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自走式农业机械的概念驾驶室悬挂系统
第一章节：线性数学模型的开发
J.De Temmerman;K.Deprez;J.Anthonis;H.Ramon
农业工程与经济学的发展，K.U. Leuven, Kasteelpark Arenberg 30, B-3001 Leuven, Belgium;
通讯作者的电子邮件：jeroen.detemmerman@agr.kuleuven.ac.be
（2004年2月13日收到； 2004年8月18日以修订版接受； 2004年11月2日在线发布）
农业机械驾驶员在工作期间会受到低频振动的影响。地面的起伏程度，器械较长的工作时间，农业机械的前进速度和驾驶员的坐姿都是导致驾驶员背部承受压力的关键因素。悬架系统的开发是为了减少健康风险和对驾驶员的不适，并使驾驶员能够以更快的速度工作。悬架系统使驾驶员尽可能免受机械振动的影响。 对悬架系统的运动进行建模有助于获得对这些悬架动态特性的了解，并有助于设计。本文基于拉格朗日方程，开发了具有六个自由度的自走式农业机械的驾驶室悬架的线性模型。该模型考虑了悬架的动能以及在驾驶室悬架上执行的虚拟功。通过将模型的行为与针对不同振动信号的实验测试台的行为进行比较，可以成为验证驾驶室悬架的模型。
2004 Silsoe研究所 版权所有
Elsevier Ltd出版
1.介绍
农业机械产生的低频振动可能非常严重，这取决于农业机械横穿的地形和行进速度。 较长的操作时间和始终坐在农业机械上的相同位置也会造成机械驾驶员背部受伤。
道路不平整和场地不平整所引起的05至100Hz的低频振动被认为是造成背部问题的最重要风险因素（Griffin，1990; Hostens＆Ramon，2003）。
背部最敏感的频率在垂直方向上为4至8Hz，在水平方向上为1至2Hz（Griffin，1990）。 农用车辆的主要频率在此范围内，如果不使用适当的悬架系统，则机器驾驶员可能会遭受剧烈振动。建议尽量减少振动暴露，因为这有助于减少农业机械驾驶员背部的下背部疼痛和伤害（Lings＆Leboeuf-Yde，1999）。因此，农业机械的制造商生产悬架以限制振动暴露的水平（Choi＆Han，2003）。
悬架设计主要考虑四个方面：轮胎，车架，驾驶室和座椅。本文着重于开发一种用于自走式农业机械的驾驶室悬架模型。驾驶室通常使用两种系统。两种橡胶块均用于将驾驶室与车辆隔离；或者，使用低频机械悬挂系统。橡胶块和机械悬架在每个悬架系统中充当弹簧阻尼器，从而限制了振动对农业机械驱动器的影响。具有四点悬挂的低频系统是减少三个线性方向上振动的最有效的类型（Lines等人，1995）。在这项研究中，对四点机械悬挂系统进行了建模。
符号
状态空间模式的系数矩阵
拉格朗日方程的虚拟功矩阵
状态空间模型的系数矩阵
内部全部虚拟功的刚度矩阵
内部线性空气弹簧沿其中心轴变形期间的刚度矩阵
寄生弹簧的刚度矩阵和阻尼力
虚拟工作中的静态平衡矩阵，由重力执行
内部总虚功的阻尼矩阵
内部线性空气弹簧沿其中心轴变形期间的阻尼矩阵
寄生弹簧的阻尼矩阵和阻尼力
在Y方向上驾驶室悬架的特征距离
状态空间模型的系数矩阵
Ci第i个空气弹簧的线性阻尼
第i个空气弹簧的第j个平移方向的扭转阻尼
Cs状态空间模型的阻尼矩阵
D状态空间模型的系数矩阵
d/dt关于时间的空间模型常导数
g重力加速度
G向量之间的传递函数矩阵和向量
在Z方向上驾驶室悬架的特征距离
和向量之间的传递函数矩阵
和向量之间的传递函数矩阵
和向量之间的传递函数矩阵
相对于围绕X轴的质心的惯性矩
相对于围绕Y轴的质心的惯性矩
相对于围绕Z轴的质心的惯性矩
第i个空气弹簧的线性刚度
第i个空气弹簧在第j个平移方向上的扭转刚度
状态空间模型的刚度矩阵
驾驶室悬架在X方向上的特征距离，
在时间t处第i个空气弹簧的长度
的一阶导数
静止时第i个空气弹簧的长度
的转置偏导数
m驾驶室悬挂质量
状态空间模型的质量矩阵
独立拉格朗日广义坐标的向量
