mathematical induction and explanation | 681
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5
Many thanks to the editor for helpful comments.
Mathematical induction and explanation
ALAN BAKER
Marc Lange (2009) sets out to offer a lsquo;neat argument that proofs by math-
ematical induction are generally not explanatoryrsquo;, and to do so without
appealing to any lsquo;controversial premissesrsquo; (2009: 203). The issue of the ex-
planatory status of inductive proofs is an interesting one, and one about
which – as Lange points out – there are sharply diverging views in the phil-
osophy of mathematics literature. It may be that Lange is correct in his
Analysis Vol 70 | Number 4 | October 2010 | pp. 681–689 doi:10.1093/analys/anq074
szlig; The Author 2010. Published by Oxford University Press on behalf of The Analysis Trust.
All rights reserved. For Permissions, please email: journals.permissions@oxfordjournals.org
682 | alan baker
verdict that proofs by mathematical induction lack explanatory power.
However, I think that his argument to this conclusion is too quick.
Langersquo;s core argument may be reconstructed as follows:
(1) Assume that a particular proof by mathematical induction of some
general result, 8nP(n), is explanatory.
(2) Thus the basis step, P(1), of the inductive proof partly explains
8nP(n).
(3) Typically a proof by mathematical induction that starts from n frac14; 1 can
also be proved by going lsquo;upwards and downwardsrsquo; from any other
arbitrarily selected n frac14; k. For example, an inductive proof of 8nP(n)
can usually be formulated whose basis step is P(5).
(4) There is no difference between the explanatoriness of a P(1)-based
inductive proof of 8nP(n) and a P(5)-based inductive proof of
8nP(n). So P(5) also partly explains 8nP(n).
(5) Since P(1) partly explains 8nP(n), in particular it partly explains P(m),
for any m 6frac14; 1. Similarly, since P(5) partly explains 8nP(n), in par-
ticular it partly explains P(m), for any m 6frac14; 5.
(6) Hence P(1) partly explains P(5), and P(5) partly explains P(1).
(7) This explanatory circularity refutes the initial assumption, (1), that the
inductive proof of 8nP(n) is explanatory.
(8) Hence no proofs by mathematical induction are explanatory.
1. Assessing the argument
Langersquo;s argument, which has the form of a reductio, depends on the
condition (appealed to in step (7)) that mathematical explanations cannot
run in a circle. In other words it cannot be the case, for two mathematical
facts A and B, both that A explains B and that B explains A. I have
some doubts about the inevitability of this condition, especially since
Langersquo;s argument is formulated in terms of partial explanation, but I shall
not pursue them here. Instead I shall focus on what I take to be both
the most central and the most problematic step in the above argument,
step (4), which claims that a standard inductive proof of 8nP(n) (with
basis case n frac14; 1) and an alternative inductive proof that proceeds
lsquo;upwards and downwardsrsquo; from some other base case (such as n frac14; 5) must
be regarded as equally explanatory. Schematically, the two kinds of proof
run as follows:
P1P
P(1)-based proof
For any property P:
if P(1), and
for any natural number k, if P(k), then P(k thorn; 1),
then for any natural number, n, P(n).
mathematical induction and explanation | 683
P5P
P(5)-based proof
For any property P:
if P(5), and
for any natural number k, if P(k), then P(kthorn;1), and
for any natural number k gt; 1, if P(k), then P(k – 1),
then for any natural number, n, P(n).
In comparing these two examples, Lange makes the following assertion:
If the proofs by mathematical induction are explanatory, then the very
similar proofs by the lsquo;upwards and downwards from 5rsquo; rule are equally
explanatory. There is nothing to distinguish them, except where they
start. (2009: 209)
Clearly Lange does not think that there are literally no differences between
the two kinds of proof. One obvious difference is that P1P involves verifying
the base case P(1), while P5P involves verifying P(5). A second, equally
obvious difference is that P5P includes a lsquo;downwardrsquo; induction step that
P1P lacks. The real issue is whether either of these differences has any impli-
cations for the relative explanatory power of these proofs. In other words, do
these differences make a difference? In the next section, I shall survey some
potential candidates for such a difference-maker.
