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机器鱼非均匀柔性尾部的动态建模
Phi Luan Nguyen, Van Phu Do, Byung Ryong Lee
摘要
本文提出了一种非均匀柔性鱼尾机器人，并建立了其动力学模型。在该模型中，采用旋转细长梁对非均匀柔性尾部进行建模。分析了包括反力和阻力在内的流体动力，推导了控制方程。该方程为横向运动函数的空间四阶和时间二阶偏微分方程。由于光束的不均匀性，该偏微分方程的系数不是常数，因此用指数函数近似得到解析解。该解决方案描述了柔性尾巴的横向运动作为一个功能的材料，几何和执行机构的性质。然后进行了实验，并与仿真进行了比较。结果表明，该模型能较好地预测鱼类机器人的真实行为。
关键词：机器鱼，灵活的尾巴，动态建模，运动学，横向运动
1 绪论
在自然界中，真正的鱼是通过改变身体形状来产生运动的。形状的改变会产生一种推进力，推动它们前进或后退。游泳成绩优异;因此，目前大多数的鱼机器人都是受鱼的启发[2-9]，用于各种目的，如海洋探测任务和工业管道检查。
鱼机器人的各种设计方法已经被提出。一种方法是基于动力学模型，对鱼机器人进行了水动力分析。利用简化的几何模型，用拉格朗日方法推导出运动方程。大多数研究人员使用多关节的刚性杆和离散的机制，以实现像鱼一样的动力学。刘和陈[3]开发了一种双关节鱼机器人。利用ADAMS软件建立并模拟了鱼体和尾鳍的水动力。Vo和Kim[4]建立了一个3关节的动态模型(4个连杆)机器人鱼。基于Lighthill的carangiform propulsion[5]研究了流体力对鱼机器人运动的影响。当模拟操作在一个水下环境时，奇异值分解(SVD)算法用于最小化鱼机器人连杆的发散。余和王等[6]研究了基于Schiehlen方法的四连杆鱼机器人的动力学模型，该模型将包括水动力项在内的外力引入到动力学模型中。这种经典的仿生方法存在一些缺点，如链接数量有限。链接越多，自由度就越大，这使得模型更加复杂。控制技术也很复杂。此外，多关节刚性杆机构增加了密封和保护敏感部位的挑战。
另一种方法是基于运动学模型的轨迹逼近法。一个描述游泳运动学的模型最初是由Lighthill[5]提出的，并被广泛应用于鱼机器人研究领域。该模型表示为
（1）
其中h(x,t)表示第t时刻鱼体沿体长方向(x轴)的横向运动;c1和c2是线性系数和二次项振幅包络系数；是波数；lambda;是波长；是波频。
研究人员使用了一个多关节刚性棒，以获得类似鱼类的行为和模拟身体运动，如Eq.(1)所示。Yan等人用[7]实验研究了频率、振幅、波长、相位差、振幅包络系数等特征参数对鱼机器人前进速度的影响。Liu和Hu[8]将Eq.(1)转换为描述相对于头部的尾部运动的尾部运动函数，然后随着时间的推移，通过一系列的尾部姿态离散方程。最后，计算出尾巴关节的转角来近似尾巴的姿态。此外,Yu和Wang[9]采用改进的约束循环变量法对最优链路长度比进行了数值计算，并将其应用于一个4节鱼机器人的构造中。该方法需要离线计算，是一种在线调整参数的有效方法。
从以上讨论的因素，我们决定使用一个连续灵活的尾巴，而不是一个多关节刚性棒。这种方法有望克服上述缺点。Yang等人的[10]研究表明，柔性尾翼不仅在推力和推进效率方面有更好的性能，而且其机构比多关节刚棒系统更简单、更具有机械鲁棒性。采用单执行机构，控制技术简单，对敏感部位的密封和保护容易实现。该方法可将鱼机器人的尾部建模为动态弯曲梁[11]。通过确定梁在外部和内部系统力的作用下的振动，可以实现尾部的横向运动，而这些力又与几何、材料和执行器特性有关。这个设计概念之前已经被研究过了。Alvarado和Youcef-Toumi[12]开发了鱼机器人，它有一个顺从的身体和一个伺服电机驱动。它的尾巴是由一个悬臂梁在单点驱动。El Daou等人还研究了柔性体推动的鱼机器人的建模、设计和制造。
