英语原文共 20 页
具有饱和发生率的乙型肝炎模型的
动力学分析
刘丽雅
中国石油大学石油工程学院，山东青岛266580；
中国石油大学理学院，山东青岛266580
电子邮件:liuliya _1993 @hotmail.com
蒋达清
中国石油大学理学院，山东青岛266580；
阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组，沙特阿拉伯吉达
电子邮件:daqingjiang2010@hotmail.com
Tasawar HAYAT
阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组，沙特阿拉伯吉达
真纳大学数学学院45320，巴基斯坦伊斯兰堡44000
电子邮件:tahaksag@yahoo.com
Bashir AHMAD
阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组，沙特阿拉伯吉达
电子邮件:bashir_qau@yahoo.com
摘要 本文提出了一个具有饱和发病率的乙型肝炎传染病模型,研究了确定性和随机性系统的动力学行为。本文首先建立了确定性模型均衡的局部和全局稳定性条件；其次，通过构造合适的随机李雅普诺夫函数，得到了乙型肝炎存在遍历平稳分布和灭绝的充分条件。
关键词 乙型肝炎模型;李雅普诺夫函数;稳定性;平稳分布;灭绝
2010MR学科分类 34F05；60H10；92D25
1引言
乙型肝炎的防治是关系到人类健康和人民生活的重大问题[1, 2]。乙型肝炎是由乙型肝炎病毒(HBV)引起的一种传染病，可分为急性肝炎和慢性肝炎两个阶段。急性乙型肝炎是感染的前六个月，在这个阶段，感染者通常可以在几个月内康复。而慢性乙型肝炎是由病毒在体内长期存留引起的，可引起严重的健康问题，如肝功能衰竭和肝癌[3, 4]。乙肝病毒通过接触传染性血液或体液传播。它有许多具有高度传染性的传播途径。
近年来，传染病数学模型成为分析疾病流行关键因素的有力工具，为防控策略提供理论和定量依据[5-10]。许多学者在乙型肝炎传染病模型方面取得了重要进展[4, 11-13]。
本文在[14]工作的基础上，介绍了系统中处于潜伏期的宿主，急性肝炎感染者和慢性肝炎感染者。因此，将宿主人群分割为5个部分:易感人群、处于潜伏期的人群、感染急性和慢性乙肝人群、康复人群，每个部分的人数分别用表示。Capasso和Serio(1978)以及Brown和Hasibuan(1995)观察到，在人群中，感染通常是具有饱和性的。因此，我们提出了一个具有饱和发生率的确定性乙肝传染病模型，如下：
(1.1)
其中，代表人口的补充量,是处于潜伏期的患者发展成为传染性急性乙肝患者的转化率,表示从急性乙肝患者转变成为慢性乙肝患者的转化率,是从急性乙肝患者转变为康复人群的恢复率,是从慢性乙肝患者转变为康复人群的恢复率,代表自然死亡率,表示疾病死亡率,描述了乙肝疫苗接种率,而表示饱和发生率。在系统(1.1)中所涉及的参数均为正常数。
另一方面，生物种群不可避免地受到环境白噪声的影响，这是实际应用中的一个重要部分[15-22]。随机模型与确定模型相比更适用于传染病传播动力学的建模[17, 23, 24]。因此，许多流行病的随机模型得到了发展。在生物学和数学视角中，向系统中加入随机扰动的方法有很多种[25, 26]。
本文的乙型肝炎随机传染模型采用了[27]中的方法。这里考虑了与变量成比例的环境白噪声。则系统(1.1)的合理随机模拟可表示为
(1.2)
其中为标准的一维独立布朗运动，而是白噪声的强度,。其他参数与系统(1.1)中的相同。
本文组织如下。在第二节中，我们根据确定性乙型肝炎传染模型，推导出系统(1.1)的平衡点，并且证明了平衡点的稳定性。在第三节中，对于随机乙型肝炎传染模型，我们证明了系统(1.2)存在唯一的全局正解，证明了遍历平稳分布的存在性，并为乙型肝炎的灭绝建立了充分的条件。最后，我们对主要的研究结果进行了简要的总结和概括。
在本文中，设为一个完全概率空间，滤链满足一般条件（即，当包含所有P-null集时，为右连续递增的），并且是定义在完全概率空间上的。我们也可以将表示为。
2确定性系统的动力学分析
在本节中，我们将讨论确定性系统(1.1)的动力学性态。考虑到系统在现实生活中的意义，我们将研究在区域下的系统。
首先，我们证明系统(1.1)是有界的。我们假设时刻的总人口为，即。因此，我们得到了以下结果。
