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多层结构对蜂窝平面弹性性能的影响
摘要：在结构中引入层次结构被认为能改善弹性性能和损伤宽容。具体来说，就是在蜂巢中加入多层结构的子结构，而这些子结构本身就有在文献中已经提出了高密度比弹性和吸能性能。一个关于蜂窝的弹性性能和结构层次研究表明探索对一系列蜂窝通过使用有限元模拟添加六角形、三角形或正方形几何超级和子结构单元来加入层次结构的影响。描述这些几何结构关键参数包括子结构和超级结构的相对长度，质量份额在子结构和上部结构之间，蜂窝单元的协调数，形状以及功能分级的范围，以及子结构的泊松比。在大多数情况下，在蜂窝中引入多层子结构会对面内密度弹性模量产生有害影响，弹性模量通常比传统的非分层型减少40%至50%。还有更复杂的子结构，如梯度密度，可以恢复密度比弹性模量值，通过对功能梯度单元单元的精心设计，有可能超过传统单元的密度比模量，高达75%，与传统蜂窝相比，负泊松比子结构也会导致密度模量的实质性增加。
1.绪论
蜂窝通常用于轻型结构和夹层板由于其出色的密度比弹性因此，在航空航天、汽车、汽车等多个行业以及海洋和建筑业中扮演重要角色，它们还具有良好的损伤容限，因此通常在诸如撞击之类的损伤后保持功能的能力的结构角色中是至关重要的。许多天然材料在密度之间有很好的折衷特定弹性特性和损伤容限和/或韧性，其中许多似乎包含了层次结构通过制造材料或专门帮助损伤容限的事故。传统的六角形蜂窝是通过一种低成本的方法制造的，特别是在平面上与随后的六角形单元的拉伸过程。关键问题是能否改进基于多层层次的损伤容限以不损失弹性特性。本研究调查了在相同密度下向结构中添加多层结构对弹性特性的影响，特别是弹性模量。
Gibson和Ashby（1997）阐述了蜂巢行为的基本基础，并导出了表达式弹性模量和一系列其他物理性质包括蜂窝的二维和三维细胞固体，图1显示根据术语标注的两个单元。Master和Evans后来补充说，这些平面特性模型的一些需要用复杂性考虑其他变形模式，特别是拉伸，肋拱的挤压和合拢。根据弹性特性，蜂窝可以被充分描述为梁或板的集合，通常在弯曲变形，以及变形和力之间的明确关系是已知的。整个单元的弹性响应可以推导出来，由于蜂巢是由这些单元的镶嵌而成，蜂窝结构的连续弹性特性可以很好地反映其单元单元的连续弹性特性。
弯曲是平面六角蜂窝状结构的主要变形机制，具有传统的细长肋（t/llt;0.1）。在弯曲时，这种结构的弹性模量由长宽比项决定，特别是（t/l）sup3;通过弯曲梁的力学而来。值得注意的是，对于三角形单元，Deshpande已经表明变形是拉伸占主导地位，因为它们的特殊连接性意味着单个梁主要受拉伸和压缩变形。正方形几何结构以轴向拉伸为主，以弯曲为主离轴与单元结构。因此，以拉伸为主的结构对应用程序具有潜在的吸引力，尽管它们固有的更高的制造成本。有趣的是，弯曲占主导地位结构可以有更大的能量吸收，因为它们有屈服后响应比拉伸主结构（压缩）更长，后者倾向于屈服后迅速屈曲和断裂/失效/崩溃。这个蜂窝的滞弹性行为在许多方面都有很好的描述实验和模型研究。
很少有研究考察层次结构对弹性或滞弹性特性的影响。Lakes的一项此类研究（1993年）认为多层次结构的弹性特性，称为“多层次结构”，将子结构视为超结构长度尺度下的有效连续体。'一阶”层次结构在一个长度尺度上具有层次结构，例如传统蜂巢和类似的“二阶”等级结构在两个长度尺度上具有层次结构，例如，参见图2-4。该方法明确假设当考虑超级结构，子结构的长度尺度足够精细，尽管许多这样的例子似乎存在于自然，合成技术的例子似乎很少。这主要是因为当前制造业的限制技术使得很难产生足够精细的子结构,聚合物基复合材料的分子结构（纳米）和增强相（微米到毫米）都可以定制是一个明显的合成例子。Lakes（1993）认为建议采用分层蜂窝结构/材料的优点是可以用梁力学来描述它们，是不是可能具有比非分级版本更高的强度和韧性，随后可以通过实验证实。现在限制的问题是如何将子结构作为一个连续体的处理方法用于现在的工作。
Fan等人的工作（2008年），研究了蜂巢上部结构的蜂巢肋由蜂窝芯和蜂窝皮制成，即蜂窝肋它们本身就是三明治面板，见图2。密度与传统的肋骨相对较厚，具有较大的截面弯矩，并且由于肋骨主要是弯曲变形，表现出更高的密度比弹性模量。Kooistra等人也采取了类似的方法。（2007年），特别是将波纹芯插入肋部，见图2。这同样增加了密度比弹性模量，并且
