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强非局域非线性介质中的厄密-高斯呼吸子和孤子
摘要：基于Snyder–Mitchell模型在直角坐标系下，得到了强非局部非线性介质中的精确解析解-厄密-高斯孤子解。将解析解与非局域非线性薛定谔方程数值模拟结果进行比较，结果表明，在强非局域情况下解析解与数值模拟结果吻合较好。此外，我们证明了HG函数可以用pi;的相位差的高斯函数在适当的条件下线性叠加。
1. 引言
众所周知，非局域非线性介质中的光空间孤子因其在光子开关[1]、全光开关和逻辑选通[2]以及异源信号处理[3]等方面具有丰富的应用潜力，近年来备受关注[1 - 30]。光学空间孤子是通过衍射和非线性之间的平衡而存在的自捕获光束。当衍射和非线性之间的平衡被打破时，光束就变成了呼吸子。利用非局域非线性薛定谔方程(NNLSE)来模拟光束在非局域非线性介质中的传播[1,4,5]。Snyder和Mitchell[1]将NNLSE简化为一个线性模型，称为Snyder - Mitchell模型[31]，在强非局域情况下，他们发现了一个精确的高斯形状的固定解，称为accessible solitons 。随后，Assanto的团队观察了向列相液晶(NLC)[6,7]中的accessible solitons，称为向列相[3]，他们从理论上和实验上证明了[6]是强非局域非线性材料之一。最近，郭旗研究小组利用泰勒展开法，发现了强非局域非线性介质(SNNM)中具有对称实空间响应函数的NNLSE的一种新的近似模型;他们得到了高斯呼吸子的精确解和高斯孤子与它的局部对应相当大的相位偏移[8-10]。
在局部非线性介质中，由于相位相反的波瓣之间存在自然斥力，使得复杂形式的孤子不能自导。在非局域非线性介质中，非局域性使得克服非相位亮孤子[11 - 16,32]和相位暗孤子[17]之间的斥力成为可能，这种斥力可以形成一维环境下观察到的束缚态[13,18]。McLaughlin等人预测NLC可以维持高阶模式孤子，他们通过数值模拟[19]得到了几个高阶模式解。然后，Hutsebaut等人通过实验证明了高阶模孤子在NLC[13]中稳定地运动。Xu等人研究了非局域非线性介质中多极孤子的稳定性问题。Rotschild等人提出了SNNM中标量多极孤子的实验观察。Buccoliero等人提出了非局域非线性介质中的Laguerre和Hermite孤子簇。然而，据我们所知，在SNNM中仍然没有使用Hermite - Gaussian (HG)形式的精确解析解。因此，有必要推导出在SNNM中的HG形式的准确的解析解。我们的目的是介绍HG孤子，并研究它们在SNNM中的传播特性。
论文组织如下。首先，基于Snyder-Mitchell在直角坐标系下的线性模型，我们得到了精确的(1 D)维(D = 1, 2) SNNM中HG的解析解。其次，我们讨论了解的存在性，给出了解析解与数值模拟的比较，我们发现任何阶HG函数都可以表示为单个高斯函数与pi;相位差在适当的条件下的线性叠加。HG孤子可以看作是单个高斯孤子的束缚态。最后，给出了结论。
2. （1 1）维度HG呼吸子和孤子的SNYDER–MITCHELL模式
光束在（1 D）维(D = 1, 2)非局域三次非线性介质由NNLSE[1,4,5]控制:
Phi;(x,z)是傍轴光束,z为纵坐标，mu;=1/2k, k=omega;n0/c是在无非线性介质中的波数。eta;是物质常数(eta;﹥0或eta;＜0对应的是聚焦或散焦材料)，x和为d维横向坐标向量，Delta;perp;为横向拉普拉斯算符，R为介质的归一化对称实空间响应函数。对于强非局域情况，NNLSE可以推导为Snyder-Mitchell线性模型[1,9,10]:
gamma;(gt;0)是材料参数与响应函数R相关，r =为在坐标系中到线中心的
横向距离，P0=是光束在z=0处的输入功率。为(1 1)维情况下，式(2)可简化为
我们通过把它写成两个函数F(x,z)和G (x,z)的乘积来寻找方程(3)的解
