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基于增益优化的电荷状态估计鲁棒算法
摘要—电池的充放电过程是一个典型的电化过程，可以模拟成一个动态系统。荷电状态（SoC）是一种常用的措施，以量化的电荷存储在电池的相对于其充分的能力。最近优化电池性能的努力需要更准确的SoC信息。传感器读数中的噪声使得估计更加困难，特别是在电池供电系统中，传感器的供电电压不断变化。传统的库仑计数法和扩展卡尔曼滤波法分别存在噪声积累和偏置噪声现象。处理不断增长的精度需求的传统方法是开发更复杂和完善的解决方案，通常需要特殊的模型。采用这种系统的一个关键挑战是对专业知识和基于测试的调优的固有需求。本文从自校正算法的角度探讨了一个新的维度，通过建立一个负反馈回路，提高其补偿估计误差的能力，在不增加误差积累的情况下，提供准确的SoC估计。具体的，我们提出了一种利用电池模型和具有强反馈的保守滤波器的新方法，保证了最差情况下的噪声放大最小。利用电池模型进行电流和电压信号的数据融合，进行SoC估计。为了计算出最佳的参数，我们提出了线性矩阵不等式（LMID）条件，并使用开源工具对其进行了优化求解。该方法计算量小，可用于实时计算。提供了完整的数学证明和详细的实验结果，突出了该方法相对于传统方法的优点。
索引项—状态估计、数据融合、状态反馈、充电状态、电池管理系统。
一、介绍
电动汽车、智能手机和其他消费电子产品极大地促进了电池的普遍使用。电池提供了一种有效的能源储存方式，经过仔细考虑，可以在电池周围建立环境友好的能源生态系统。电池的荷电状态估计是许多单电池和多电池应用中的一个重要问题。利用SoC的估计值，可以有效地利用单个电池，并在多电池系统中调度电池的使用，以最大化放电时间。近年来，各种优化技术被广泛应用于大型多电池的运行时间优化。一些技术利用回收的内部性质和速率放电效应，如【1】。智能算法也被应用于快速充电电池系统【2】。然而，这些方法需要通过测量SoC来获得电池当前状态的信息。由于电池电化学过程的复杂性和传感器的噪声，人们提出了许多复杂的算法来对电池进行有效的监测，如SoC【3】、健康状态（SoH）【4】，【5】，【6】和剩余使用寿命【7】。在本文中，我们提出了一种新的SoC估计方法，该方法在各类型的噪声下都能获得良好的性能，并优于常用的算法。在【8】中提出了以电压作为SoC估计基础的早期工作。虽然这项工作处理了复杂性，如滞后，它的结论是，很难估计SoC为某些电池类型，如镍金属氢化物。摘要【9】提出了一种基于模糊逻辑的SoC估计方法。在[10]中提出了一种基于复杂神经网络的方法，但它仅限于铅酸电池，需要复杂的网络设计和计算。在[11]提出了一种基于神经网络和遗传算法的串联连接模块(电池)SoC估计方法。尽管有很好的结果，但该方法相对复杂，计算量大。在[12]中，针对铅酸电池设计了一个复杂的数学模型，可以预测电池的荷电状态和剩余运行时间，误差高达10%。在[13]中提出了一种基于滑模观测器的非线性耳朵估计方法。本文还通过不同的试验对电池模型的参数进行了讨论。在[14]中提出了一个聪明的算法:它结合了(前面讨论过的)基于复杂电压的方法和库仑计数技术的加权和。在[15]-[18]中提出了一种较早的基于卡尔曼滤波的方法。在[19]-[24]中，除了一些类似的方法外，还提出了一种著名的基于扩展卡尔曼滤波(EKF)的估计算法。本文建设性地进行了估计方法的设计，并给出了详细的仿真和实验结果。然而，估计的SoC与实际SoC的比较没有提供。
计算SoC最简单的技术完全依赖于电流测量，称为库仑计数[25]。在这种方法中，电池电压完全不考虑，只使用电流。另外，一些传统的方法是基于电压信息。这是一个挑战，因为在电压测量的噪声和高度非线性的锂离子电池插座电压关系。同时，大部分区域的SoC-电压曲线是平坦的:SoC变化较大，对应的电压变化也很小，因此不能使用电压作为SoC估计的基础。然而，库仑计数法也有一个主要的缺点:由于它的相对综合性，误差不断积累，并随着时间的推移而显著增大。而且，由于它完全依赖于电流测量(完全不考虑电池电压)，它永远无法处理SoC的错误初始估计。这是我们在测量中处理噪声的同时，利用数据融合技术将电流和电压信息结合起来，得到更好的SoC估计的主要原因。