2. Inductive proofs compared
(i)
P5P is longer than P1P
The combined effect of the two differences mentioned above is to make the
P5P proof lon
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数学归纳与解释
参考
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沃瑟曼，R. 2002.对标准账户标准异议。研究111：197–216。
非常感谢编辑那些有帮助的评论
数学归纳和解释
艾伦·贝克
Marc Lange（2009）提出，通过数学归纳法证明的数学一般不解释论证“整洁”的论点，在没有任何争议的前提下并这样做 (2009: 203). 归纳证明的前解释地位的问题是一个有趣的问题，和一个关于–兰格指出–有尖锐的分歧在菲尔-数学文献的重要性。
这可能是兰格在他的分析卷70 | 4号|十月2010 |页681–689 DOI正确：10.1093/analys/anq074szlig;作者2010。牛津大学出版社出版代表分析信托。保留所有权利。权限，请电邮：journals.permissions@oxfordjournals.org的判决书，用数学归纳法证明缺乏解释力。然而，我认为他的论证这个结论太快。
兰格的核心论点可以重构如下：
结论用数学归纳法证明缺乏解释力。然而，我认为他的论证这个结论太快。兰格的核心论点可以重构如下：
（1）假设一些一般结果的数学归纳法证明一个特定的，8np（N）。
（2）这样的基础步骤，的归纳证明，部分解释了8np（N）。
（3）通常的数学归纳法证明，从Nfrac14;1也可以通过“向上和向下的从任何其他任意选择Nfrac14;K为例证明，对8np归纳证明（N）通常可以制定的基础步骤是。
（4）有一个-基于8np归纳证明（n）和P（5）的8np归纳证明（N）。所以，P（5）也部分解释了8np（N）。
（5）由于在一定程度上解释了8np（N），特别是它部分解释了P（M），一米6frac14;1。同样，由于在一定程度上解释了8np（N），PAR特别它部分解释了P（M），一米6frac14;5。
（6）因此，在一定程度上解释了，在一定程度上解释了。
（7）这一解释圆驳斥了初始假设，这8np归纳证明（N）是解释。
（8）因此没有证明用数学归纳法解释。
1。评估论证兰格的说法，它有一个合理的形式，取决于条件（步骤（7）），数学解释不能没有说服力。换句话说，它不能的情况下，两个事件A和B，说明B和B解释B这种情况的必然性有些怀疑，特别是因为兰格的说法是在部分解释条件的，但在这里我不追究。相反，我将重点放在我认为是最核心、最有问题的步骤，在上述的论点，步骤（4），认为标准的归纳证明8np（N）（Nfrac14;基础案例1）和另一种归纳证明收益的向上和向下的其他一些基本情况（如Nfrac14;5）必须被视为同样的解释。这两种证明如下：P1P 为基础的任何证明：如果对于， 成立，和任何自然数k，如果成立，那么P（kthorn;1）也成立，那么对于任何自然数n，都成立。
P5P 为基础的任何证明：如果P成立，对于任何自然数k，如果也成立，那么P（kthorn;1），和任何自然数都成立，如果成立，那么，然后对于任何自然数n，都成立。在比较这两个例子中，兰格提出以下主张：如果用数学归纳法证明的解释，然后通过“上5”的规则下同样解释的非常相似的证据。没有什么区别，除非他们开始。（2009：209）显然兰格并不认为字面上有两种证明之间没有差异。一个明显的区别是，P1P涉及验证基础的情况下，成立，而P5P涉及验证成立。第二，同样明显的区别是，P5P包括“向下”归纳步骤，P1P缺乏。真正的问题是是否这些差异有意义的的解释力。换句话说，这些差异是否有差别？在下一节中，我将调查这种差异制造者一些潜在的问题。
2。归纳证明相比P5P比P1P上述差异的综合效果是使P5P证明比P1P对应更长。（这是真实的例子，兰格的重点，涉及的前N个自然数的和等于N的定理证明（Nthorn;1）/ 2，并且一般是真的除了偶尔的情况下，验证其实比验证短的多。）兰格承认两个证据之间的对比度，但对其意义，写作“不再争论会证明P一样有效的参数用数学归纳法（N）对任何自然数n（2009：207–8）。这种反应似乎错过一点，因为“有效性证明的一个给定的结果取决于证据而不是其过程长度。然而，它似乎认为本身–长度换句话说，符号–数量没有特别的相关性（缺乏）明要。因此，这不是一个相关的差异之间的两个证明。
