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HVDC网络中带直流电压下降控制的VSC终端的多时间尺度稳定性分析和设计条件
摘要—本文解决了用直流电压降控制分析VSC端子的动态限制的问题。由于其快速响应，通常在电源不平衡的情况下使用直流电压下降控制来调节直流电压。为了确保VSC端子的稳定性，必须很好地区分dq电流（il，dq）和DC电压（uc）之间的动态关系。因此，下垂控制增益Ku和dq电流控制增益Kdq的选择仍然是具有挑战性的问题。首先，我们假设存在Ku和Kdq，从而可以分别对uc和il，dq施加慢速和快速动力学。然后，我们提出了一种基于动力学分离的新颖方法论，以证明这些控制增益的存在。随后，通过李雅普诺夫理论进行了详细的稳定性分析，从中得出了控制增益的必要条件和充分条件。为了验证这种方法，在MATLAB中进行了数值模拟。
引言
电压源转换器高压直流（VSCHVDC）系统因其灵活性，可控制性和效率而在当今的电网中得到了极大的推广。它们特别适合长距离电力传输，异步AC网络之间的互连，海底电缆传输系统等。为了扩大输电能力并实现多供应商和多消费者之间的电力交换，多端子高压直流输电（MTHVDC）系统的使用已越来越广泛[1]，[2]。但是，MT-HVDC系统的控制设计仍然是一个主要问题。控制方案应足够强大，以在出现小信号扰动[3]或丢失某些端子[4]的情况下使系统保持正常运行。通常，一台主控制器和本地控制器组成控制系统，其中主控制器提供信息，例如直流电压的参考值，有功无功功率，来协调当地的运行。在MT-HVDC系统中，至少一个端子负责调节DC总线电压水平，因此提出了各种控制配置，例如主从控制方案，电压裕度方法[5]。
在本文中，我们考虑了一种非常流行的控制技术，称为DC电压下降控制。它的特点是潮流的变化与直流电压的变化成正比。DC电压下降控制的主要优势在于，它基于一个预定的DC电压下降特性在调节DCbus电压时涉及多个端子，以便更多的端子分担工作。实际上，在文献[6]，[7]中已经广泛研究了直流电压下降控制的使用。
实际上，这些控制结构属于矢量电流控制家族，因为通常涉及两个回路，即内部电流（i）回路和外部回路。直流电压下降控制被视为外部环路，用于调节直流电压（uc）并为电流环路提供电流基准ilowast;。然后，提出了不同的电流环路控制器[8]，[9]，[10]，使i收敛到i*。重要的是要注意，矢量电流控制是在电流环路的动态速度比外部环路快得多的前提下得出的。因此，在设计电流控制方案时，可以忽略i＊的动力学特性。不幸的是，这一假设没有理论证明。此外，仍然不知道应该对电流和直流电压施加哪些动态限制。
本文致力于配备直流电压降控制的VSC站的稳定性和动态极限分析。基于奇异摄动理论和李雅普诺夫理论推导了选择下垂和电流控制增益的充分条件。本文的结构如下。第二节介绍了平均状态空间模型。第三节介绍了具有直流电压下降控制的矢量电流控制方案。第四部分给出了详细的稳定性分析，从中阐明了电流和直流电压的动态限制。我们还得出选择控制增益的必要条件和充分条件，并对系统进行稳态分析。第五节中的数值模拟验证了本文的理论分析。第六节得出了结论。
建模
图1描绘了连接到AC系统的VSC端子的简化配置，其中R11L1代表相电抗器，C是用于减小DC电压的纹波的DC电容器。
给出了在VSC终端的同步dq参考帧中建立的平均状态空间模型
其中vl，dq，vc，dq和il，dq分别是交流系统电压，转换器电压和通过相电抗器的电流，Mdq是被视为控制输入的调制指数，而omega;是交流系统的频率。按照惯例，如果功率从左向右流动，则ic为正，如图1所示。
注释1：由于转换器本身的物理限制，调制指数应始终满足，并且uc的操作域被限制在一个狭窄的区域，即ucisin;[umin，umax]。
注释2：在本文中，我们要研究转换器的局部行为，因此，为方便起见，我们认为所讨论的端子连接到以ic表示的受控电流源。它可以是负数（作为供应商）或正数（作为消费者）。注释3：为简单起见，选择dq参考帧，使vlq=0且vld=Vl，rms。结果，转换器交流侧的瞬时有功功率和无功功率为
三．控制结构
内部电流回路和外部回路构成矢量电流控制系统。存在用于不同控制目标的各种外部回路[12]，[13]。在本文中，控制目标是在正常工作区域内调节uc，同时使Q1遵循其参考Qlowast;1。因此，所考虑的VSC站以直流无功功率模式运行。通过求解（4），可得出q电流参考为
