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DEA中交叉效率的极大极小公式
摘要：
在传统的交叉效率公式中，以被评价决策单元的效率得分最大化为首要目标，以其他决策单元的平均交叉效率最小(或最大)为二次目标。本文所提出的模型以最小化(或最大化)其它决策单元的最佳(或最坏)交叉效率来代替二次目标。我们证明了所提出的交叉效率公式在一定的效率评价情境下的适用性，并利用随机产生的样本数据集说明了它们如何有助于提高DEA中交叉效率评价的有用性。对于交叉效率模型的求解方法，我们提出了一种计算复杂度为多项式的二分算法。
1.引言
数据包络分析(DEA)是一种基于非参数线性规划测量多输入多输出的决策单元(DMU)相对效率的度量方法。对给定决策单元的DEA研究是基于经验观测估计有效前沿，从而区分有效单元和无效单元。对于效率低下的单元，这确定了一组可用作效率改进基准的有效单元。基本上，DEA允许各单元以最有利的方式在有限条件下选择自己的输入和输出的权重。DEA自我评价的这种性质使得在加权输入和输出时太具有灵活性，因此受到批判(Liang，Wu，Cook，amp;Zhu，2008)。为了克服DEA的这些缺点，文献中提出了交叉效率评价方法。交叉效率评价的基本目的是将DEA自我评价模式转变为同行评价模式。Doyle和Green(1994)声称，交叉效率评估至少可以用于三个目的。首先，它可以通过检测伪有效单元来对单元效率进行排序，伪有效单元通过选择不切实际的权重来达到其全部效率。第二，交叉效率评价的结果表明了被评价的决策单元为了区别于同行而应该强调或改进的优缺点。最后，基于交叉效率得分对决策单元进行聚类。同样，Liang等人(2008)注意到交叉效率评估有两个主要优势：它提供了决策单元的独特排序，并且它消除了不现实的权重方案，并且不需要从应用领域专家那里获得权重限制(Anderson、Hollingsworth和Inman，2002)。
尽管DEA方法具有上述优点，但DEA最优权重的不一致性可能会降低交叉效率评价的有效性和可靠性。为了解决这个问题，一些学者建议将二次目标纳入其中。Sexton、Silkman和Hogan(1986)首先提出用具有攻击性和仁慈性的交叉效率公式来处理非唯一性问题，Doyle和Green(1994)提出了稍微不同的二次目标函数，并表明了交叉效率评估如何用于各种目的。交叉效率的攻击公式的思想是确定最优权重，使被评估的特定DMU的效率最大化，然后使其他DMU的平均交叉效率最小。另一方面，交叉效率的仁慈公式是寻求使其他决策单元的平均交叉效率最大化的最优权重，同时保持对特定决策单元的最大效率进行评估。最近，梁等人(2008)引入了各种二次目标函数，以扩展Doyle和Green(1994)模型。
尽管交叉效率评估具有Doyle和Green(1994)所声称的一般优势，但在某些情况下即使采用上述二次目标，也无法充分发挥这些优势。攻击性和仁慈的公式都使用最小化平均值或最大化平均值类型的二次目标，因此攻击性或仁慈的态度对所有决策单元都是平等的。如第3节所述，这可能会限制Doyle和Green(1994)所声称的交叉效率评估的优势。
在本文中，我们提出了一种新的具有攻击性和仁慈性的DEA交叉效率公式，其中包含一个极大极小型或极大极小型的二次目标。它们试图确定使被评估的特定决策单元的效率得分最大化，然后使其他最佳(或最差) 决策单元的交叉效率最小化(或最大化)的最优权重。我们证明所提出的交叉效率公式比以前的方法更适合于DEA的某些应用。这里需要注意的是，本文扩展了Lim(2008)的初始工作，他开发了攻击和仁慈的交叉效率公式，并通过一些说明性的例子进一步阐述了所提出的交叉效率公式的适当性。因此，本文比以往的初步工作更为全面。
2．理论背景
2.1. DEA
当存在n个m个输入，s个输出的DMU时，通过求解Charnes、Cooper和Rhodes(1978)提出的以下线性规划模型(称为面向输入的)CCR模型，得到被评估的的相对效率得分：
s.t.