将式(4)代入式(3)，得到（5）
如果我们假设（6）
同时由式(5)可得（7）
已知[1,9]，等式.(6)的解是高斯函数（8）
其中omega;(z)是高斯光束的束宽，c(z)表示光束的相前曲率，theta;(z)为复振幅的相位。它们分别由[9]给出
其中w0为高斯光束在z=0时的初始波束宽度，beta;0=为孤子传播的临界功率。由式(9)可知，z相关函数omega;(z)，这是Snyder-Mitchel[1]得到的高斯函数的波束宽度，如果P0ne;Pc沿传播z周期性振荡。如果我们将omega;02除以式(9)的两边，式(9)就变成了Snyder和Mitchell[1]得到的式(4)。
将式(8)代入式(7)得：
进行变量变换
和使用方程式。(9)(10)式可化简为
利用分离变量的方法，令，将式(15)分解为以下两个微分方程:
其中n是整数;式(16)是著名的Hermite微分方程[33]。从方程式(16)和(17)，我们能推出：
然后通过代入方程(8)、(18)、(19)带入式(4)，得到式(3)的精确解
是归一化系数，w(z), c (z), theta;(z)和Pc由方程(9)- (12)给出。当n=0时，方程(20)简化为零阶HG孤子，即高斯解，
式(21)为Snyder-Mitchel求得的(1 1)维[1]的高斯解。
3.讨论解决方案
HG型孤子是方程(2)的精确解，但是是方程(1)的近似解。比较式(21)和式(20)，结果表明，HG光束的相前曲率为c(z)和高斯光束完全一样。theta;(z)的相位和高斯解是一样的，除了额外的2ntheta;(z)。
- 与NNLSE数值模拟的比较
图1 - 3显示比较准确的解析解Snyder-Mitchell模型在笛卡儿坐标系统与式(1)的确切的数值模拟结果。从图1-3可以看出，解析解与数值模拟结果吻合较好。
为了模拟传输，我们使用了输入的HG光束参数，即,假设材料响应为高斯函数[4,5,8]，即 其中:omega;m为材料响应函数的特征长度，表示材料的非定域性程度;对于数值模拟，，利用束宽二阶矩的定义，可以得到初始HG束宽。alpha;越少，则非定域性越强。显然，对于一个固定的材料响应函数的特征长度，alpha;随着HG光束模态数n的增加而增加，非局域性减弱。归一化变量由 ，，给出。在本文中，材料的响应函数和标准化变量是相同的，对于所有的图alpha;=0.1
图1. 在高斯形状响应材料中，(1 1)维(a)第一阶、(b)第二阶和(c)第三阶的HG呼吸子d的标准化强度分布的演化.实体曲线，数值模拟;开圆，解析解。(d)、(e)、(f)中的实曲线和开圆分别是(a)、(b)、(c)对应的Z= 4处的归一化强度分布.参数为P0/Pc=0.7
图2. 在高斯形状响应材料中，(1 1)维(a)第一阶、(b)第二阶和(c)第三阶的HG呼吸子d的标准化强度分布的演化.实体曲线，数值模拟;开圆，解析解。(d)、(e)、(f)中的实曲线和开圆分别是(a)、(b)、(c)对应的Z= 4处的归一化强度分布.参数为P0/Pc=1.3
b . HG呼吸器
当P0＜Pc、光束衍射最初克服了光束诱导的折射，光束开始膨胀，而相反的情况发生了，当P0﹥Pc，如图1和图2所示。这些是HG呼吸子，当他们沿着z轴的直线传播时，宽度周期性地振动。当m=0时，式(20)简化为零阶HG(高斯)呼吸表达式，式(21)。一阶、二阶和三阶HG呼吸子分别表示为
比较方程式(22) -(24)，通过式(21)，可以很容易地看出高阶HG呼吸子c(z)与高斯呼吸子相同;图1和图2显示，当输入功率p0和材料的非定域性程度时，解析解和数值模拟之间的差异随着模态数n的增加而增大alpha;都是一样的。
图3.在Z= 10的范围内，高斯型响应材料中的HG孤子在(1 1)维的(a)一阶模态、(b)二阶模态和(c)三阶模态的固定的传波。实体曲线，数值模拟;开圆，解析解。(d)、(e)、(f)中的实曲线和开圆分别是(a)、(b)、(c)对应的Z= 4处的归一化强度分布。参数为
