英语原文共 27 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
整数计算的发展策略
很多人把计算能力看作是小学阶段数学知识的标志，虽然这个看法与事实相差甚远，但事实上，整数计算能力的问题确实是小学课程中非常重要的组成部分，尤其是在一年级到六年级。
最适合的方法不是单一的减法（或者任何操作），而应该是随着数字和上下文的变化而灵活变化的方法。根据《标准》的说法，这个问题已经不再是“知道如何减三位数'的问题；而是随着时间的推移，分类灵活技能的发展，包括心理计算能力的发展，这将会在现实生活中最好的服务于学生。
你很有可能没有这些技能，但你可以获得它们。在学习他们的时候运用他们。为自己配备一系列灵活的计算策略。
伟大的想法
1.灵活的计算方法包括用各种各样的方法拆分和组合数字。大多数的数字区分都是基于位值或者“兼容的”数字即容易协同工作的数对，例如25和75。
2.“发明性”策略是随着数字和情况的变化而变化的灵活的计算策略。成功地运用这些策略需要使用者理解它们，即术语invented。
3.灵活的计算方法需要对运算和运算性质有很好的理解，尤其是乘法的交换律和分配律。加法与减法、加法与乘法、乘法与除法，这些运算是如何关联起来的也是一个重要的因素。
4.随着时间的发展而发展的传统算法是计算的明智的策略。每一种算法都是基于一次对一个数值执行操作，并转换到相邻的位置（交换或者重新组合）。传统算法倾向于让我们从数字的角度而不是数字组合成的合数的角度去思考。这些算法适用于所有的数字，但通常不是最有效或最有用的计算方法。
内容连接
灵活计算是建立在前三章的思想基础之上的。灵活的计算方法，特别是心理计算方法，允许人们在每一个涉及数字的数学领域中更有效地推理。
1.操作意义和事实掌握（第9章和第10章）：孩子们可以并且应该在理解操作的过程中探索使用多位数的上下文问题。没有事实依据，学生在任何努力的计算中，都将处于严重不利的地位。此外，许多用于掌握事实依据的策略和数字概念可以被扩展到计算当中。
2.位置值（第11章）：位置值不仅仅是计算的基础，学生也可以通过找到自己的计算方法来促进位置值的理解
3.估算（第13章）：估算包括在计算中替换“美好的”数字，以便新的计算可以在心理完成或者用最少的努力。
走向计算流畅
随着当今科技的发展，用手工进行冗长的计算需求基本上已经消失了。1957年的一项研究发现，在计算器普遍使用之前，成年人用纸笔进行计算的方法只完成他们计算结果的25%（Wandt和Brown 在 Northcote 和 McIntosh，1999）。我们现在都知道，有很多种计算方法，可以在心里被处理，也可以用纸笔的帮助下进行处理。在大多数日常情况下，这些计算的代替策略更容易也更快，通常可以在心理上被完成，并且对我们整体的数感有帮助。传统的算法（计算程序）没有这些好处。
思考以下问题。
玛丽的相册可以放114张照片。到目前为止，她已经放了89张照片在相册里。在她的相册放满之前，她还能放多少张照片？
暂停并反思：尝试用一些学校没有教过的方法来解决相册的问题。如果你想从9和4开始，尝试一种不同的方法。你能在心理上完成它吗？你能用多种方法完成吗？在继续往下读之前，先解决这个问题。
以下是小学生用来解决相册问题的方法中的其中四个：
89 11=100，11 14=25
90 10=100，14 是24 1（89，不是90）是25
拿走14个，再拿走11个，或者一共拿走25个
89，99，109（那是20）110，111，112，113，114（保留在手指上的轨道）是25
这些可以在心理上完成的策略，比传统的算法要简单得多，并且对使用者来说很有意义。每天，学生和大人都会采用传统的、容易出错的策略，然而其他更有意义的方法会更快、更不容易出错。大量计算方法的灵活使用是成功的日常生活的重要工具。是时候拓宽我们对计算意义的视野了。
表格12.1列举了三种常见的计算类型。在指导下，初始的、低效的直接建模的方法可以发展成为学生发明的各种各样的灵活有用的策略。如图所示，尽管没有专门针对心理计算发明的特殊方式，这些方法中的多数都可以在心理上处理。传统的纸笔算法仍然存在于主流课程之中。但至少应该考虑到对它们的重视。
表格12.1 三种计算策略的类型
NCTM：“与基本事实同样重要的是计算流畅性----拥有并使用高效准确的计算方式。流畅性可以表现在使用心理策略与纸上的简短笔记相结合，或者使用纸笔相结合的方法，尤其是当数字很大时，以快速得出正确的结果。不管是用什么特殊方法，学生都应该能够解释他们的方法，理解多种方法的存在，并且能够看到有效正确通用方法的有用性。”