独立拉格朗日广义坐标q的向量的一阶导数
独立拉格朗日广义坐标q的向量的二阶导数
的转置偏导数
从参考轴系统的原点（0X，0Y，0Z）到悬架质心的向量
（转置）0r1的一阶导数
0r1的偏导数
t时间，秒
T驾驶室悬架的动能
u状态空间模型的输入向量
V空气弹簧的垂直长度，m
Wr内部虚拟工作总量的扰动分布矩阵
线性空气弹簧沿其中心轴变形时的扰动分布矩阵
w广义扰动输入的向量
wxi广义扰动输入的矢量激励输入到X方向的驾驶室悬架
wyi广义扰动输入的矢量激励输入到Y方向的驾驶室悬架
wzi广义扰动输入的矢量激励输入到Z方向的驾驶室悬架
寄生弹簧的扰动分布矩阵和阻尼力
状态空间模型的扰动分布矩阵
全部虚拟功的偏导数
外部虚拟功的偏导数，由重力执行
由四个空气弹簧在沿其中心轴变形时执行的内部总虚功的偏导数
内部虚功的偏导数，在沿空气弹簧中心轴变形期间作用于第i个空气弹簧
内部总虚功的偏导数，由寄生弹簧和阻尼力执行
内部虚功的偏导数，由第i个空气弹簧j的第j个方向上的寄生弹簧和阻尼力执行
x沿1X轴的平移自由度
状态空间模型的状态
的一阶导数
参考轴系统
以悬架质心为原点的轴
y沿Y轴的平移自由度
状态空间模型的输出向量
z沿Z轴的平移自由度
第i个空气弹簧的初始状态与实际状态之间的角度矢量
的一阶导数
的转置偏导数
空气弹簧静态变形矢量
绕Z轴的旋转自由度
的一阶导数
绕Y轴的旋转自由度
的一阶导数
绕X轴的旋转自由度
的一阶导数
空气弹簧与Z轴的夹角
空气弹簧在XY平面上的投影与Y轴之间的夹角
微分算子
驾驶室悬架的验证基于一个由四个空气弹簧组成的实验测试台，该空气弹簧支撑代表驾驶室的钢板（图1）。 弹簧在三个方向上都是柔性的，因此它们可以在每个振动方向上平移和旋转。
图1.实验测试台架，代表了自行式农业机械的驾驶室悬架
2. 得出联合收割机驾驶室的线性运动方程的程序
描述联合收割机驾驶室运动方程的方法可以基于拉格朗日方程（Ramon＆De Baerdemaeker，1996）：
其中：是驾驶室悬架在J中的动能；是独立的拉格朗日广义坐标的向量；是独立的拉格朗日广义坐标的向量的一阶导数;是虚拟功矩阵；是以秒为单位的时间。运算符用于普通导数，而运算符用于偏导数。
对于线性时不变系统，动能不是拉格朗日广义坐标的函数的函数；仅其派生（Ramon＆De Baerdemaeker，1996年）。基于此，等式（1）简化为
推导运动方程的过程开始于确定质量m（单位：kg），质量中心，转动惯量Ixx； Iyy和Izz相对于质心和驾驶室悬架的自由度的单位为kgm2（Haug，1989；Ramon＆DeBaerdemaeker，1996；Shabana，1989；Wittenburg，1977）。 这些自由度被转换为独立的拉格朗日广义坐标的向量。
模型试验台由四个空气弹簧组成，分别以线性刚度ki和阻尼Ci进行建模，其方向如图2所示。阻尼Ci可以看作是固有阻尼，典型的是空气弹簧。下标i表示第i个空气弹簧的特性。悬架的特征距离以m为单位命名为l1，l2，b1，b2，h1和h2，悬架的第i个空气弹簧的激励输入用wxi表示； wyi和wzi，符号V表示空气弹簧的垂直长度（以m为单位）。悬架包含六个自由度：沿三个轴的三个平移自由度
由x，y和z表示的X，Y和Z，以及围绕这些轴的三个旋转自由度，由，和给出。
图2.驾驶室悬架的示意图：X，Y和Z，参考轴系统；，和为旋转自由度l1，l2，b1和b2，h1和h2为以原点为悬架系统质心的轴系统X，Y和Z的特征距离; x，y和z为沿轴的平移自由度； V是空气弹簧的垂直长度； ki和Ci，表示第i个空气弹簧的线性刚度和阻尼；表示空气弹簧与Z轴之间的角度；空气弹簧在XY平面上的投影与Y轴之间的夹角
wxi，wxi和wxi分别为沿X，Y和Z方向输入到驾驶室悬架的激励。
2.1联合驾驶室的动能
如果悬架沿X轴，Y轴和Z轴平移并围绕这三个轴旋转，并且当0r1表示从轴系统的原点（0X，0Y，0Z）到悬架质心的向量时（（X，Y，Z）的原点），带悬架的驾驶室的动能可以表示为
