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粒子群优化算法分析
摘要
粒子群优化是一种启发式全局优化方法，也是一种基于群体智能的优化算法。它来源于对鸟和鱼群运动行为的研究。该算法实现简单，需要调整的粒子数少，应用广泛，发展迅速。介绍了粒子群算法原理的主要思想，总结了粒子群算法的优点和不足。最后介绍了PSO的几种改进版本和研究现状，并对未来的研究方向进行了展望。
关键词：粒子群优化算法、群智能、启发式
1.引言
粒子群优化是1995年由Kennedy博士和E berhart博士提出的一种启发式全局优化方法（Kennedy J，Eberhart R，1995；Eberhart R，Kennedy J，1995），它是在群体智能的基础上发展起来的，是基于鸟群和鱼群运动行为的研究。在找到可以找到食物的地方之前，这些鸟要么分散在一起，要么一起寻找食物。当鸟类从一个地方到另一个地方寻找食物时，总有一些鸟能很灵敏地闻到食物的味道，也就是说，鸟类能发现哪里可以找到食物，他们拥有着更好的食物资源信息。这是由于鸟类在从一个地方到另一个地方寻找食物的过程中，他们无时无刻传递着信息，尤其是好信息。多亏这些好信息，鸟类最终会聚集在拥有食物的地方。就粒子群优化算法而言，解群就好比鸟群，鸟群从一个地方移动到另一个地方就相当于解群的发展，好的信息就相当于最优解，食物资源相当于全局最优解。在粒子群优化算法中的最优解可通过个体间的协作得到。将粒子视为没有质量和体积的单独个体，还有将每个粒子调整为简单的行为模式，都是为了显示粒子群的整体复杂性。该算法可用于求解复杂的优化问题。该算法具有算法简单、易于实现等优点，可广泛应用于函数优化、模型分类、机器学习、神经网络训练、信号处理、模糊系统控制、自适应控制等领域（郑建超，洁静，崔志华，2004，中国）
2.基础的粒子群优化算法
在基础的粒子群优化算法中，粒子群由n个粒子组成，每个粒子的位置代表了D维空间中的可能解。粒子根据以下三个原则改变其状态：
- 保持其自身惯性
- 根据自己的最优位置改变状态
- 根据群的最优位置改变状态
粒子群中每个粒子的位置既受自己运动过程中的最优位置（个体经验）影响，也受其周围最优位置（周围经验）影响。当整个粒子群围绕在粒子周围时，环境最优位置等于全局最优位置，这种算法称为整体粒子群优化算法。如果在算法中使用了较窄的环境，则该算法称为部分PSO算法。每个粒子都可以通过其当前的速度和位置、个体最优位置和环境最优位置来显示。在部分粒子群算法中，每个粒子的速度和位置根据以下等式变化（Shi Y，Eberhart R C，1998）：
在这个等式中，和分别代表粒子“i”在其“k”次处的速度和其在d维中的位置解；代表单个“i”在其“k”次最优位置处的d维解。是群体最优位置的d维解。为了避免粒子远离搜索空间，在每个方向上创建的粒子的速度限制在-vdmax和vdmax之间。如果vdmax的个数太大，则远离最优解，如果vdmax的个数太小，则解是局部最优解；c1和c2代表加速数，调节移动到全局最优解和个体最优解的长度。如果数值太小，粒子可能远离目标地区，如果数值太大，粒子可能会突然飞到目标地区或飞过目标区域。c1和c2的适当数值可以控制粒子的飞行速度，从而得到非全局最优解。通常，c1等于c2，它们等于2；r1和r2表示随机虚构数，0-1是随机数。在局部粒子群优化算法中，每个粒子都会追踪其周围最优粒子，以调节其速度和位置，而不影响群中的最优粒子。形式上，粒子速度和位置的计算公式与整体粒子群算法中的公式完全相同。
3.基本粒子群优化算法的优缺分析
基本粒子群优化算法的优点：
- 粒子群算法是基于智能的。它可以应用于科学研究和工程应用
- PSO算法没有重叠和变异计算。寻优速度受控于粒子速度。在迭代中，只有最优粒子才能将信息传递给其他粒子，进化的速度非常快
- 粒子群优化算法计算简单。与其他进化算法相比，它具有更大的优化能力，且易于实现
- 粒子群算法采用实际数值，直接由求解结果决定。维数等于解的常数
基本粒子群优化算法的缺点：
（1） 这种方法容易受到部分最优解的影响，导致其速度和方向的调节不太准确
（2） 这种方法不能解决散射和优化问题（陈永刚，杨凤杰，孙吉吉，2006，中国）
（3） 该方法不能解决非坐标系问题，如能量场的解和粒子在能量场中的运动规律
4.粒子群优化算法的研究现状
PSO算法是基于群体智能的。对它的研究才刚刚起步。与遗传算法（GA）和模拟退火算法（SA）相比，PSO没有系统的计算方法，也没有明确的数学基础。目前，该方法只能成功地应用于进化神经网络方面，其其它应用仍在探索中。国内有关PSO的研究主要集中在数学基础和应用研究上。数学基础包括粒子群算法本身的力学原理、收敛性和鲁棒性证明等。在公开发表的文献中，关于其数学基础研究的文献较少。目前还没有关于PSO算法收敛性的证明和收敛速度的估计，这就需要进一步完善PSO算法的研究，其应用研究需要继续发挥PSO算法的优势，克服PSO算法的不足，拓展PSO算法的应用范围。对粒子群优化算法的研究主要集中在以下几个方面：将一些现代技术应用到粒子群优化算法中，设计出改进后的粒子群优化算法；将粒子群优化算法与其他智能优化方法相结合，设计出几种复合优化方法；将粒子群优化算法引入散射系统、复合优化系统、非坐标系统中研究其算法的应用范围。