直接建模
通常，在发明策略之前的发展步骤被称作直接建模：使用操纵或绘图以及计算来直接表示运算或者story问题的方法。图12.2提供了一种使用基数10材料的例子，但通常情况下学生会使用简单的计数器并按1计数。
那些总是按一位数数的学生很可能还没有形成基数10的分组概念。但这并不意味着他们不应该继续解决涉及两位数的问题。当你和这些学生一起共工作时，建议（不要强迫）他们在计数时把计数器按10分组。有些学生会用十根棍子作为计数的工具，即使他们在一根一根的数，他们也会一直数到十根。
使用直接建模方法的学生将很快把他们的想法转化成不需要依赖材料或者计算的方法。直接建模阶段提供了必要的思想背景。这些发展策略也很重要，因为他们为那些还没有准备好接受更有效方法的学生提供了一种方法，来探索与那些已经超过本阶段的同学的相同的问题。重要的是不要过早地迫使学生放弃操纵地方法。
图12.2
学生发明的策略
Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema和 Empson (1998) 指的是除了传统算法之外的任何策略，或者不涉及物理材料的使用或作为一种发明策略的计数。我们也将使用这个术语，尽管个人和灵活的策略同样适用。有时，在思想被探索、被使用和被理解后，发明的策略就变成了心理方法。例如，75 19在心理上做起来并不难（75 20是95，减1是94）.对于847 256，一些学生可能会写下中间步骤来帮助他们在解题时记忆。（你自己试试）在课堂上，随着策略的发展，一些书面的支持将常被鼓励。思考的书面记录更容易共享，并帮助学生专注于想法。书面的、部分书面的和心理的区别并不重要，尤其是在发展过程中。
在过去20年里，许多研究项目把注意力集中在学生在没有被教授特定算法或策略的情况下如何处理计算状况上。“越来越多的证据表明，校内外的孩子可以在没有明确指示的情况下构造加减法”（Cenpenter和al，1998，第4页）支持学生构建有用的乘法和除法方法的数据也被收集了（Baek，2006；Fosnot和Dolk，2001；Kamii和Dominick，1997；Schifter、Bastable和Russell，1999）.
并不是所有的学生都发明了自己的策略。有班级成员发明的策略被分享、被探索并且被其他人尝试。但是，不应该被允许在不理解的情况下使用任何策略（Campbell、Rowan和Suarez，1998）.
与传统算法形成对比，学生发明的算法策略和传统算法之间有很大的区别。
1.发明的策略是数字导向的，而不是数位导向的。例如，一个发明的68乘7的策略从7乘60开始是420，再多56是476。第一个乘积是7乘以60，而不是传统算法中的数字6。用传统的45 32算法，孩子们只会想到4 3，而绝不会想到40 30。传统算法的长期改革者Kamii声称这些算法“让人无法接受”（Kamii和Dominick，1998）。
2.发明的策略是左撇子而不是右撇子。发明的策略是从最大的数字开始的，这些数字由最左边的数字表示。对于26times;47，发明的策略将从20times;40等于800开始，只需要一步就提供了最终答案的大小。传统算法从7times;6等于42开始。通过从数位方向的右侧开始，传统方法可能会隐藏结果直到结束。长除法除外。
3.发明的策略是灵活的，而不是“一种正确的方法”。为了使计算更简便，发明的策略往往会随着涉及到的数字的变化而变化。在心理分别试一下：465 230和526 98.你用了相同的方法吗？传统算法建议对所有的问题都使用相同的方法。7000-25的传统算法通常会导致学生的错误，然而心理策略却相对简单。
学生发明的策略的好处
发明的策略的发展带来的不仅仅是计算能力。这些策略的发展以及其经常使用有着难以忽视的积极效益。
1.学生犯的错误更少了。研究表明，使用他们理解了的策略学生比不理解策略的学生犯的错误少得多（Gravemeujer和van Galen，2003；Kamii和Dominick，1997）。经过几十年来传统算法的良好意图，许多不理解概念的学生支持他们。这些学生不仅会犯错误，而且这些错误往往是系统性的，难以纠正。发明的策略的错误很少发生，并且几乎没有系统性。
2.较少的再教育是必要的。老师们经常抱怨学生早期采用的替换策略是缓慢且费时的。但是这些早期阶段耗时的斗争，产生了有意义的宪法，并且很好地融入了一个强大而持久的想法网络。发展时间的增加可以用重新教学和补救需求的显著减少来弥补。