在某些情况下，强度和屈曲破坏模式的数量，这可能意味着更高的应变能吸收失效。据作者所知，很少有研究考虑过将子结构放置在肋骨外部，或从肋骨中心向外分布细胞质量的很大一部分。事实上，还没有系统地探索分层蜂巢及其特性，即它们在分层层次上的几何结构。
本文通过一个参数化有限元来探索模型分析，各种层次蜂窝的面内全局性质，特别是具有更精细尺度的蜂窝蜂窝子结构。变化的参数包括上下结构的几何，不同层次的几何组合，比例质量在不同层次之间的分布，泊松不同层次的比率（特别是auxetic版本)。这个模型将这种分层蜂巢的性能与密度相似的传统非分层蜂巢进行了比较。
2.方法
在一系列有限元建模研究中，定义了描述蜂巢层次结构性质的几个参数（见以下小节），并按顺序系统地改变了这些参数的界限。二维有限元模型为每个蜂窝的单元单元及其压缩时测定的面内轴向弹性模量。注意正六边形和三角形的几何对称性的蜂巢意味着平面内的各向同性，就像方形单元蜂巢将显示出平面内的正交各向异性。因此，有关参数与弹性模量之间的关系建立。弹性模量计算为总反作用力除以投影面积（单位深度）除以施加应变为0.1%（按施加挠度除以原始单元尺寸计算）。. 在某些情况下，子结构被认为占据了单位单元，在某些情况下只有一部分。分层蜂窝的结果与传统蜂窝的结果在完全相同的密度q=0.058进行了比较，这是所有模型的常数。分层蜂巢的单位单元肋保持为实心梁，按照传统版本。只有第二级
层次结构，即一个超级和一个子结构被考虑在内，主要动机是探索实用限制。以前的理论研究考虑了更多的层次结构（Lakes，1993），对等级高于3级的层次几乎没有额外影响。
一组任意的线性和各向同性弹性常数选择并用于所有情况（特别是E=1600兆帕，G=593Mpa，m=0.35）。子结构和超结构单元使用二维Timoshenko梁单元（B21）建模，平面中的2节点线性梁，使用商业有限元（FE）分析软件包（“ABAQUS”，Dassault sysegrave;mes）。边界共享梁有半厚或半长，因此单元的对称性允许镶嵌成均匀的蜂巢。
单元子结构和超结构的最上部边缘被均匀地压缩，因此单元处于0.1%的整体应变在Odegard（2004）中描述的X1轴上，对侧单元格边缘在X1轴上被限制为零位移，但是允许在x2轴上自由移动。平行于x1轴的单元格边缘被约束为x2轴上的零位移，类似于滚筒。这些元素被施加了一个约束在对侧边缘，因此它们可以自由地向任何方向移动除了它们保持在与施加的应变平行的轴上。这些边界条件模拟蜂窝连续介质中的单轴压缩，如图3所示
子结构以类似于超级结构的方式被建模为离散结构。包含超级和子结构的示例网格如所示
图4。改变厚度tsub以确保具有不同长度lsub值的模型之间的质量一致。指定了k（分层长度比）的整数值，以便上部和下部结构单元共用肋骨。厚度子结构中的边缘共享肋为tsub/2和tsup/2as根据上层建筑，可以使用分层单元，即包含超级和子结构，因为单元的双重对称性。
初步模型已经建立用来检验边界条件、收敛性、数值精度等，以及根据已建立的此类蜂巢分析模型进行基准测试。
2.1分层长度比
将子结构作为连续体处理的问题是通过一系列模型研究了子结构向超级结构的迭代减少的相对长度。将蜂窝的总质量的任意一半分配给子结构，分层长度比lambda;定义为子结构特征长度lsub到类似长度的超级结构lsup的比。实例我们考虑了六角形和三角形的单元如图3所示。分层长度比从50%降低到2.5%lsup，即跨越超结构单元的子结构单元的数量从2到40不等。模型是用边界创建的,前面描述的情况，可以在图3中看到。
2.2质量分布
通过减小厚度tsup和增加厚度tsub，探讨了超、亚结构的质量分布比例。如前所述，建立了多层六边形和三角形蜂窝的有限元模型
lambda;=0.04，即可能近似于连续介质的精细子结构,考虑了11个离散质量比，从0.0到1.0（含），间隔为0.1。
2.3协调数
单元单元的协调数，即单元单元的数目在节点处连接的肋，在上部和下部结构中都是多样。可能的镶嵌单元细胞具有配位性数字的;6(三角形)，4(正方形)和3(六边形)。超、子结构的协调数在这里表示两个数字分别按顺序排列，如3-6(六角形)上部结构和三角形子结构)。研究了所有可能的配位数组合;3 - 3、3 - 4、3 - 6,4 - 3,4 - 4,4 - 6,6 - 3,6 - 4,6 - 6，其中一些例子是如图5所示。根据2.1节建立有限元模型和2.2。所有模型的质量分布均为0.5。
2.4功能分级