基于卡尔曼滤波的方法的主要缺点是只能处理已知的和零均值的高斯噪声;如果有偏见的噪音，结果是不准确的。在实际应用中，噪声的详细模型是不可用的，而且噪声往往不是零均值。事实上，在各种各样的应用中，噪声是非高斯[26]。测量噪声的偏差是一个经常发生的问题。正如在大多数系统中所观察到的，传感器和嵌入式控制器是由同一块电池供电的，而电池的SoC是被监控的。当电池电压随时间变化时，会产生测量偏差。随着时间的推移，电池失去了它们的存储容量(由于日历和周期老化)，它们的SoH降低，导致电池内阻的永久性变化，从而导致传感器测量的偏差。偏差的存在是在估计中要考虑的一个共同因素，它导致了鲁棒滤波器的解决，如Hinfin;，它不做任何关于噪声[27]的假设。SoC估计的问题更加复杂，因为噪声是随时间累积的:长时间的持续估计误差会导致误差急剧增加。
与现有方法相比，所建议的解决方案的一个关键优点是该算法不需要手动调优。增益计算被表述为一个优化问题，它不仅使该方法易于使用，而且保证了从输入到输出的噪声增益最小。传统的递归公式的Hinfin;滤波器也需要一个手动迭代的过程来寻找增益，如[28]所示。
该方法利用电池模型和技术参数，推导出任意电池的精确模型。准确模型的可用性使我们能够使用数据融合和估计技术来解决这个问题。我们对系统的评估设置和概述如图1a和图所示。1 b，独立地。我们提出了一种基于电池模型和鲁棒估计算法的新方法。
(a)评估设备包括电池、传感器、负载（电机）和微控制器。
（b）系统概述：完整系统的软硬件模块。
图1：整个系统的实验设置和概述。
庞大的计算量消耗是大多数嵌入式控制器的主要瓶颈。虽然复杂的解决方案可以在计算机上实现，但嵌入式系统通常只有有限的资源。传统的滤波器(如EKF和粒子滤波器)需要复杂的计算来计算每个测量周期后的增益。求解Hinfin;滤波器的传统方法也比较复杂，需要对代数里卡提方程进行递归计算。此外，系统增益是通过多次运行的命中和尝试来设置的，这可能对系统模型和运行条件很敏感。为了避免这些问题并简化计算，我们设计了Hinfin;滤波器的LMI条件，该条件可以使用开源数值优化求解程序进行优化求解，以获得最佳性能。通过离线求解LMI问题，得到最优的滤波权值，并进行实时估计，减少了运算过程中的计算量。
Hinfin;是一个保守滤波器，用来抑制最坏情况下的性能[29]，[30]。Hinfin;滤波器在不同噪声类型下的鲁棒性在文献如[31]、[32]中得到了严格的证明。我们在本文中的主要贡献有:
·提出了一种新的基于电池模型的保守滤波方法，保证了最坏情况下的噪声放大最小
·通过离线调整控制增益，减少了鲁棒SOC估计方法的计算量。为使系统增益最小，提出了基于自整定的Hinfin;滤波器最优解。
图2：电池的二阶模型
设计一个在有偏置噪声情况下性能良好的Hinfin;滤波器。在我们的评估中，提出的方法的误差小于0.32%，而EKF的误差高达2.43%，库仑计数的误差为7.72%。不同条件下不同估计方法的比较，并通过实验结果进行了验证。
在第二部分中，我们开发了电池模型并提出了估计问题。IIl部分解释了Hinfin;滤波器的设计，IV部分详细介绍了滤波器的LMI条件。实现细节见第五节，仿真和实验结果见第六节。结论见第八节。
二、问题公式化
本节简要讨论了电池模型及其表示，并提出了SoC估计的滤波问题。
A.电池模型
由于电池特别是锂离子电池的非线性特性，需要一个详细的电池模型来估计电池荷电状态。然而，建模问题在文献中被广泛研究。我们考虑了其他学者广泛使用的二阶电池模型，在[33]中提出。该模型的等效电路如图2所示。
许多技术，如使用在[34]中提出的脉冲，已被严格用于识别电池模型的参数。我们将状态向量定义为[v1 v2 SOC]。从电池中提取的电流i作为模型的输入。图2中的电路可以帮助我们将输入与状态向量联系起来，如(1)所示。
这里的电容是电池的总存储容量，单位是安培小时。同样，v1和v2分别表示通过C和C2的电压降。向量n表示系统中加入的噪声，矩阵E表示噪声与系统状态的关系。向量vn定义为[n1 no2 nsoc nvoltage]:它包含状态(U1、12和SoC)中的噪声和测量电压。
一般认为终端电压为系统输出;然而，这里有一个复杂的问题。众所周知，开路电压voc与SoC之间的关系是非线性的。电池电压可以表示为SoC的非线性函数，如式(2)所示，这种关系可以通过实验来确定:
输出电压可以写成
利用泰勒级数，忽略高阶项，可以得到线性化的输出方程，如式(4)所示:
这里F将噪声向量与观察到的输出联系起来。矩阵A、B、C和D可以从(1)和(4)中得到。为了估计，我们认为输出为估计状态z，由:
B.估计问题