3.学生发展数字意识。“计算不仅仅是产生答案的一种途径，他越来越被看作是揭示数字系统深层结构的一扇窗户”（NRC，2001，第182页）。学生发展和使用数字导向的灵活的算法，给他们提供给了对数字系统的丰富理解。相反，频繁使用传统算法的却不能解释它们为什么有效（Carroll和Porter，1997）。这种没有理由的规定没什么好处。
4.发明的策略是心理计算和估算的基础。当发明的策略成为计算的标准时，就不需要再教其他方法，甚至不需要把心理计算当作一项单独的技能来讨论了。通常，那些被教导记录他们发明策略的想法或者写下中间步骤的学生，会问是否真的有需要这样写，因为他们发现可以在心理更有效地完成这些步骤。计算评估确实涉及到一套独立的技能；灵活的、以数字为导向的策略的发展在这些技能的大多数中起着重要的作用（NRC，2001）。
5.灵活的方法通常比传统策略更快。考虑64times;8的乘积。一个简单的发明策略可能涉及60times;8=480和8times;4=32。480和32的总和是500加上12，即512。与传统算法的多个步骤相比，这很容易在心理上完成，甚至可以通过一些记录来完成，所需要的时间页少得多。与使用传统算法的人相比，那些熟练使用发明的策略的人将持续更快地进行加法和减法的计算。
6.算法发明的本身就是一个非常重要的“做数学”的过程。发明了一种计算策略的学生或者从同学那里采用了一种策略的学生，都会密切地参与到理解数学的过程之中，并对自己的能力产生信心。这种程序的发展是一个经常被小学生忽视的过程。通过参与这方面的数学，一个显著不同和有价值的“做数学”的观点开放给了儿童。
除了这些好处，越来越多的证据表明，与那些被传授传统算法的学生相比，学生的计算能力并没有受到影响。使用基于项目标准的从学校系统收集的数据显示，这些学生在理解和解决问题方面始终优于传统项目的学生。在多位数计算领域，大多数研究发现，以标准为基础的学生要么与传统程序的学生持平，要么超过他们（Fuson，2003）。荷兰的学生没有被教授使用传统方法，他们表现得至少和美国的学生一样好（Gravemeijer和van Galen，2003；Torrence，2003）。
心理计算
心理计算就是认识被发明出来的、在心理上完成的策略。一个学生的心理策略可能会需要另一个学生的支持。最初，学生不应该被要求进行心理计算，因为这可能会威胁到那些还没有形成合理的发明策略或者仍处于建模阶段的学生。与此同时，你可能会对学生（和你自己）的心算能力感到惊讶。
用自己的方法试试这个例子：
342 153 418
暂停并反思：对于刚刚显示的加法任务，试试这个方法：首先将百位相加，并在进行到300、400和八百时表示总数。然后依次把十位加起来，最后加个位。试试吧。
当计算有点复杂时，挑战将更有趣，而且通常有更多的选择。对于7times;28，标准列出了解决方案的三条路径，但至少还有两种（NCTM，2000，第152页）。你能找到几种方法？
当你的学生变得更熟练时，他们可以也应该不时地接受挑战，在心理进行计算。不要期望所有学生的技能都一样。
传统算法
除了调查之外，所有的商业课程都教授传统算法。一个世纪的传统给加上来自家庭的压力，至少是我们不要愿意放弃这些方法的部分原因。其他争论通常围绕着效率和与数字共同作用的方法的需要。对于加法和减法，人们很容易反驳说，充分理解和充分实践发明的策略是远远不够的。然而，像486times;372这样的计算使用所发明的策略进行计算肯定是困难的。但是这些计算应该用计算来完成吗？
无论人们对发明策略的兴趣如何浓厚，也无论反对传统算法的论据多么有说服力，很少有教师能够放弃传统的方法。
延迟！延迟！延迟！学生不太可能发明传统的算法。你需要向他们介绍并且解释每种算法，并帮助他们理解这些算法是如何工作以及为何工作的。不论你是如何小心地将这些作为另一种代替方法的算法引入课堂，学生都可能觉得“这是真的方法”或“正确的方法”，从而去计算。一旦以传统的方法开始，就很难建议学生学习其他方法。请注意，通过从左边而不是从右边开始计算，以及从整数而不是数位的角度进行思考，这对你来说是多么困
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[409994]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