- , (1)
,
,
其中是所产生的输出r的输出量，是所利用的输入i的输入量，是所选择的输出r的权重，是所选择的输入i的权重，是正的非阿基米德无穷小。依次改变被评价的决策单元，求解n次，得到所有决策单元的相对效率得分。每个决策单元选择最大化其效率得分的输入和输出权重。一般来说，效率分数小于或等于1，如果一个DMU得分为1，它就被认为是有效的；否则，效率低下。对于每一个低效率的决策单元，DEA确定了一组相应的有效单元(这组单元称为参考集)作为改进的基准。从对偶线性规划到模型(1)可以得到基准。
2.2交叉效率
设()为在模型(1)中所选择的非最优权重，然后评价的交叉效率为:
= (2)
当评价自身时，用表示的交叉效率。模型(1)是最大化，最优目标值称为的简单效率，表示为：
= (3)
其中(*)表示模型(1)中的最优值。模型(1)可以看作是被评价的决策单元的简单效率最大化，同时保持被评价的其他决策单元的交叉效率小于或等于一。
注意，从模型(1)获得的最优权重通常不是唯一的。因此，根据使用的特定LP软件产生的最优解，(2)中定义的交叉效率是任意确定的(Despotis，2002)。了解决这一随意性问题，文献中提出了交叉效率评价的各种二次目标。Sexton等人(1986)提出了确定最优权重的模型，该模型不仅使被评估的特定决策单元的简单效率最大化，而且使其他决策单元的平均交叉效率最小或最大化。在他们的模型中，以下目标依次优化：
(i)
(ii)
在优化第二个目标(ii)时，保留了第一个目标的最优性。将二次目标最小化的模型称为攻击性公式，它寻求对被评估的决策单元最有利但对其他决策单元最不利的最优权重。相反，二次目标最大化的模型被称为仁慈公式，它寻求对被评价的决策单元和其他决策单元的平均最优权重。虽然可以根据应用环境选择更合适的公式，但我们认为，攻击的公式通常更适合多数情况，如Lim(2008)所述，特别是出于两个原因。首先，考虑到交叉效率评估的主要目的之一是通过选择不切实际的权重来检测获得统一效率得分的伪有效单元，因此攻击性公式在这方面更为有用。如果允许伪有效单元以对自己最有利的方式选择自己的权重，那么他们可能被评估为有效，但是当使用其他决策单元选择的权重进行评估时，他们很可能获得显著的低效率分数。在仁慈公式中，第二个目标是最大化被评估DMU以外的其他DMU的平均交叉效率，这种仁慈也可以使伪有效单元受益。这可能导致伪有效单元获得低交叉效率的机会有限。相反，如果使用攻击性公式，则更可能给伪有效单元更差的评价，从而导致更多的伪有效单元无效。第二个原因是，DEA不是一种衡量决策单元绝对效率的方法，而是一种衡量决策单元相对效率的方法，在大多数情况下，决策单元相互竞争，以获得更好的相对评价。在这种竞争环境下，DMU所尽可能选择对其他竞争单位不利的权重是很自然的。
另一方面，从DEA评价框架本身的角度来看，仁慈的表述更为恰当。值得注意的是，DEA的一个主要特点是，它允许单位以最有利的方式选择自己对输入和输出因子的权重。考虑到DEA的这一特点，使用仁慈的公式可能更为合适，特别是在非竞争环境中。另一种情况是，当一个高效的决策单元试图在低效的竞争对手中找出潜在的竞争对手时，这种仁慈的表述更为充分。在这种情况下，高效的决策单元更适合采取更保守的立场，并在评估竞争对手时假设最坏的情况。因此选择哪个公式取决于应用的环境。
由于二次目标涉及非线性(分数)关系，线性规划不能用于求解交叉效率的攻击和仁慈公式。为了使线性规划模型可解，Sexton等(1986)提出了一种攻击(或仁慈)模型，该模型专注于寻找一个权重束，该权重束最小化(或最大化)由n-1个决策单元。合成的DMU是通过聚合所有n-1个决策单元得到的。
为了推广Doyle和Green(1994)的模型，Liang等人(2008)引入了一些可在不同情况下应用的不同二次目标函数；最小化与理想点的总偏差，最小化最大d-效率得分，最小化平均绝对偏差。其中，最小化最大d-效率得分的目标与我们的大致相似，但在一些细节上有所不同，将在下一节中介绍。
3.交叉效率的极大极小公式
3.1推导
如上所述，Sexton(1986)等人开发的攻击性和仁慈性模型和Doyle和Green(1994)试图确定使被评估的决策单元的简单效率最大化的最佳权重，然后作为二次目标，在使用攻击模型的情况下(或使用仁慈模型的情况下最大化)使同行DMU的平均交叉效率最小。修改这种最小平均(或最大平均)方法，我们提出了新的攻击和仁慈的公式，其中二次目标是最小化(或最大化)交叉效率的最佳(或最差)同行决策单元。因为它试图最小化(或最大化)性能最好(或最差)的其他决策单元的交叉效率，所以它实际上是一个minimax(或maximin)模型。
在提出的minimax(或maximin)公式中，Sexton等人的攻击(或仁慈)模型中使用的二次目标(1986)改为：
=
Or (4)
=
我们需要注意的是，本文所提出的最大二次目标与Liang(2008年)等人提出的“最大d-无效率得分最小化”具有相似的动机。尽管他们的模型不同于我们是线性的，但它不具有单位不变性，这大大限制了模型的适用性。然而很容易证明我们的模型是统一变量的。
在上述第二目标(4)下，交叉效率通过两阶段过程计算。第一阶段采用标准DEA模型，如CCR模型。具体来说，对于任何被评估的，简单效率得分由模型(1)确定。随后，在保持第一个目标的最优性的同时，通过以下模型对第二个目标进行优化：
=(or =)
s.t.