- HG孤子
当P0=Pc时，衍射完全被非线性所平衡，这些是HG孤子，当它们沿z轴沿直线运动时，它们的宽度保持不变。即P0=Pc, 式(20)简化为HG孤子的表达式，
这里的传播常数beta;n由此给出
式(25)与[28]的式(16)相同，是用中文写的。由式(27)可知，传播常数beta;n随着模态数n的增加而增加。当n=0时，式(25)简化为零阶HG(高斯)孤子表达式
从图3中可以明显看出，这些不同阶模态的HG光束作为距离z的函数保持不变。正如所料，我们的数值模拟与解析解非常一致。如果我们用初始强度的最大值来标准化强度
图3 (d)和3 (e)与[19]图7 (b)一致。,并且[19]的图7 (a)在是众所周知的高斯(零级HG)孤子,这表明[19]中的波导模正是我们在本文中得到的几个低模孤子。这间接证明了NLC是强非局部非线性介质之一。
- 高阶HG函数的线性叠加-相位差法的高斯函数表达式
两个非相位高斯函数的线性叠加可以表示
一阶HG函数可以写成
在式(28)中对x在 = 0处泰勒展开，可以得到
如果和条件满足，随着参数的减小，式(30)逐步逼近式(29)。两个同相位函数和一个非同相位高斯函数的线性叠加可以表示为
二阶HG函数可以写成
在式(31)中对x在 = 0处泰勒展开
如果条件满足，，随着参数的减小，式(33)逐步逼近式(32)。两个同相位高斯函数和两个外相位高斯函数的线性叠加为
三阶HG函数可以写成
在式(34)中对和x在= 0处泰勒展开，可以得到
如果条件满足，，，随着参数的减小，式(36)逐步逼近式(35)。
根据上面介绍的相同过程，在适当的条件下，任何高阶HG函数都可以用高斯函数的线性叠加、相邻函数间的相位失调来表示。函数的线性叠加法的潜在应用，为实验获得高阶HG孤子提供了一种新的手段。
这种束缚态形成的物理根源自然地来自于非线性相互作用的强非局域性质。SNNM,介质的非线性极化的体积半径x0 (x0远远小于所涉及的任何波长)是s由所考虑的体积内外的电场分布决定,在适当的条件下，非局域性强会导致离相孤子重叠区折射率的增加，而折射率的大小取决于光在横向平面上的整体强度分布。如果选择适当的初始孤子振幅和初始孤子之间的中心距离，这就产生了一种吸引力，并导致形成稳定的束缚态，这种束缚态由许多单独的相邻的pi;相位差的高斯孤子组成。
图4.(a)一阶模态HG孤子和两个非相位高斯孤子的稳态传播(实曲线)和若干高斯孤子(开圆)的共态传播(开圆);(b)二阶模HG孤子、两个同相高斯孤子和一个反相高斯孤子;(c)在距离Z= 10的高斯型响应材料中，三阶模态HG孤子和两个同相位孤子和两个非同相位高斯孤子。(d)、(e)、(f)中的实曲线和开圆分别是(a)、(b)、(c)对应的Z= 4处的归一化强度分布，参数为
4. 将“(1 1)维情况”扩展到“(1 2)维情况”
在本节中，“(1 1)维情况”扩展到“(1 2)维情况”
对(1 2)维情况，式(2)在笛卡尔坐标系中可改写为
遵循与2A部分相同的程序，可以得到式(37)的精确解：
是归一化系数，可以从
中得到，并且Pc由式(9)—(12)给出
当m=0,n=0时,式(38)简化为零阶HG(高斯)解
式(39)为Snyder和Mitchell[1]求得的(1 2)的高斯解。式(21)和(39)表明，Snyder和Mitchell[1]得到分别是()1 1-维的(1 2)维的情况的解。
- 结论
从斯奈德-米切尔模型出发，在直角坐标系下，在SNNM中利用分离变量的方法，推导出精确的HG解析解。对HG光束在SNNM中的演化做讨论。Nnlse的解析解与数值模拟结果的对比表明，在强非定域性条件下，HG解与数值结果吻合较好。
结果表明，传播常数随模态数的增加而增大。我们发现任何高阶HG函数都可以用pi;相位差高斯函数在适当的条件下线性叠加。Snyder–Mitchel得到的高斯呼吸子和高斯孤子可以看作是HG呼吸子和HG孤子的特例。
参考文献
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