其中：,和是角旋转的一阶导数,也分别称为围绕X轴，Y轴和Z轴的角速； 是向量的（转置）一阶导数。对于线性系统，可以表示为具有分量x，y，z，的独立拉格朗日广义坐标q的向量的线性函数（Anthonis等，2003）。这些函数的一阶导数是
其中：和是传递函数矩阵。 这样，对于线性时不变系统，动能可以写成的二次函数
2.2由不同力量完成的虚拟工作
一种机制仅在受到一个或多个力的情况下才会表现出动态行为。这些力量分为内力和外力。为了计算由悬架在驾驶室主体上执行的虚拟功，必须确定悬架产生的力。这些力是沿着空气弹簧中心轴的内部空气弹簧力，寄生弹簧和空气弹簧的阻尼力以及外部重力。
2.2.1由空气弹簧沿其中心轴变形期间执行的虚拟功
由线性空气弹簧执行的虚拟工作由Ramon和De Baerdemaeker（1996）表示为
其中：是在时间t处第i个空气弹簧的长度；是静止时第Ti空气弹簧的长度；是的转置偏导数; 是第i个空气弹簧静态变形的向量；是作用在J中第i个空气弹簧上的虚拟功的偏导数。上标r表示作用在机构上的内部空气弹簧力，在这种情况下，机舱和下标i表示第i个线性空气弹簧。向量 可以根据独立的拉格朗日广义坐标的向量及其导数和激励输入向量w来编写和； 它包含每个方向上的输入激励，从而使空气弹簧沿中心轴变形而产生的总虚功变为
其中：1表示线性空气弹簧的刚度矩阵；2是线性空气弹簧的阻尼矩阵；是空气弹簧的扰动分布矩阵；是的转置偏导数；是由四个线性空气弹簧执行的总虚拟功的偏导数。
2.2.2由寄生弹簧和空气弹簧的阻尼力执行的虚拟功
除了空气弹簧沿中心轴线的变形之外，空气弹簧还分别具有围绕其中心轴线的寄生扭转刚度和弯曲刚度，所述寄生扭转和弯曲刚度分别围绕其垂直于中心轴线的平面中的轴线。由于空气弹簧的非理想行为，存在一些阻尼，可以通过线性阻尼特性来近似。这些寄生效应是通过将空气弹簧直接连接到驾驶室和车辆底部而引入的。为避免这些寄生效应，应通过球形接头将空气弹簧连接至车辆和驾驶室的底座。但是，如图2所示的测试装置将处于不稳定的平衡状态。即使是很小的干扰，也会迫使驾驶室处于“悬挂”位置，而不是在空气弹簧上处于“站立”位置。
通过考虑空气弹簧的初始状态和实际状态之间的夹角来计算由寄生弹簧和阻尼效应完成的虚拟功:
其中，表示第i个空气弹簧的第一初始状态和实际状态之间的角度矢量；是的一阶导数；是的转置偏导数；是第i个弹簧阻尼器在第j个方向上的扭转刚度；是第i个弹簧阻尼器在第j个方向上的扭转阻尼；是虚拟功的偏导数，由第i个空气弹簧的第j个方向上的寄生弹簧和阻尼力执行。这些角位移 和可以写为独立的拉格朗日广义坐标的矢量及其导数和输入矢量w的线性函数，从而由寄生弹簧和阻尼力执行的总虚功变为
其中：表示寄生弹簧的刚度矩阵和阻尼力；是寄生弹簧的阻尼矩阵和阻尼力； 是寄生弹簧和阻尼力的扰动分布矩阵；是总虚功的偏导数，由寄生弹簧和阻尼力执行。
2.2.3由重力执行的虚拟功
作用在联合收割机驾驶室上的重力仅是悬架质量m和重力加速度g的函数。由重力执行的虚拟功表示为
其中：1是静态平衡矩阵；是的偏导数；是总虚拟功的偏导数，由重力执行。上标e是指所考虑的外部重力。由于1矩阵不能写为拉格朗日广义坐标q的向量的线性函数（De Temmerman，2003年），因此它对动力学模型没有贡献，而仅影响静态平衡。但是，与线性刚度和扭转刚度的影响相比，引力对整体虚拟功的影响（即单独虚拟功的总和）可以忽略不计。
2.3联合驾驶室的运动方程
联合驾驶室的动能和虚拟功的表达式包含拉格朗日方程等式（1）所需的所有因素。拉格朗日方程的左侧部分是通过将动能微分为，然后将其推导到时间t来找到的：
其中：是的二阶导数：拉格朗日方程的右边部分是通过计算悬架的总虚功找到的。虚拟作品总数是上述三个虚拟作品的总和。然后，总虚拟功可以写成广义坐标和矩阵B[等式(1）]的转置向量变化的线性函数。
其中：表示整个内部虚拟功的扰动分布矩阵；是虚拟工作总量的偏导数。方括号之间的系数代
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