, (5)
,
,
,
3.2讨论
正如我们在第1节中所指出的，Doyle和Green(1994)证明了交叉效率评估可用于三个目的：(1)检测伪有效单元和DMU的唯一排序，(2)识别被评估DMU的强弱点，以及(3)DMU的聚类。我们认为，所提出的minimax和maximin公式可以增强交叉效率评估的前两个好处(1)和(2)，这将在本小节中讨论。
尽管交叉效率评估有助于通过强迫决策单元同时由同行和自身进行评估来检测伪有效单元，但“最小平均”方法可能在某种程度上限制了伪有效单元检测能力，因为它只寻求不利于同行平均效率的最优权重。换言之，在“最小平均值”方法中，攻击性态度可以分散在所有同行单元上，这可能限制伪有效单元获得较低交叉效率的可能性，从而妨碍决策单元的公平排序。因此，交叉效率评估对于检测伪有效单元和决策单元排序的有效性可能会受到损害。在所提出的minimax模型中，攻击性评价的努力集中在同行单元交叉效率最高的节点上，这将有效地限制伪有效单元获得更高交叉效率的机会。
另一方面，有一种风险，攻击性模型可能会把真正有效率的单位误认为是伪有效单元，因为它从最不利的角度看待单位。尽管仁慈的公式可以减轻这种风险，但“最大平均值”方法可能会限制这种能力，因为它对所有其他单位都给予了同样的仁慈。为了防止真正高效的单位被视为伪有效单元，可以更有效地将仁爱评价的努力集中在同行中交叉效率最低的人身上；这可以通过提出的极大极小仁慈公式来实现。
很难说哪种模型是检测伪有效单元和对决策单元排序的更好选择。显然，这取决于评价环境。一种可能的替代方法是适当地结合所提出的交叉效率minimax和maximin公式，例如，平均这两个结果，见Doyle和Green(1994年，第574页)。
对于本文认为的交叉评估的第二个更为重要好处，提出的minimax攻击模型的适当性可以如下解释。首先，应该指出的是，交叉效率评估的结果揭示了被评估的决策单元应该强调和改进的强项和弱点，以便与竞争对手区分开来。当决策单元在高度竞争的环境中时，对于一个单元来说，寻求使其自身效率最高、同时使同行效率最低的投入和产出最优权重是一种非常自然的差异化策略。此外，在许多情况下，最小化表现最佳的单元的交叉效率比最小化其他单元的平均交叉效率更有效。换言之，对于一个试图将自己与竞争对手区分开来的决策单元来说，最大化自身与次优决策单元之间的效率差距比仅仅最大化自身与平均水平之间的差距更有效。最小化同行的平均交叉效率在控制(或最大化)被评估决策单元与其竞争单元之间的效率差距方面存在限制。
例如，假设有五个相互竞争的决策单元，并且一个被评估的决策单元有两个可选的最优权重，使得其效率得分是统一的。假设当使用第一组最优权重时，其他四个决策单元(由被评估的决策单元来进行评估)的交叉效率分别为1.0、0.5、0.3和0.1。当使用第二组最优权重时，假设其他四个决策单元交叉效率分别为0.6、0.5、0.5和0.4。然后，对于两个可选的最优权重集，其他四个决策单元的平均交叉效率分别为0.475和0.5。当第一个最优权值集是最小化其他四个决策单元平均交叉效率的较好选择时，第二个权值集是最大化被评估DMU和第二优DMU之间效率差距的较
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