对于d电流参考，直接由直流电压下降控制给出
其中Ku是下降增益，ulowast;c是直流电压基准。
注释4：在本文中，参考值Qlowast;l和ulowast;c被认为是恒定的，实际上，它们是由称为辅助控制的更高级别的控制提供的。
电流环路的目的是使il，dq迅速收敛到它们的变化参考ilowast;l，dq。已经提出了不同的电流控制器[8]，[9]，[10]。在本文中，选择[14]中的常规电流控制。应用于转换器的控制信号包含传统的PI控制器和一些补偿项，例如
最后，基于（5）-（9）建立矢量电流控制方案。
备注5：注意，由于我们假设电流的动态特性要比直流电压快得多，因此在电流控制设计中忽略了ild的动态特性。将（7）-（9）替换为当前子系统会导致
其中vdq充当额外的控制输入，以调节il，dq的行为。显然，如果i*l，dq恒定或变化很慢，自治系统（10）会在i*l，dq处局部指数稳定。但是，如式（6）所示，i*ld由直流电压下降控制给出，这意味着其动态受Ku的调节。如果Ku很大，则ild将具有快速的动力学。在这种情况下，系统（10）可能变得不稳定。因此，有必要考虑ild对系统稳定性的动态影响。在下一节中，我们将研究il，d和ild的动态特性，以便VSC终端能够正常运行。
四．稳定性分析
从（6）-（10）中可以看出，i*ld和il，dq的动力学主要取决于Ku和Kdq。在本节中，我们研究了这些控制增益的可行区域。在继续之前，让我们先研究稳态条件。
稳态条件通过求解以下代数方程，可以获得系统（1）-（3）的稳态值
造成
ilq的平衡值用ilq表示，等于i*lq。考虑到实际可行性，即uisin;c[umin，umax]，Ku必须满足以下条件
条件1：
备注6：注意条件1是Ku的必要条件。显然，平衡点在很大程度上取决于下垂增益Ku和直流电压设定点ulowast;c的选择。如上一节所述，ulowast;c由次级控件提供。在本文中，u*c被认为是已知的常数参数，不用于调节ueacute;c。因此，如果希望在uc和ulowast;c之间有较小的偏差，则应该选择较大的Ku值。
动态限制和系统稳定性分析
在本节中，为了陈述主要结果，执行了两个步骤。我们首先证明存在控制增益，使得原始系统（1）-（3）可以呈现多时标行为。随后，给出了选择Ku和Kdq的充分条件，以确保该系统可以在IV-A节中的平衡点附近局部稳定。
定理1：考虑非线性系统（1）-（3）。对于任何满足条件1的Ku，存在Kmin使得对于任何Kdqgt;Kmin，所提出的控制策略（5）-（9）使系统在平衡点（ild，ilq，uc）附近稳定。而且，可以发现多时间尺度的行为，即慢和快的瞬变。证明：为证明这一主张，让我们用发达的控制律（5）-（9）代替实际系统（1）-（3）。然后我们得到以下闭环系统
其中gamma;dq（·）表示整数部分，为方便起见，我们设置Kpd=Kpq=Kd。让我们介绍一个新变量
然后，系统（15）-（17）变为
当足够小时，il，dq的导数就很大。通过在（19）和（20）中将=设置为0，il，dq迅速进入其歧管ilowast;l，dq，然后可以从直流电压子系统推导简化模型，如下所示：
备注7：简化模型（22）在其平衡点urc=uc处局部指数稳定。
由于当il，dq收敛到ilowast;l，dq时可以推导简化模型，因此它也被称为准稳态模型。ilowast;l，dq是il，dq的准稳态。可以预期，由于其简化的形式，可以通过其简化模型来近似原始直流电压系统的行为。因此，这要求il，dq在初始间隔期间收敛到ilowast;l，dq。为了更方便地分析问题，让我们介绍一些新变量：
将il，dq的准稳态转移到原点。在这些新变量中，整个系统问题变为：
tau;是引入的新时间变量，可以近似为tau;=t。在tau;时间尺度上，当前子系统表示为
变量t和u〜c被认为在tau;时间尺度上缓慢变化。设置=0会将t和uc限制为其初始值，然后将当前子系统简化为以下自治系统
这称为边界层模型。期望（32）的解在边界层间隔（tisin;[0，tb]）内可以接近原点，并且它们在将来的时间仍可以保留在原点附近（tgt;tb）当t和uc缓慢变化时。这可以实现，因为我们有注释8：边界层模型（32）在原点处指数稳定，统一在（t，u〜c）中。
通过结合注释7-8并参考[15]中的定理11.4，存在最小值使得对于任何1Kd=lt;min，翻译系统（25）-（27）在原点附近是局部渐近稳定的。这意味着系统（19）-（21）的平衡点（ild，ilq，uc）也是渐近稳定的。因此，存在Kmin=1min。这证明了结论。
