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凸体的几种均值
W. J FIREY
对非负值函数各种均值的系统研究在很大程度上归功于J.L.W.Jensen [12]，A.Kolmogoroff [11]和B.Jessen [13]的著作。在本文中，我们提出了一个类似的函数均值理论，其值来自于有限维欧几里得空间中的凸体集合。非负值函数的取值范围是完全有序的，同时所考虑的凸体集合是集包含的半有序的;对应于不等式，我们将有包含，在这里被称为在均值之间的不等式。因此，讨论将提供一个部分有序系统的例子，其代数和拓扑结构足以承认一个相当详细的不等式理论，类似于实数。
第一部分是Jensen , Kolmogoroff ,和Jessen著作的一些部分的摘要，其中这些部分将会被开发。第2节处理有关星体和凸体的材料。第3节定义了星体和凸体的某些族；后者在非负值函数中起作用。描述了这类族的两种幂平均值系统。每一个系统，在其方式上，都类似于非负值函数的幂平均值。在第4节中，我们讨论了幂平均值的一些特殊情况，包括基础均值和A. Dinghas [2]、[3]的Riemann-Minkowski积分。一个凸体的一些旋转不变量被描述为凸体所决定的特殊族的幂平均值。第5部分以平均值的重要性质开始，包含了在第三部分定义的两个平均值系统的极值特征。Jensen和Jessen的不等式类比组成第6节。我们还提到了幂指数为无穷、正、负时幂均值的极限情况。作为Jessen不等式的一个应用，证明了一个Brunn-Minkowski定理。在最后一节中，我们讨论了凸体均值的一些进一步的系统。
1、基础幂平均值的定义以自然的方式扩展，包括某些函数f的幂均值，这些函数具有有限的、非负的值，其定义域T是一个具有Haar测度的紧拓扑群。如果f在其定义域上是有界可测的，那么它的p-幂均值定义为
（1.1）
当积分扩展到f的定义域上时。假设Haar度量是如此的标准化以至于在T上，那么。我们允许指数p是集合中的任意数字。
在(1.1)中必须采用某些约定;选择这些是为了保持的特殊连续性。对于p=0，我们定义
同样我们令
，
如果在一个测度为正的集合上取值为0，则我们定义对，有。
定义的两个特殊域是很重要的:实数的闭区间满足0le;le;1，用表示;固有的组(方向保持)，关于n维欧氏空间原点的旋转。我们把看作是一个模1的加法群。
经典的不平等可以用两种不平等的幂均值来描述。首先，Jensen不等式，参见[12]，适用于任何可以在上度量的非负值:
(1.2) ，对
所以，比如，当，表示算术平均和几何平均值之间的不等式。
其次，Jessen不等式，参见[13]，对于任何可以在上度量的非负值都是有效的(也被认为是一个紧凑的拓扑群)
(1.3），对成立.。
因为Jessen不等式表示函数，在中几乎处处有下列定义 。
因此，(1.3)左右两边的形成需要以一种相当普遍的形式求助于Fubini定理，参见[8,p.148]。(1.3)中取时，得到Minkowski不等式的一般形式；选择时，给出了其余的情况。
这是Kolmogoroff [11]和Nagumo [14]的著作的结果，对于＜可以用几个简单的属性来描述。更准确地说，如果是定义在上有界可测的非负函数的泛函，并且满足下面（1）到（6）的条件，那么对于某个实的有限，我们在的域上有。
设,, 为中的函数。
- 是连续的；也就是说，如果是一个在上逐点收敛到的有界序列，那么。
- 是单调递增的，如果在有，那么。
- 是对称的；如果对于上的某些有，满足模1的加法关系，那么。
- 如果在上，那么。
- 设为的子区间，并令。我们通过设置对于中，有来定义；然后我们通过对中有，其他地方有定义。我们有。这将被称为复合属性。
- 是一次项的正齐次项;也就是说，对于每一个，我们有。