5.粒子群优化算法的改进
5.1惯性权重
惯性权重由Shi等人提出（Eberhart R C，Shi Y，1998；Eberhart R C，Shi Y，2000）。惯性权重omega;是与上次速度有关的比例因子，速度变化公式如下：
历史速度对当前速度的影响可以通过惯性权重来控制。omega;越大，PSO对整体的搜索能力越大，omega;越小，PSO对局部的搜索能力越大。一般情况下，omega;等于1，因此在迭代几次之后，缺乏对局部的搜索能力。实验结果表明，当omega;在0.8～1.2之间时，粒子群算法具有最大的收敛速度。在实验过程中，将omega;限制在0.9到0.4之间线性下降，使得粒子群优化算法能够在初始阶段寻找更大的空间，并在存在最优解的地方快速定位。随着omega;的减小，粒子的速度也会减慢，以寻找精细的部分。该方法加快了收敛速度，改进了粒子群算法的功能。当需要求解的问题非常复杂时，该方法使得PSO在经过几次迭代后的后期对整体的搜索能力不足，无法找到全局最优解，因此可以利用惯性权重来求解。
5.2增加收敛因子
本文介绍了一种带收敛剂的粒子群优化算法（clec M，1999），其位置和速度的变化公式如下：
称为收敛因子，。一般来说，等于4.1，所以等于0.729。实验结果表明，与带惯性权值的粒子群优化算法相比，带收敛剂的粒子群优化算法具有更快的收敛速度。实际上，当确定适当的omega;、和时，两种计算方法是相同的。因此，具有收敛代理的粒子群优化算法可以作为具有惯性权重的粒子群优化算法的一个特例。同时，在算法中适当选取参数可以提高算法的性能。
5.3选拔
Angeline提出的复合粒子群优化算法是基于计算机发展过程中产生的基本机制和选拔机制（Angeline P J，1999）。由于POS在搜索过程中对pbest和gbest的依赖性，使得搜索区域受到很大的限制。选拔机制的引入将逐步解决这一问题。测试结果表明，虽然在大多数被测函数中，选择比基础PSO（basic PSO）算法有更好的效果，但就Griewank函数而言，结果并不令人满意。结果表明，该方法提高了粒子群算法对局部区域的搜索能力，同时降低了对整个区域的搜索能力
5.4粒子群算法与其它智能算法的融合
高颖基于基本粒子群算法提出的粒子群算法的主要过程依赖于基础PSO（basic PSO）的主要过程（高颖，谢胜利，2004）。为了引入模拟退火算法（SA），采用混合粒子群算法中的混合算法和变异粒子群算法中的变异算法对优化后的粒子群进行进一步的调整。Angeline引入了选择粒子，并将每一代选出的更好的粒子复制到下一代中，以确保粒子群具有更好的性能。该算法对单峰函数有较好的效果。Higash（Higashi N，Iba H，2003）等人提出了自己的变异算法。通过引入变异粒子，算法避开了局部区域中优化点的吸引，提高了整个区域的搜索能力。ACO受意大利Colorni和Dorigo（Colorni A，Dorigo M，Maniezzo V，et al，1991；Dorigo M，Maniezzo V，Colorni A，1996）蚂蚁搜索食物的行为模式启发，提出了另一种智能优化算法amp;蚁群优化算法。该算法在研究蚁群搜索食物行为的基础上，模拟了虚拟蚁群的协作行为。多个蚂蚁的行为将解的路径组合在一起，通过在路径中留下和交换信息来寻找更精确的解，从而实现优化。段海斌（段海斌，2005）对蚁群算法作了进一步的探索。
6.粒子群优化算法的研究现状与展望
粒子群优化是一种基于群体智能的启发式优化方法。与其他算法相比，该方法简单易行，所需参数少，得到了充分的发展。然而，对粒子群优化算法的研究还处于起步阶段，还有很多问题有待解决。
PSO的研究主要集中在以下几个方面：
（1） 算法的数学基础理论
虽然PSO的应用已经被证明是有效的，但其理论基础是相当薄弱的。clec和Kennedy（clec M，Kennedy J，2002）从数学的角度对该方法的收敛性进行了分析，通过分析条件传递矩阵的稳定性，找到了粒子能够稳定运动的限制条件。在此基础上，柏格对其作了进一步的分析。Lebesgue和Borel从测量空间的角度探讨了伤亡对粒子轨迹的影响，并分析了收敛性。然而，关于收敛性和收敛速度还没有数学证明。PSO的最优解在理论上是无法保证的。
（2） 粒子群的拓扑结构
研究具有较好功能的新型粒子群的拓扑结构。不同粒子群的邻接拓扑是基于对不同实际的模拟。选择合适的拓扑结构，使粒子群算法具有最佳的性能，并对不同拓扑结构的适用范围进行研究，对算法的使用和推广具有重要意义。
（3） 与其他智能优化算法的融合
将PSO算法与其它智能优化算法相结合，就是将PSO算法的优点与其它智能优化算法的优点相结合，形成具有实用价值的复合算法。
例如，粒子群优化算法可以通过模拟退火算法（SA）进行改进，它可以与遗传算法、蚁群算法、vague算法等联系起来。
（4） 开发算法的实际应用领域
在实际应用中可以看出效果。虽然PSO算法已经得到了广泛的应用，但进一步探索PSO算法的发展方向具有重要意义。目前，对粒子群优化算法的研究大多针对坐标系。
虽然在实际应用中，粒子群算法主要应用于非坐标系、散乱系统和复合优化系统，但在这些系统中的应用研究较少。
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