定理2.1 系统(1.1)的解是有界的。
证明 对关于时间求导，我们有
即
利用比较定理，我们有
其中是常数。让,
因此，系统(1.1)的解在如下区域中
在系统(1.1)中，令
基本再现数可表示为
为了得到可能的平衡点，把系统(1.1)所有方程组的右边都设定好等于零，得到如下平衡点:
且有
利用Vieta定理，我们得到如果，存在唯一的正平衡点，但如果，没有正平衡点。也就是说，如果,系统(1.1)具有唯一的无病平衡点 ，而如果，则系统(1.1)具有两个正平衡点:一个无病平衡点和一个地方病平衡点。
2.1无病平衡点的性态
在这一部分中，我们将讨论系统(1.1)的无病平衡点的稳定性。
定理2.2 当时，系统(1.1)的无病平衡点是局部渐近稳定的。而如果, 是不稳定的。
证明 的局部稳定性是由Jacobian矩阵决定的
矩阵的特征方程为:
(2.1)
其中
(2.1)具有两个负实部的特征值和。因此，我们只需要考虑剩下的三个特征值，剩下的三个特征值可由下式得到，
(2.2)
根据Routh-Hurwitz准则[28]，当且仅当且时，(2.2)的特征值具有负实部。显然，当且仅当时，有且。而当时，(2.1)具有正特征值和负特征值，这说明是不稳定的。
这就完成了证明。
定理2.3 如果，则系统(1.1)的无病平衡点是全局渐近稳定的。
证明 定义 为
的时间导数是
对于有,也即。而且当且仅当。因此，根据LaSalles不变原理[29]，无病平衡点是全局渐近稳定的。证毕。
备注2.4 定理2.2和2.3表明，如果，乙肝疾病将会消失。
2.2地方病平衡点的性态
在这一部分中，我们将讨论系统(1.1)的地方病平衡点的稳定性。
定理2.5 如果，则系统(1.1)的地方病平衡点是局部渐近稳定的。
证明 在处，Jacobian矩阵的形式为
并给出了的五个特征值之一
的其他四个特征值是下式的根
(2.3)
其中
根据Routh-Hurwitz准则，(2.3)的特征值具有负实部当且仅当和。当时，利用,通过直接计算，我们可以推出和。因此，如果，是局部渐近稳定的。证毕。
定理2.6 如果，则系统(1.1)的地方病平衡点是全局渐近稳定的。
证明 定义为
因为
我们发现的时间导数是
因为当时，,所以有
对于, 有。我们还可以得到当且仅当。因此，根据LaSalles不变原理，地方病平衡点是全局渐近稳定的。证毕。
备注2.7 定理2.5和2.6表明，如果，乙肝疾病将在人群中流行并持续。
3随机性系统的动力学分析
这里我们首先介绍下随机微分方程的一些基本理论。
一般情况下，考虑d维随机微分方程，对于，有
(3.1)
初始值为。表示定义在完全概率空间上的一个n维标准布朗运动。用表示在上定义的所有非负函数的集合，这些非负函数在上二阶连续可微，在上一阶连续可微。
式(3.1)的微分算子由[30]定义
如果作用于函数，那么
其中。由伊藤公式[30]，如果,那么
研究一个随机传染病模型的动力学，首先它需要存在一个全局正解。以下结论是关于模型全局正解的存在唯一性的研究。
定理3.1 对于任意初值，在上系统(1.2)存在唯一的正解，且解保持在中。
证明 因为系统(1.2)的系数满足局部Lipschitz条件,那么，在上,对于任意给定的初始值，系统(1.2)几乎肯定有唯一的局部解，其中是爆炸时间[31]。因此,我们只需要证明当时几乎肯定表明这个解是全局的。令足够大，使得都位于区间内。对于任意整数，定义停止时间:
在本文中，我们设定(像往常一样表示空集)。显然,当时，是递增的。设,由此几乎肯定。很容易证明几乎确定时意味着几乎确定,且对于任意,几乎确定。接下来,要完成证明我们只需证明几乎确定。
如果这个断言不成立,则存在一对常数和,使得。因此有一个整数对于任意的，有
(3.2)
定义一个二阶连续可微函数为
利用伊藤公式，我们有
其中
其中是一个合适的常数，它独立于和。
因此，
(3.3)
对于时，令并且由(3.2),有。注意到对每一个,和中至少有一个等于或,因此不小于
或
所以，
又由(3.2)和(3.3)可得
其中是的指标函数。令得到矛盾。所以我们必有几乎确定。证毕。
在考虑传染病模型时，我们感兴趣的是该疾病何时在人群中流行并在多长时间内会被根除。
3.1平稳分布和遍历性
在确定性模型中，我们可以通过证明地方病平衡点是全局渐近稳定的来得到持续性。但对于随机系统，不存在地方病平
资料编号：[5615]
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