本文提出了一种柔性鱼尾的动力学模型。这个方法和参考文献相似。[12,13]但在梁的边界条件、刚体模态的加入以及非均匀梁的近似方法等方面存在差异。主要目的是找出柔性尾巴在驱动力矩作用下的横向运动，验证该模型适用于预测鱼机器人的真实行为。为了实现这个目标，第一步是建立模型。分析了水动力，包括反力和阻力。然后推导出控制方程。它是横向运动函数的空间四阶和时间二阶偏微分方程。由于光束的不均匀性，PDE的系数不是常数，因此用指数函数近似。然后利用模态分析方法得到控制方程的解析解。该解决方案将柔性尾部的横向运动描述为材料、几何和执行机构特性的函数。最后，进行了仿真和实验对比。
本文的其余部分组织如下:在第二节中，对柔性尾巴的动力学进行了研究。在第三节中，使用模态分析方法来确定柔性尾部的横向运动。第四部分给出了仿真结果和实验结果并进行了分析。最后，第五部分对全文进行总结。
2柔性尾巴的动态建模
在我们的鱼机器人模型中，我们主要关注与carangiform fish相似的形状，因为它具有快速游动的特性。鸡蛋形鱼包括鲭鱼和鳟鱼，有大而高的长宽比尾巴。后部在推力的产生中起着重要的作用这种鱼的运动需要强有力的肌肉来产生后部的横向运动。同时，前部分保持相对静止状态[7,14,15]。因此，我们的设计方法集中在鱼机器人的后部，即鱼机器人的尾部。
由于柔性尾的运动对水动力有影响，同时也对尾的运动有影响，因此将柔性尾的运动学和动力学问题耦合起来。为了分析鱼机器人的运动，必须确定水动力，并进行计算柔性尾巴的横向运动，记为h(x,t)。本节的主要目的是分析柔性尾巴的动力学和运动学。
有必要先有一个尾巴的模型。一些研究人员使用多回转刚性杆来模拟尾巴。该方法通过定义连杆的质心来分析连杆的动力学是简单的，但当连杆数目大于2时，分析就变得复杂了。其他团队[12,13]将尾巴建模为悬臂柔性梁，并使用单点驱动。该方法来源于细长体理论[5]。侧向运动可以用偏微分方程的解析解来描述。然而，由于尾巴是悬臂式的，位移被限制在一个很小的范围内。在本文中，柔性尾被建模为一个细长的柔性梁，它在驱动力矩M(t)的作用下绕其一端旋转。图1显示了柔性尾部模型的俯视图和参考框架。作用在尾部纵向体积单元上的力和力矩包括流体剪切的纵向分量和单位长度压力Q(x,t)，Q引起的纵向张力Tq(x,t)，由水施加的侧向力Ly(x,t)，横向粘性阻力D(x,t)，横断面上的剪力S(x,t)，和净弯矩Mb (x, t)。建立模型后，利用欧拉-伯努利梁理论推导出弯曲梁在水中的动力学控制方程
（2）
其中0 lt; x lt; L, L为尾部长度;rho;为尾部材料的密度;A(x)为尾部截面积;E是杨氏模量;I(x) 为横断面在x处关于弯曲轴的面积的转动惯量。
图1顶层模型视图。尾轴在给定点x和时间t处的横向运动为h(x, t)。
EI(x)为梁的抗弯刚度。式(2)左侧第一项为体惯性，第二项为电容储能。在右边，F(x,t)是广义输入力。R(x)是阻力，是粘度对横向运动阻尼的影响。这种阻力与运动方向相反(即与速度相反)，并与速度的大小成线性关系。如果边界层没有分离，单位长度的阻力R(x,t)可以表示为[17]
（3）
其中C为阻尼系数。这取决于粘度。Ly(x t)是反作用力或侧向力，是单位长度尾部的瞬时侧向力。它等于并且与流体在x处通过横截面的动量变化率相反。对于快泳者，Ly(x,t)可以近似为
（4）
其中ma(x)为附加质量，近似为,，是水的密度，Ac(x)是x处尾部横截面围成的圆的面积，Ly(x,t)是系统的惯量。控制式(2)可改写为
（5）
可以看出，式(5)在空间上是一个四阶偏微分方程，在时间上是一个二阶偏微分方程，其系数是非常的。如图1所示，柔性尾巴的一端可以自由绕电机轴旋转，另一端可以自由移动。边界条件是简支无端。初始条件是零。
在推导出控制方程(5)后，下一步是找到方程(5)中h(x,t)的解。这是一种振动问题。解h(x,t)可以表示为特征函数Xi(x)的线性组合。系数Ti(t)是时间的函数，可以表示为对应的模态坐标[16]
（6）