我们可以设想质量在空间中的非均匀分布子结构，相对于前面的部分。这实际上是一种功能分级，而不是在空间上变化，夹杂物的体积分数、肋的厚度是不同的。探讨这种功能分级对子结构的影响模型中创建的总层次的比例细胞质量在子结构中分布不均匀。重要的是，这使得一些子结构的质量为零也就是允许在子结构中有空隙，这与在以前的部分中，上层结构单元的空隙被子结构单元完全填满。用两个关键参数描述这些结构如下：
1远离超结构单元的范围由子结构占领 2.子、超结构间质量分布形式
质量分布在0.5、0.75、0.95和1.0之间，后者完全用子结构代替上层结构。定义了子结构的质量分数和范围厚度tsup
2.5泊松比
众所周知，蜂窝单元具有各种泊松比值，包括负值，通过创建模型数量为3-3个蜂窝状，其中内角h子结构的变化范围为-27.5 ~ 30(角度为)具有负h值的子结构具有负的泊松比来探索子结构的泊松比。模型来建立与前几节的内容。因为蜂房的密度随着h的降低，有必要改变tsub。为了确保有足够数量的子构单元安装到超结构细胞lsub也发生了改变。lsub和tsub都经过了这样的改变，以保持所有样品之间的质量不变。
3.结果
初步的模型很好地再现了在已建立的文献中看到的模式，例如关系在肋宽比和弹性模量之间。当长径比大于10 小于 5%，有限元模型似乎功能正常，而且相当准确。
第2.1节对分级长度比的研究结果：在六边形的蜂巢中，如图6所示分层蜂窝结构的杨氏模量与子结构单元的相对长度之比。杨氏模量被归一化为常规六边形蜂窝的模量同样的密度，但是是一阶的。很明显没有一个等级结构的蜂巢像第一级那样僵硬与以往传统蜂巢结构研究相比。
与六角形蜂窝的数据形成对比的是以三角形蜂窝为基础的蜂窝几乎不受相对规模的影响
子结构如图7所示。值得注意的是，三角形层次结构的蜂巢没有一个小于传统三角形蜂窝的95%弹性模量。
将质量的一定比例分配到上部和下部结构如图8所示，在3-3蜂巢比6-6蜂巢的影响更明显。有趣的是注意，6–6和3–3蜂窝的质量分布为1.0的弹性模量与密度相似，较粗，为零
的有序蜂窝，即质量分布为0.0，这与文献相符。
相似配位数和不同配位数单元的组合效果如图9所示，这些结果有点多复杂但表明，无论上部结构的协调，刚度最高的是4个协调的子结构，接下来是6次协调，然后是3次协调。在子结构或子结构中有3个配位单元的蜂巢具有较低的杨氏模量。似乎像6-6和3-3这样的表现可能有好处与其他各向异性的蜂窝相比，如果这是一个特定应用的需要，则在各向同性方面适合。
通过功能分级，使质量分布不均匀蜂窝，重要的是质量的比例分级次结构，对弹性模量有显著影响层次结构的蜂房如图10所示，这个图显示了3-3蜂窝的刚度对距离非常敏感，子结构由上部结构的肋向外延伸。如果质量分布优化，超过0.75的质量被放置在子结构中蜂窝的弹性模量可以超过弹性模量相当于一阶蜂房的1.75倍。据作者所知，这种效果似乎很新奇，对于6-6个蜂窝，这种模式几乎完全相反，见图11，最坚硬的蜂窝是质量均匀分布在远离超结构与传统三角形蜂窝的逼近.3–3和6–6蜂窝的几何结构决定了它们在平面内是各向同性的。
子结构的内部角，因此它的泊松角比，与蜂窝的弹性模量有较强而复杂的关系，见图12。可以预见，当theta; = 0时，单轴弹性模量较高，即为子结构单元是矩形的，但当theta;=-10时，结果会更高是以前从未见过的一级蜂巢。
当子结构内角如图12所示时，蜂窝结构的离轴面内模量如图13所示theta;= -10，其中超、子结构不匹配泊松比。很明显，轴上的模量（蓝色和红线）可以是传统的一阶蜂窝状结构（实心黑线）的许多倍，但区别于最大离轴载荷。调整超级和子结构之间的质量分数可以改善刚度的下降，但不是全部。值得注意的是结构是完全各向异性的，因为E（0度）不等于E（90度）。
4. 讨论
这两个结果最明显的特征都是六边形三角形的蜂巢，如图6和图7所示，是弹性的减少由超结构向子结构的质量分布引起的模量，这种的影响在六边蜂窝比三角形更为明显。由于变形六边形的超结构单元单元以弯曲为主，将其质量减半，因此肋板厚度将会降低其肋板的弯曲弹性模量，因此是原来的8倍。梁的第二弯矩取决于tsupsup3;同样，将三角形单元的质量和厚度减半(主要是在拉伸过程中变形)，可使单元的弹性模量降低一倍，二因为截面积取决于tsup。超结构在质量减半的情况下相对弹性模量为12.5%（弯曲）和50%（压缩），子结构的质量密度、几何形状和高宽比与其超结构相似的蜂窝应该具有相似的弹性模量(Gibson和Ashby, 1997)。研究超和在复合材料中作为相的子结
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