独立考虑，SoC的判定有两种方法:依靠电流(库仑计数)或通过测量电压。库仑计数是一种显而易见的选择，但它会随着时间的推移而积累噪声，因此会增加与实际值的偏差。基于电压的方法由于SoC与电压的非线性关系而受到限制。另外，锂离子电池有一个平坦的电压SoC曲线，即有一个非常小的变化电压的SoC相当大的变化。这就是为什么要将电压和电流值结合起来进行估计以获得最佳结果的原因。一个典型的估计问题可以表示为(6)-(7)。这里x和y分别表示估计状态和输出。确定增益K是滤波器设计的主要目标。正如后面的章节所讨论的，EKF和Hinfin;滤波器使用不同的方法来计算K，但是它们的结构相同，如(6)-(8)所示:
三、鲁棒Hinfin;滤波器设计
Hinfin;滤波器的结构如式(6)-(8)所示。我们定义了三个错误x ̃ = xminus;xcirc;, y ̃ = yminus;ycirc;,
z ̃ = zminus;zcirc; 。因此，根据滤波方程，我们可以将误差动力学表达为:
如前所述，我们使用z ̃ 输出来评估系统对噪声vn的鲁棒性，我们考虑从v到z的L2增益。对于这个评估，只有(9)和(11)影响结果，它们可以重写为
A. Hinfin;规范模型
以x、y、w分别为状态变量、系统输出和加性噪声的系统为例，其数学方程如下:
备注1、对于式(12)中的Hinfin;问题，其形式为式(13)，式(12)中的(A - KC)、(E -KF)、G、J分别对应于式(13)中的A、B、C、D。
B.滤波方程
问题1 (Hinfin;设计)。(13)设计参数中所述的系统，其L2增益小于gamma;, i.e.，即
备注2、线性系统的L2增益等于其传递函数的Hinfin;模。它们都描述了系统对外界干扰的鲁棒性。
四、LMI条件用于Hinfin;过滤器
A.LMI的动机
理解LMI条件对Ho估计或控制的重要性是很重要的。我们很快就会发现，LMIs提供了一种灵活的理论方法来处理控制和估计问题的许多方面。数值方法的发展长期以来一直被用于求解线性矩阵不等式。然而，新的数值方法，如内点法，速度更快，效率更高，可以用来优化求解LMIs[35]。在LMI中制定问题的一个优点是，可以使用免费的开源软件找到它们的最佳解决方案。解决LMI最著名的免费工具之一是CVX，它可以在MATLAB[36]中使用。综上所述，一方面，LMIs提供了易于操作和设计的优势，另一方面，我们只需在LMIs中规划问题，然后我们可以使用高效的数值求解器来优化求解这些LMIs。
传统的Hinfin;滤波器设计问题涉及到人工寻找最优解和求解代数黎卡提方程。这可能是一个繁琐的计算，特别是考虑非线性，这是消除线性化在不同的工作点。增益K的计算如式(6)所示，由于求解Riccati方程需要大量的计算，所以每一步的计算都很复杂。另外，我们提出一个基于LMI的Hinfin;滤波器。我们可以使用数值优化来利用LMI最小化。此外，正如下面所讨论的，我们可能只找到LMI的最优解一次;这消除了在线计算成本。
B.LMI条件的推导
让我们发展这个滤波问题的LMI条件
定理1、下列矩阵不等式满足L2增益要求（14）：
证明。步骤1。注意:在(14)中定义的L2增益是积分形式，因为L2增益是在时间范围内定义的。为了证明，我们使用了基于V= aTPc定义的等价微分形式，并证明了V lt; (yuTw-y-lyy)。的条件,
对（16）两边从时间0到t积分
式（17）可改写成L2规范为
回想一下V=aT Px, Pgt; 0。因此，V(t) 0对于任意x在任意时间t，所以，
相当于
注意V(0) =aT (0) P:x(0)是一个常数。显然，通过选择(14)中的常数为V(0)，(19)已经是(14)的形式了。
步骤2。令V =aT Px，对于Pgt; 0对称。然后,
将(13)代入(20)得率
此外，通过（13），我们有
因此，
可以表示为
从而
为了保证公式始终成立，我们需要以下矩阵不等式来表示
步骤3。式（23）已经是一个合适的矩阵形式，但是我们可以使用Schur补码来使它更紧凑。利用Schur补码，我们可以证明下面的补码等价于（23）
为了证明这一点，将式（24）中的矩阵按行划分为四个块矩阵。根据舒尔公式，（24）等于
显然与（23）相同。
Hinfin;设计问题包括正则模型A和B中的K。为了看到这一点，我们把(13)的标准形式(15)中的A、B、C、D替换为(A- KC)、(E-KF)、3、J替换为(12)中的A、B、C、D
其中K,P都是未知数。通过定义一个新的变量Q＝KTP，它变成
即LMIs相对于Q,P,gamma;。
C.求解LMI
许多可用的求解器可用于寻找
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