然而，柔性尾巴是不均匀的(即在式(5)中、A(x)、I(x)、ma(x)不是常数），非均匀梁横向运动特征函数的解析解一般比较复杂。El Daou等人用试验本征函数代替非均匀梁的本征函数，这是均匀梁的本征函数。虽然Alvarado和youcfe - toumi[12]推导出一组复杂的方程和微分方程来求特征值和特征函数，但是方法非常复杂。我们提出的方法将惯性矩I(x)、面积A(x)和附加质量ma(x)近似为指数函数，然后应用Suppiger和Taleb[19]描述的方法。
在这项工作中，我们认为柔性尾巴是一个细长的梁，厚度不变，2r，宽度为2R是x的函数(如式(7))。为了优化柔性尾巴的几何形状，宽度是从真实鱼的几何形状中复制的，这是由Alvarado[17]提出的。
（7）
，。图2显示了尾巴的几何形状。
第二个惯性矩I(x)，截面面积A(x)和附加质量ma(x)可以表示和近似为
（8）
近似结果如图3所示。
基于近似的I、A、ma，我们确定了特征值和特征函数。这是一个特征问题。忽略F(x,t)， R(x)，将式(8)代入式(5)，则尾的自由横向运动的PDE为
（9）
利用分离变量的方法，h(x,t)可以表示为
（10）
将式(10)代入式(9)展开，式(9)可重新排列为
（11）
是固有频率，式(11)的边界条件为
（12）
常系数四阶微分方程的通解为
（13）
特征方程的顶点：
（14）
且 （15）
图2尾巴的几何形状。
图3转动惯量(a)的实、近似曲线，(b)截面面积，(c)附加质量。
当顶点是时，将边界条件应用于式(11)，则有
（15）
当，顶点是
（16）
(17)
结果是
(18)
将边界条件应用于式(11)，得到
(19)
则
（20）
（21）
满足式(19)的S1的值称为特征值，是基于固有频率的定义和关于形状的模Xi(x)。
事实上，式(15)中的特征函数X0(x)对应刚体模态和特征函数Xi(x) (i = 1,2，hellip;)对应于细长梁振动的柔体模态。整体振动是这些模态的组合。表1给出了非均匀尾部(tail-1)和均匀尾部(tail-2)前五种振动模式的固有频率，如图2所示。由式(24)可知，由于模态刚度较小，tail-1的固有频率相对于tail-2要小得多。图4显示了tail-1与tail-2的前四种柔性模式。tail-1后部的振动大于tail-2，而tail-11的截面积小于tail-2。在确定了形状的固有频率和模态后，应用模态分析推导出柔性尾部的横向运动。
图4梁的柔性振动模式。
- 3柔性尾部的模态分析
模态分析是一种测量和分析结构和/或流体在输入激励下的动态响应的方法。在这个问题上,模态分析的目的是推导出式(5)的解析解.
将式(6)代入式(5)给出
（22）
通过将qj(x)与j = 1,2，hellip;相乘，然后从0到L积分，利用特征函数的正交性，我们定义了以下参数
模态质量(归一化)
（23）
模态刚度
模态力 （24）
（25）
是驱动的时刻。
模态阻尼
在这种情况下，比例模态阻尼被用来近似电阻力。对于刚体模态，阻尼系数与执行器频率成正比，而对于每一柔性体模态，阻尼系数与固有频率成正比，如式所示
（26）
是模态阻尼因子。式(22)可改写为
（27）
式(27)为时间的二阶微分方程。我们用杜哈梅尔积分解出了这个方程，并将ni(t)代入方程(6)。导出了横向运动h(x,t)。
4 结果与讨论
在前面的章节中，我们提出了动力学模型。为了验证该模型适用于预测鱼机器人的真实行为，进行了仿真和实验对比。
4.1仿真
通过将柔性尾部建模为旋转细长梁，推导出控制方程为式(2)。为了简化模型，将柔性尾部(如I、A、ma)的几何参数近似为指数函数。此外，利用附加质量法将反作用力引入惯性项。利用本征问题得到了柔性尾部的固有频率和振型。利用模态阻尼系数与固有频率的乘积，用比例模态阻尼系数来估计阻尼力。模态阻尼因子应通过实验确定。最后，推导出式(2)的解析解为式(6)。灵活的尾巴，这取
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