这篇文章中，我们的目标是开发一种混合方法，用复杂的方法(1965年)来优化简单的，单层的，夹层的FGM板，以稳定的热负荷来最小化板内的热应力。正如我们上面所提到的，遗传算法（GA）通常用于优化FGM结构的材料成分，以增强它们的结构性能并降低在这些结构中引起的残余应力。尽管遗传算法（GA）已经证明是用于定位该全局最优区域的有效方法，但其缓慢地收敛到所全局区域中的最优解。针对目前的问题，提出了一种混合遗传算法，利用该算法对多个设计(遗传算法中的所谓的种群)进行全局寻优，同时利用该算法对一个设计(遗传算法中的所谓的染色体)进行局部寻优，该设计的全局最优解存在于邻域内，使得全局最优解的收敛速度比通常情况下更有效。
我们还将基于Reissner混合变分定理(RMVT)的有限层法(FLMs) (Wu和Li 2010,Wu和Liu2016,Wu和Ding2017)推广到目前优化分析中所涉及的简支、单层和夹层梯度材料板的热-力学耦合分析中，其中梯度材料板的材料性能被认为是温度和厚度相关的。在基于RMVT的FLMs中，FGM板被人为划分为nl层板，位移和横应力分量被认为是主要变量，并且分别在平面域和厚度方向上扩展为双傅立叶级数函数和拉格朗日多项式。采用改进的Pagano方法(Wu和Huang 2009,Wu和Lu 2009,Wu等人2008)对指定温度或上下表面热对流条件下的梯度切割板进行了传热分析(Wu和Huang 2009, Wu和Lu 2009, Wu等人2008)。本卷的体积分数的贯穿部分被认为是特定的函数分布，比如幂法则和s形的函数，以及非特定的函数分布，例如，逐层的步骤(也称为阶梯型的)和线性的线性函数。利用Mori-Tanaka方案估算了FGM板的有效材料性能。用于热电板的耦合热-机械分析的厚度方向上的主要场变量的不同阶数的基于RMVT的FLMs的精度和收敛速率通过将它们的溶液与文献中提供的精确3D值进行比较来评价。还比较了在各种最佳材料组成的FGM板中应力比峰值的最小化问题。
2 基于混合变分定理(RMVT)的有限层法(FLMs)对FGM板的热应力分析
在本节中，我们将基于RMVT的FLMs扩展到一个简支FGM板在热荷载作用下的热残余应力分析中，如图1a所示，其中板的材料性能被认为与环境温度有关。平板的平面尺寸和厚度分别为Lxtimes;Ly和h。在这个公式中，将板材人为划分为nl层，每层厚度相对于每一平面尺寸较小。一个全局笛卡尔坐标系(即x, y, zeta;坐标)放置在平板的中平面上，在每一层的中平面上放置一组局部厚度坐标 (m=1，2，3hellip;hellip;，nl)，如图1b所示。当时，每一层的厚度和平板的厚度分别为hm和h。第m层整体厚度坐标与局部厚度坐标的关系为，其中。和分别为从板的中平面到第m层的顶面和底面所测得的整体厚度坐标。
图1 a一个FGM板的结构和坐标; b局部厚度坐标和10层FGM板各层厚度
2.1材料模型
FGM板是由两相复合材料制成的，材料的性质是由各组分的体积分数通过厚度坐标来决定的，通过假设特定的函数分布，如幂律和s形分布，以及非特定的函数分布，如逐层的阶跃和逐层的线性分布。利用Mori - tanaka方案(Mori and Tanaka1973)估算了FGM板的有效材料性能，如下所示:
其中，下标c和m分别定义为陶瓷(颗粒相)和金属(基体相)材料的材料性能。Vc和Vm分别表示颗粒相和基体相材料的体积分数。B（zeta;），G（zeta;），alpha;（zeta;）和lambda;（zeta;）分别为板的体积模量、剪切模量、热膨胀系数和导热系数。Bc，Gc，alpha;c，lambda;c和Bm，Gm，alpha;m，lambda;m分别为颗粒相和基体相的材料性质。体积模量与剪切模量、杨氏模量(E)与泊松比(upsilon;)的关系为B=E/[3(1-2upsilon;)], G=E/[2(1 upsilon;)]。
设V为四个不同的函数分布在板的厚度方向上，由：
- 幂律函数分布：当zeta;0＜zeta;＜zeta;m（即-h/2＜zeta;＜h/2）时，
其中kP为幂律模型的物性梯度指数。和为平板顶部和底部表面颗粒相材料的体积分数，这样当zeta;=h/2时，，当zeta;=-h/2时，。
- s形函数分布(sigmoid)：（2b）
其中kS为sigmoid模型的材料性质的梯度指标。
- 逐层阶跃函数分布：zeta;m-1＜zeta;＜zeta;m和m=1-nl时,
其中为第m层体积分数，取其为常数，为Heaviside阶跃函数。在这个模型中，为了便于比较，作者设置了和。
（d）层状线性函数分布,当zeta;m-1＜zeta;＜zeta;m和m=1-nl时，
和代表(m - 1)和m层以及m和(m 1)层体积分数之间的接口,分别和和 颗粒相材料的体积分数在FGM板的底部和顶部表面,这样和。
2.2导热分析
在优化方案中，对稳态热负荷的FGM板块的热传导分析是根据预先设定的组分的密度分布进行的，这是由板块的温度分布决定的，然后用它来确定板块内的热应力和变形。FGM板的材料特性被认为取决于厚度坐标和温度。采用改进的Pagano方法对平板进行热传导分析，其求解过程如下。
在没有热源的情况下，板上的稳态热传导方程是这样的：
其中(k=x,y,zeta;)表示x, y,zeta;方向的热通量。
根据傅里叶定律，热通量和温度变化之间的关系是：
其中T是由室温测得的温度变化，即。此外,被定义为当前温度变量,这样。
从而得到板材热传导分析的状态空间方程为：
在板的顶部和底部表面施加的两种不同的热条件考虑如下:
- 规定的温度条件
给出了平板上下表面的温度变化：在zeta;=-h/2， (6a)
在zeta;=h/2， (6b)
(b)热对流条件
顶部和底部表面的热条件为：在zeta;=-h/2， (7a)
在zeta;=h/2 (7b)
式中和分别为平板底部和顶部表面的表面传热系数。和是施加在板的底部和顶部表面的温度变化。
上下表面规定的温度变化展开双傅里叶级数
其中、、和为半波数，其值为正整数。此外，边界处的热条件为T=0K。
热变量在平面域中也表示为双傅里叶级数，以满足边界条件，具体如下:
为了简洁起见，在本论文的后续工作中将省略双求和符号。
把方程式(8)和(9)代入到式(5)中：
式(10)用两个变量(即和)和温度、厚度相关系数同时表示两个一阶
资料编号：[5666]
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