（ii）P5P功能比P1P另一方面，P5P比P1P更复杂，除了含有更多的符号，是它有更多的部分。证明包括证明条件，但除了P5P有递推归纳步骤。为了描述这种复杂性的最好方法是什么？一个想法是把它作为一种功能的复杂性：P5P证明条件比P1P多”。要将复杂的证明的一种方法是通过一些版本的奥卡姆剃刀。奥卡姆剃刀给信用标准配方，勉强的定性理论，换句话说。在目前的情况下，考虑三分之一种归纳证明的N（Nthorn;1）/ 2的结果进行验证的情况下，和分开，然后证明所有的向上归纳步骤。这证明有四个部分，一个以上的P5P的证明。然而，事实证明它只有两种部件，即基础的情况下，向上归纳步骤，因此，许多案例证明定性比P5P更简洁。关键概念和部分的不明确的数学问题。类比可以从科学和形而上学，但它并不总是很清楚该怎么做合适。因此，这是值得研究的替代方式来套现的证据如P5P多部分性质的影响。
（iii）P5P比P1P也许P5P条件是不能舍去的，在这种情况下，两个证明的主要区别是，P5P更准确，从各种来源的证据，这是从数学的实践证明，例如当数学语音计算机证明的某些方面的不满。因此通过阿佩尔和哈肯的四色定理的原始证明是由一些数学家的批评因为证明的核心涉及通过几千例（使用计算机程序），因此它没有提供一个令人满意的解释，为什么结果是真的。也有支持的直觉。例如，经过前98甚至大于2的数字和验证都可以表示为两个素数之和明显的计数作为命题“所有的偶数都小于200满足哥德巴赫猜想的一个完全可以接受的证明。”同样清楚，然而，这并不能解释为什么这个命题是真的。
最后，有从哲学文献支持。这种支持来自解释的一般模型，如柯/弗里德曼模型连接解释统一因此看到分裂方面的分离计数对明。和支持也来自解释数学更具体的分析。事实上兰格本人，在兰格，即将开发的概念和界定数学巧合的巧合是真实的，因为他们缺乏数学解释缺乏统一的证明。
- 极小的最好的方式来了解一个给定的证明是属于不同的子例数为该域划分的证明。值得注意的是，即使标准归纳证明如P1P是析取在某种程度上，由于基地的情况总是在域中的所有其他案件的不同处理。一个潜在的问题，因此，以突出显示为P1P和P5P证据之间的关键区别在于解释相关P1P也析取。这似乎支持兰格的说法，即使是“标准”归纳证明是不解释。不过值得一提的是，我们在这里的第一个实例是兰格的具体主张，没有选择解释聪明P1P和P5P之间；兰格的主张，如前面引用的，就是没有合理的方式来维护，P1P是解释而P5P不。反思表明至少有两方面否认这一说法，依靠数学解释不同背景模型。一个模型是赢家通吃的模型。根据这个模型，不同的证明一个给定的结果可能会有所不同，沿一个或多个解释相关的参数，但只有证明，具有最好的组合的解释美德计数作为真正的解释。如果是这样的直径一杆，根据赢家通吃的模式，P1P是解释性的而不是因为P1P P5P，越少的两个证明和析取P5P没有补偿解释的优点。虽然它允许两个证据之间的区别可以得出，赢家通吃的模式是开放的，它不是忠实于实际的数学实践的评定。例如，数学家通常只把一个给定定理最具解释性的证明看作是一个真实的解释吗？
1s贝克2009也在同一个偶然的数学真理观的精神帐户。
2analogous批评已经提出关于科学解释的最后统一模型。
第二个模型的阈值模型。根据这一模型，当且仅当它达到一定阈值的明性证明的解释。如果这个门槛调用，它可能证明有三个或更多的析取无法解释。P5P超过这个阈值，而P1P不，因此只有P1P是解释。然而值得注意的是，兰格可能会这样回应这种分析称这里的门槛本身是任意的，没有动力，因此，这种方法不应该被视为“合理”。如果一个人要带阈值的方法，那么为什么不，例如，治疗两析取作为门槛（这是在兰格兰格的首选方法）？潜在的困难与上述模型，至少在目前情况下，这是我们的目标是制定一个绝对的结论（即，P1P是解释而P5P不）从比较的差异（即，P1P比P5P不分隔）。这表明，P1P的关键特征是，它是不是比P5P少析取是–在一定意义上，需要精确的–最小析取。为了充实这个思想，这将有助于从极小的一般定义。定义：证明一个定理，X，P，是最小的，相对于一些大家庭的证明，F，如果X的每一部分都是目前其他证明（F）使用这一概念的极小的P（这是绝对的，没有比较的支柱产业），我们可以制定P1P和P5P，之间四分之一的差异如下：（四）P1P是最小的，对8npn归纳证明中，并不是最小的P5P