备注9：根据以上证明，ild表现出两个时间尺度的行为。它以ild从初始值向i*ld的快速瞬变开始。然后，ild保持接近i*ld。最后，ild和ilowast;ld收敛到它们的平衡点ild。在模拟部分中，将清楚地说明这种两个时间尺度的行为。在以下部分中，我们将对Ku和Kd之间的关系进行进一步的研究。应用李雅普诺夫理论对Ku和Kd的可行区域进行了研究。选择李雅普诺夫函数作为
其中disin;（0，1）其中V1和V2分别来自边界层模型和简化模型。
其中。然后，可以从（25）-（27）推导V的导数
引理1：如果选择使得矩阵P为正定，则平移系统（25）-（27）渐近收敛至原点。
注释10：上述引理是显而易见的，因为正定矩阵P会导致除原点之外的负V˙。通过应用Barbalat的引理或LaSalle定理，可以证明该系统是渐近稳定的。
实际上，稍后要给出的充分条件主要基于引理1。已知，当且仅当行列式为n时，对称ntimes;n实矩阵P为正定P的所有主要主要未成年人中有积极的。因此，为了得到一个正定的P，我们必须
这两个不等式表明，如果Ku和Kd满足以下条件
条件2
系统（19）-（21）在原点处渐近稳定。
备注11：很明显，很大程度上取决于u〜c。如果期望系统在较大区域中稳定，则应将较小的值分配给Kd，即较大的值。还发现小的（大Kd）会使系统具有快速响应。但是，由于一些物理上的考虑，我们不能无限地改善系统的响应。
注释12：值得注意的是，李雅普诺夫函数V是从简化模型和边界层模型推导出来的。当Ku固定时，Kd的大值将使V迅速收敛到原点。这也意味着il，dq迅速进入其流形ilowast;l，dq。
仿真
在本节中，将提供数值模拟结果以验证理论分析和从上一节推导出的条件1-2。表I和表II分别列出了VSC终端的参数和每单位系统中使用的基本数量。
对于所有模拟，假定VSC端子连接到ic=-0.7p.u的受控电流源。次级控制提供的设定点ulowast;c和Qlowast;l设置为1p.u。和0p.u.。转换器从起始点开始（ild0=0.5p.u.，ilq0=0.1p.u.，uc0=0.95p.u.）。考虑条件1时，Ku必须大于0.2075，以确保转换器在其工作范围内起作用，即ucisin;[0.9，1.1]p.u.。在以下部分中，应用Ku=0.3。如先前的分析所示，一旦确定了Ku，就可以确定Kd。因此，根据条件2，给出Kd的可行区域，即Kdgt;985.7。为了表示理论分析得出主要结果，并进行了几种仿真方案。
情况1：我们选择Kd=23.5，Ki=221.6。显然，Kd超出了给定区域。然后等于0.043。
图2（a）和2（b）分别说明了uc和il，dq的行为。我们发现这些状态变量随时间变化。要指出的是，在这种情况下，电流控制器不能遵循由直流电压下降控制给出的参考轨迹。如（25）-（26）所示，ild的动力学可被视为对其边界层模型的扰动（32）。系统变量的差异表明电流控制器的强度不足以承受这种干扰。这也表明并非所有当前的控制器都可以分离系统动力学。
情况2：控制增益选择为Kd=36.2和Ki=340.9。在这种情况下，Kd的门槛小于985.7，等于0.028。
仿真结果显示在图5和图6中。3（a）和3（b）。所有系统变量的轨迹收敛到其平衡值。这意味着尽管Kd不满足条件2，也可以实现系统的渐近稳定性。这是正确的，因为我们的条件是从特定的Lyapunov函数派生的，它不是必要条件，而是充分条件。因此，有可能存在不满足条件2但仍确保系统稳定性的Kd。但是，系统变量的瞬态性能不好。查看图3（a）中uc的响应，在间隔tisin;（0，1.5）s内，VSC终端的工作超出其正常工作区域（[0.9，1.1]p.u.），会损坏电子设备。另一方面，系统的响应时间显示不令人满意。
情况3：满足条件2的情况下，电流控制增益选择为Kd=986和Ki=9.28times;103。在这种情况下，我们的=0.001。
il，d和uc的响应如图4所示。让我们首先关注图4（a）中ild的响应。ild的轨迹显示了两个时间尺度的行为。与从ild0=0.5p.u.开始的ild相反，其准稳态i*ld不是从相同的初始值开始，而是从i*ld0=Ku（uc0minus;u*c）开始。因此
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