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论文翻译
BRUNN-MINKOWSKI 不等式
- 介绍
所有的数学家都知道在平面中的等周不等式为
- ，
其中A是一个以周长为L的封闭区域。很多包括那些阅读过Osserman的长篇调查文章的人，都意识到等周不等式（1）不仅仅对于欧氏空间成立，同样对更多不同的普通空间也成立，这些等周不等式和一些重要的分析不等式紧密相连，由此产生的迷宫般的不平等，在数学和物理的许多领域都有不同寻常的联系和应用。
在注解[124,p.1190]中提到的就是Brunn-Minkowski不等式。这个表达的一种形式是：如果K和L都是Rn中的凸集（内部非空的紧凸集）且，那么有
这里的和表示体积及体积和。（这些将在第二第三章被定义）。当K和L是平移和扩张关系时等号才成立。Osserman强调这个不等式很容易证明且很快可以为推出一些重要集合的等周不等式，不仅仅是平面中而且在Rn中。然而，在几何学之外，似乎只有相对较少的数学家熟悉Brunn-Minkowski不等式。更少的人知道（2）式的推广以及它们对数学和其他方面的影响。这篇文章将会尝试去解释目前这些主题的观点，以及澄清相关的主要几个不等式之间的关系。
- 基础符号
原点，单位球和n维欧氏空间Rn内的闭单位球可以依次表示为：，和。和的欧式标量积应被写成，表示欧式空间中的范数。如果，则表示与垂直的包含原点的超平面。
Rn中k维Lebesgue测度（k=1，hellip;hellip;，n）可以被定义为Rn中的k维Hausdorff测度。中的球Lebesgue测度可以被定义为。在本文中，表示对合适的k来说对的积分，在对的积分则用表示。适用于Rn中的一个集合的术语“可测的”总是意味着可测，除非另有说明。
如果X是Rn中k维物体，那么它的体积就是。单位球的体积也可以表示成。
- 几何的起源
最基础的需要的符号是向量和的向量和：，X的倍数为：，其中X 和Y都是Rn中的集合。集合是关于原点的反射，当时，被称为关于原点对称。
作为一个例子，我们考虑一个关于原点对称的周长为L图形K和一个以原点为圆心，为半径，周长为L的圆的向量和。如图2所示的向量和是一个圆弧正方形，由K平移后的图形与四个面积为的长方形和四个半径为的四分之一圆组成。
的体积为：,也就是表示： ，推广到一般，Rn中的任何两个凸体K和L都满足这样一个不等式：
事实上，这就是Brunn-Minkowski不等式的一个等价形式。为了得到这个结果，我们将K和L替换成和并使用Rn中体积的正同质性得到,，。这个体积的同质性可以很容易得到（2）式的等价形式：
关于（2）式早期历史的详细评论和参考资料在施耐德的优秀著作（参考文献[135,p.314]）简单来说，当n=3时的不等式是由Brunn在大约1887年发现的。Minkowski指出了证明中的一个错误，Brunn纠正了这个错误，并且找到了他自己关于（2）式的不同证明。Brunn和Minkowski都表明当且仅当K和L是同质的时等式才成立。
如果不等式是数学中的银元，那么那些伴随等式成立的条件就是金子。等式成立条件是保存有价值信息的宝盒。例如，每个人都知道在等周不等式（1）中等式成立当且仅当曲线是一个圆，即一个半径的所有域中的最大区域必须是一个圆。
在第一个完整的关于Rn的等周不等式的证明被发现以后（2）式出现，这并不是巧合。为了理解这两个不等式之间的联系，我们再来看图2，显然得到：
所以得到K的周长为：=。这个简单的结论开启了Brunn-Minkowski理论的核心组成部分，即Minkowski的混合体积。（5）式是作为的二次项的展开的一个一般现象的特例：Minkowski的混合体积理论陈述了如果是Rn中的紧致凸集，并且，则体积就是关于变量的n维多项式。在这个多项式中的系数被称为一个混合体积。如果所有这些参数都是相同的集合，我们就得到了那个集合的体积。例如将（5）式和Minkowski的理论做比较，令, ,,，那么我们就可以得到, , 和 。
K的平方的周长是在（5）式里的周长，就等于。Minkowski对凸体K的表面积S(K)的定义为：，这是从Minkowski的理论：中很快得来的，其中这个符号表示K出现(n-1)次而单位球B只出现一次。在常数范围内，表面积只是一个特殊的混合体积。
Rn中的凸体的等周不等式是非平凡的，如果K是Rn中的凸体，则有
（7）
当且仅当K是一个球时取等。这个不等式可以用Brunn-Minkowski不等式通过几行简单的推导得到！事实上，（6）式和（4）式中令和，=,
并且（7）式来自于的重排列。
当然这仅仅是欣赏Brunn-Minkowski不等式的一个很好的理由。（敏锐的读者可能已经注意到，这个论点没有在（7）式中产生平等条件，但在第5节中，这将通过一些额外的工作来处理。）未来还有更多原因。