我们已经注意到，P1P只有两个基本部分：基本情况下，一个向上的归纳步骤。这非常重要，因为每一个归纳证明包括这些种类的部分。换句话说，每一个归纳证明至少需要一个基础的情况下，每个归纳证明至少需要一个向上的归纳步骤。P5P，相比之下，有一部分–向下归纳步骤–不是共同所有的归纳证明。因此，P1P是最小的，而P5P不。区分P1P P5P在极小的基础上从一个反对理由是，而有些基础的情况下，向上归纳步骤是所有归纳证明，这些以P1P不是特别形式。换句话说，并非每一个归纳证明包括基Nfrac14;1例（例如P5P证明不）。而并非每一个归纳证明有一个向上的归纳步骤，按照步骤1（例如，在3节的末尾提到的归纳证明）。这不是破坏企图用极小的保护，例如，要求的Nfrac14;1基本情况部分解释了为什么P1P证明P（N）是真正的所有N？
有趣的是，事实证明，有一种甚至连这些特定功能的P1P证明极小的一般性质。关键的一点是，虽然基地Nfrac14;1例，或向上归纳步骤1大小，不是每个归纳证明的要求，每个都是归纳证明是最低要求。假设，例如，8np归纳证明（N）已基Nfrac14;2例，但Nfrac14;1没有基础的情况下。证明必须包含一个向上的步步诱导，以覆盖的情况下，n＞2，但它也需要一个向下的步步诱导，覆盖情况下nfrac14;1。因此，这个证明是不是最小的，因为它包含了两种归纳步骤。类似的观点认为，归纳步骤。假设一个归纳证明作为一个（单）向上归纳步骤，按照步骤2。如果它还只有一个基地的情况下，Nfrac14;1，然后证明只有奇数盖。为了推广到所有的自然数，证明还需要一个基础的情况下，Nfrac14;2。这样的证明是不小。（一般情况下，M基地的情况下将一个中型归纳步骤。需要）的结果是，不仅是P1P证明最小，在上面定义的意义，但它在归纳证明是唯一最小。为8np归纳证明的唯一途径（n）只有两部分是它有基Nfrac14;1和1号的一个向上的归纳步骤案例。在此基础上归纳形成其他每一个变化都会有一些基本情况和一些-沃德归纳步骤，但这一切的选择会有其他多余的部分。3什么方法称为强大的感应（或完全归纳、或课程价值感应）？兰格包括他的调查变异强烈的感应，并设置如下：
对于任何属性：如果成立和任何自然数，如果和和。..，然后成立，然后为任何自然数，成立。（2009：208）（然而，在强归纳模式中，将基本情况列为单独的假设是没有必要的）。换句话说，上面的模式可以按如下步骤单步执行：对于任何属性：如果对于任何自然数k，如果和和。..成立，然后成立，然后为任何自然数，也成立。此外，它可以表明，任何结果证明可使用普通感应也可以证明使用强感应。因此，乍一看这3对不同形式的归纳证明了有益的讨论，参见Hafner和Mancosu 2005：21–2
那么强的感应破坏声称普通异步使用P1P基本情况是最小的，强烈的感应让从没有基础的情况下，一个新的证明。我认为还是有可能为P1P证明极小。要知道为什么，请注意，即使成立基本不需要单独列出，它仍然必须证明分别在归纳步骤的上下文。这是因为Nfrac14;1、对初始条件的先行性的归纳步骤是必要的：适用于所有的因为没有这样的情况。因此，这个条件是成立的，需要检查成立。做完这些，你可以去证明的条件为英国所有其他值因此，尽管最初的表现，强烈的感应不需要证明的基本情况：它该-这证明一样作为一个单独的证明归纳步骤组成。因此，普通感应模式，P1P极小，可以保持。怎么可能极小与明？有一种观点是认为这是类似于一个经常被引用的条件对科学的解释，即这种解释引用仅是给出的解释项-达姆相关因素。例如，有这样一个事实：给定样本的盐放在六水不能算一个真正的理由来解释为什么盐不解决。为什么不呢？因为水已经被变形的是盐的行为无关。一个不相干的因素的一点是，它是多余的：给定的线（假定的）的解释，可以重新用了它。所以也有非最小的证据的某些特征。例如在P5P，向下步步诱导，不到8np归纳证明必不可少的（N）。这似乎是一个很好的理由认为P5P不解释。
4。结论兰格的论文是没有归纳证明可以解释，在解释循环的痛苦。一个给定的结果任何标准的归纳证明可以通过各种改性的归纳证明进行向上和向下的不同基础情况归纳步骤的镜像。兰格的论文是基于索赔的标准归纳证明和它的竞争对手都是我在看齐。我的回应兰格已经表明一些特点的基础上，一个标准的归纳证明和其他竞争对手之间的所谓证据解释对称被打破了。两个最有前途的这种特征，首先，证明标准是比它的竞争对手，不分隔，其
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