除了引用的参考文献外，读者还可以参考[9]了解详细信息。
2、在欧氏空间中的点,，是实数,点
写成。如果不是原点0，则结构为的点的射线用表示。对于内积我们写作,且用表示距离。是指所在的点的球体。如果是一个集合，表示的边界，表示的凸闭包。
假设是一个定义在上的函数，它满足:
（a） 如果，那么且
（b） 对所有，有
（c）对于所有都是连续的。
然后，对于使得成立的这样的点集，将被称为距离函数。是一个星体，我们的意思是是封闭的，有界的，关于原点0的星状的且有0作为内点的星体。从这样一个集合中，我们可以通过令, 来获得它的距离函数，其中，。因此，距离函数的类别与星体的类别是一一对应的。
如果G满足（a）、（b）和
（crsquo;） ，那么它必然满足（c）。在这种情况下，集合是一个包含0的凸体。在这篇论文中，我们假设每一个提到的凸体都包含0点。由于是凸的，它的距离函数满足（crsquo;） ，所以凸体的类别与满足（crsquo;） 的距离函数的类别是一一对应的。
有时我们必须考虑一个星体及其凸闭包；下面的表示定理将是有用的。
定理1.设星体有距离函数，为星体的凸闭包。的距离函数可以用这种形式表示
，对
这里的下确界取值是它采取的元素使得
（2.1） 。
对于的选择，允许我们有
因此，对于每一个都存在一个下确界，当时令为这个下确界所定义的函数，并取。我们将证明。因为这对于成立，我们从这里开始假设。
对，
由此推出
（2.2）
假设有两种表示，
同时且满足条件（2.1）
因为
且是线性无关的，。而且，因为满足（b）
因此
（2.3）
我们将证明如果在中，那么。对于这样一个位于的某个支撑平面上的；的一种表示为
（2.4） ，
令是射线和支撑平面的交点。从这些点我们得到了第二个表达式，其中满足条件（2.1），。点是S的外点或边界点，因此，从这里有
借助于（2.3），我们得到。
由于在中，有一个类型（2.4）的表示，其中在中且。有了这个选择，我们得到，所以。
用表示点；那么和
由（2.2）完成证明。注意，下确界实际上是达到的最小值。
星体的类别是通过集合的包含有偏序关系；这导致距离函数集的偏序。更准确地说，如果是具有距离函数的星体，那么在上等价于。
将一个星体序列收敛到一个星体，定义如下：设为的距离函数，为的距离函数。如果在上一致地收敛于，那么我们知道收敛于。我们接下来证明一个收敛定理。
定理2.假设星体的一个序列满足
距离函数的相应序列在上一致地收敛到一个函数，然后收敛到一个星体，是它的距离函数。凸闭包的序列收敛于。
在定理的第一部分，我们只需要证明是距离函数。的距离函数是，因此在上，这对来说一定是成立的。进一步，函数的正同质性（b），也包含了的正同质性。最后，连续函数的一致收敛意味着在上的连续性。显然，的同质性意味着它对所有的连续性，从我们得到。因此，符合（a）、（b）、（c）项要求。
根据定理1，如果是的距离函数，是的距离函数，
（2.5）
对于且满足（2.1）的表示形式时取最小值。做出收敛假设，即在上，可以写成
（2.6） ，对所有和所有成立，
此时，类似于的单调性，有。在（2.5）中，达到了最小值，因此对于每个，我们可以确定满足（2.1）并使得
进一步让满足（2.1），令
首先，如果，我们从的最小特征出发
根据（2.6）得。通过类似的推理，如果，我们从的极小值特征推出，从（2.6）推出
在第一种情况下，假设在上，然后可以在上选择并从的边界开始，我们有，因此。但是另一方面，除以，(因为)我们得到
（2.7） ，对和在上的成立。
在第二种情况下，假设是在上；那么可以在上选择，和之前一样，但要用到的边界，我们有（2.7）。因此在上一致有，所以，由定理的第一部分，因为，我们得出结论，收敛于。
设为凸体。除了它的距离函数之外，一个定义，作为对得第二特征函数 ，它的支撑函数在上，且由定义。对于每个，点的半空间使得 包含和它的边界面包含至少一个在上的点。被称为的支撑半空间，它的边界是在方向上的支撑空间。我们有。