对于Brunn-Minkowski不等式有一个既简单又吸引人的几何解释标准。我们回忆一个在Rn上的一个凹函数在一个凸集C上的函数，对C中的所有x,y且都成立。若K和L都是Rn上的凸体，那么（2）式就等价于函数在上时是凹的。现在我们想象，K和L是(n 1)维凸体M和超平面、的交。恰好是凸包K和L和超平面的交并包含于M和这个超平面的交集中。
在下一章将会证明比（2）式更一般的说法但是（2）式的直接证明仍然有意义。由Kneser和Suuml;ss在1932年发表在注解[135, Section 6.1]标准证明，可能仍然是凸体的等式条件的最简单的证明方法。1917年Blaschke给出了一种全然不同的证法，使用了Steiner对称。对称化技术在获得许多不等式条件方面是极有价值的，确实，Steiner介绍了解决等周不等式的技术方法，所以Blaschke的方法得到了解释。令K为Rn中的一个凸体并使，K的在u方向上的Steiner对称是一个凸体，通过K的每条平行于u的弦等分，是它们被超平面u等分，将得到的弦并起来，从而得到凸体。接着由于，不难得出K和L都是Rn中的凸体，然后有，因此有不等式
（8）
举个例子，见注解[52, Chapter 5, Section 5] 或 [151, pp. 310–314]。还有一种证明方法，正如注解[56, Theorem 2.10.31]中，存在一组方向向量序列，如果任何凸体且，在Hausdorff测度下，当时，就收敛于，其中rK是连续的，所以。接着我们定义，这样我们就得到并用在（8）式中，重复这个方向向量的序列，我们得到
（9）
根据体积的同质性，我们很容易就得到Brunn-Minkowski不等式（2）。
- 变向分析1：Brunn-Minkowski不等式的一般性
在几何中，Brunn-Minkowski不等式所起的作用越来越大，但是是时候将这个不等式从几何学转移到分析学。我们可以称下面这个结果为Rn中的一般Brunn-Minkowski不等式。还是一样，Rn中的可测性意思是在n维空间里的Lebesgue测度。
定理4.1：令且X和Y是Rn中非空有界且可测的集合，那么也是可测的，则有
（10） ge;(1minus;lambda;) lambda;
再一次根据n维Lebesgue测度的同质性（其中r ge;0），对s,t＞0来说有等价的表达式
（11） ge;s
这个不等式的系数s和t被省略了。
另一个不等式的表达为
（12）
对于和所有满足定理4.1的X和Y都成立。当然（10）式就意味着推出（12）。反过来，假设没有X和Y的普遍性，同样也满足。将（12）式中的X和Y替换成和Y，令
（12）式的右边得到1，（12）式是将（11）式的s和t省略了。不等式（12）相对于式（10）有很多优势，因为它不要求X和Y非空且和维数无关。
假设集合X和Y都是有界的，但这一假设很容易被推翻，为了方便起见，我们保留这一假设。即使当X和Y都是可测的，假设集合是可测的也非常必要。这个观点在第十章中会讨论。如果X和Y都是Borel集，然而作为它们乘积的连续项是解析的，因此是可测的。
定理4.1在1935年被Lusternik首次证明。后来，Hadwiger和Ohmann发现了一个有简单又漂亮的证明方法，普通的数学观众只要看两张幻灯片就会被启发和吸引。要写得很详细的话，一张纸也足够了。事实上，下一章基本就是一个完整的证明。
定理4.1的证明：其思想是首先证明盒的结果，矩形平行六面体的边平行于坐标超平面。如果X和Y分别是盒子的边长和，在第i个坐标方向，那么
现在代入得到
le; =1
这是从算术几何方面来说的不等式。这给了Brunn-Minkowski不等式机会。然后有人用一种有时被称为Hadwiger-Ohmann的技巧来获得立方体的有关X和Y的有限并集的不等式，如下。通过平移X，如果有必要的话，我们可以假设有一个坐标超平面，将X中的两个立方体分开。（在这里读者们可能会发现一幅说明平面的例子在这一点上有用的图片。）令（或者）来表示由X中的立方体分别与半空间（或者）相交得到的立方体的并集。现在平移Y，得到
（13） =
其中和类似于和。既然, ，和中的立方体数是相似的且少于中立方体的个数。通过归纳后面的数和（13）式，我们有：
ge;
= =
现在建立了立方体的有限并集的不等式，利用其逼近有界可测集完成了证明。
那么平等条件呢？这并不是那么简单，但是仔细检查一下这个证明，我们可以得出这样的结论：如果，那么等式成立等且仅当，其中convX表示X的凸包。将这些等式条件和（2）式放在一起，我们可以看到，如果，在一般的Brunn-Minkowski不等式（10）式或者（11）式中，当且仅当X和Y是同质凸体时，等式才成立，其中测度为0的集合被移出。参见[36，第8节]、[77]和[151，第6.5节]了解关于X或Y测量为零的情况的详细信息和进一步的评论。值得一提的是在特殊情况下，当X和Y紧凸集时，当且仅当X和Y是同构的或者位于平行超平面上时。
由于Houml;lder不等式在它的离散形式下意味着算数平均不等式
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