设是与支撑平面在方向上的交点。的另一种表示是
，对
如果和，则。假设在上，然后，因此对于这样的当且仅当在上。这又给出了的另一种有用表示，即
（2.8）
任何凸体的支撑函数都满足条件（a）、（b）、（crsquo;）。反之，任何满足这些要求的函数都是一个凸体的支撑函数。
假设是一个定义在上的函数，它满足（a）、（b）、（crsquo;）：作为一个距离函数，确定一个凸体；作为一个支撑函数，确定了第二个凸体。和是关于的极对偶。更详细地说，设是除0之外的任一点；我们把半空间与联系起来。是这些半空间的交集。我们可以将描述为其边界点的凸闭包，即，其中的并集取，为此。在形成为半空间的交集时，我们可以把自己限制在与上对应的半空间上。令；然后，所以半空间等于半空间 ：。我们有
（2.9）
然而，即使满足（a）、（b）、（c）但不满足（crsquo;），关系（2.9）仍然成立。
我们注意到极对偶是对合的，即。
通过极性互换和等式（2.8），我们得到了凸体的距离函数的另一种表示形式
（2.10）
同样，通过这种论证，我们可以得出以下结论
定理1的推论. 假设是满足(a) (b) (c)条件的函数，假设是由定义的凸体。的支撑函数由下列定义
，对成立
此时，满足（2.1），且。
由（2.9），其中并集占据了所有满足的。则是距离函数为的星体的凸闭包。根据定理1，的距离函数就是推论语句中所描述的。因此是的支撑函数。
通过包含凸体的偏序推导出了支撑函数之间的偏序。因此在上和是等价的断言，其中是的支持函数，因此等于。
偏差定义为
（2.11）
是凸体空间的度量。这提供了收敛的第二个定义，它等价于先前应用于凸体空间的那个定义。首先注意，如果在上，其中，是，的距离函数，那么有正数，这样
也就是说，在上
因此，由（2.8）
从而在上一致有。同样地，借助于（2.10），我们完成了等价证明。
本节中提到的没有证据的背景项可以在[1]和[10]中找到。
3.假设是在上的实值函数，并且满足以下三个条件:
（A）对每个在上的，在上是可测的，对于某些与中的无关的正数，，有；
（B）对于每个在上的和每个，
（C）对于中的每一个，在上是连续的。
这些条件意味着对于每一个满足（a）、（b）、（c）；由于（B）、（C）是条件（b）、（c），只有（a）必须展示证明。由（B）知如果，
因此，当时，，因此，根据（C），。这证明了（a）。鉴于此，我们可以将中的每一个与中距离函数是的唯一星体联系起来。它的这种把映射到星体空间的方法叫做在上的有界可测量的星体族。在几何上，有界性的意思是
（3.1）
对于所有的和是（A）的结果成立。
我们的兴趣将集中于那些星体是凸的情况，即，当满足
（Crsquo;）对于中的每个有，其中情况（C）是（B）和（Crsquo;）的一种结果。在这种情况下，我们称为上的一个有界可测凸体族。设为与相关的支撑函数。
定理3.为了使是一个有界可测的凸体族，相关的支持函数满足条件(A)、(B)、(Crsquo;)是充分必要条件。
条件（A）是唯一有问题的条件；我们必须证明对于中的每一个,，是可测的，当且仅当这对成立。假设满足（A）；设固定且在上定义：
对上的每个，在上是有界可测的，对上的每个在上是连续的。选择一个处处稠密的的可数子集。由的表示形式（2.8）和在上的连续性，我们得到
这样的一个上限必然是可测的，参考文献[8,p. 84]。的有界性由式（3.1）可知，即支撑函数的导偏序，且的支持函数为。因此，如果是有界可测族，满足（A）、（B）、（Crsquo;）。
假设满足（A）、（B）、（Crsquo;）。我们考虑凸体的极对偶族。是的相关距离函数，所以是一个
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