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利用拓扑优化研究双材料结构振动声辐射最小化
Jianbin Du amp; Niels Olhoff
（奥尔堡大学机械工程系，丹麦 奥尔堡东部9220，电子邮件：no@iaau.dk）
摘要：到目前为止，针对振动噪声辐射的结构拓扑优化设计主要解决了结构连续自由振动特征频率的最大化和连续自由振动特征频率之间的间隙，以及结构在谐波荷载作用下动态柔度的最小化。在这篇论文中，我们处理拓扑优化问题，其设计目标是将从结构表面辐射到周围声学介质的声功率最小化。考虑无材料阻尼的双材料弹性连续结构。结构振动是由规定频率和振幅的正弦时变机械外部机械载荷激发的。假设空气是声介质，可以忽略与结构的反馈耦合。在一定的条件下，可以用比求解Helmholz积分方程更简单的方法得到结构表面的声功率发射。因此，结构声学分析的计算成本大大降低。给出了不同边界条件和加载条件下板类和管类结构的数值计算结果，并进行了讨论。
关键词：拓扑结构设计；双材料结构；辐射声功率；正弦时变载荷；结构声学分析和优化
1、前言
结构的减振降噪优化问题早在几年前就已提出；读者请参阅教科书（Koopmann和Fahnline 1997；Kollmann 2000），《IUTAM关于安静设计的研讨会论文集》（Munjal 2002），及其他论文（Christensen 等人 1998a，b；Bouml;s 2006）；有关结构声学标准方面的设计优化的概述和相关参考资料。连续体结构的拓扑优化方法第一次出现在文献17年前出版的里程碑式的论文（Bendsoslash;e和Kikuchi1988；Bendsoslash;e 1989）和结构拓扑优化是一个非常活跃的研究领域，看到的，例如，教科书Bendsoslash;e和Sigmund （2003），Eschenauer的评论文章，Olhoff（2001）和最近IUTAM研讨会上关于结构、机器和材料拓扑设计优化的现状和展望的会议记录。（Bendsoslash;e 2006）。
拓扑优化方法在1992年首次应用于结构声学设计目标（Diaz和Kikuchi，1992年），从那时起，这方面的研究主要集中在
1、最大化结构的固有特性，如基频和高阶本征频率、两个连续本征频率之间的间隔和声子带间隔（参见，例如，Diaz和Kikuchi 1992；Bendsoslash;e和Diaz 1994；Kosaka an和Swan 1999；Krog和Olhoff 1999；Pedersen 2000；Sigmund 2001；Jensen 2003；Sigmund 和 Jensen 2003；Olhoff和Du 2005；Du和Olhoff 2006；Diaz等人，2005；Jensen和Pedersen 2006；Halkjaelig;r 等人2006）；
2、在规定激励频率和幅值的时谐外力作用下，动态柔度的最小化（动态刚度最大化）（参见，例如Ma等人，1995；Min等，1999；Jog 2002 a，b；Olhoff和Du 2005，2006b）；有关在一定激励频率范围内降低振动响应的问题，参见，例如，Calvel和Mongeau 2005；Jensen 2006；
3、优化结构响应包括导波器（参见，例如，Tcherniak 2002；Sigmund和Jensen 2003；Jensen和Sigmund 2005）。
这里，典型的设计目标是1和2的结构设计对振动和噪声的问题因为可用于驱动结构自由振动学远离外部激励频率，或一群激发频率，共振现象与高振动和噪声排放水平是可以避免的。
本论文是Olhoff和Du（2006a）的扩展版，可视为Du和Olhoff（2006）的伴侣论文，该论文研究的是在单特征频率和多特征频率和频率间隙的最大值下，自由振动连续体结构的拓扑设计，并且论文（Olhoff 和Du 2006b）致力于连续体结构在受迫振动作用下的最小动态柔度的拓扑设计。
与大多数上述出版物相比，本文考虑了振动结构间的相互作用及其周边声介质，和拓扑优化（给定材料体积，容许设计领域，和边界条件）进行直接最小化结构辐射的声功率的表面。结构振动由规定激励频率、振幅、方向和空间分布的正弦时变机械载荷激发。不考虑材料阻尼。拓扑优化采用双材料SIMP模型。这说明在优化过程中没有改变结构的边界形状，从而避免了动态加载的梯度计算，大大简化了灵敏度分析。
我们假设空气是声介质，声介质与结构之间的反馈耦合可以忽略。假定在某些条件下，可以用一种简化的方法而不是求解Helmholz积分方程来估计结构面发出的声功率。这意味着结构声学分析的计算成本可以大大降低。数值给出了具有不同边界条件和加载条件的双材料类板结构和类管结构的计算结果。
论文的材料组织如下。在第2部分的初始部分，结构拓扑优化的主题是给定体积的双材料结构的组成，是为最小化声功率辐射从振动结构表面到声介质的问题。在第2.1节中，介绍了一种简单而有效的近似方法来计算结构表面的声功率流。相应的灵敏度在2.2节分析了，SIMP模型的一个扩展的形式（Bendsoslash;e和Sigmund 1999）在2.3节介绍了处理双材料拓扑的设计结构。在第3节中，数值计算得到了两种双材料结构的最优拓扑设计。因此，在3.1节中给出了均布谐波荷载作用下夹紧板状结构最小声辐射的优化设计，并在3.2节中与在真空中受迫振动的动态柔量最小化所得到的相应设计进行了比较。第3.3节和第3.4节分别针对不同的边界条件和加载条件，给出了板状结构和管状结构的最小声辐射优化设计。第四部分是本文的结论。
最后需要指出的是，本文的计算结果是利用Pedersen（1981）提出的将有限元方法与数学规划相结合求解优化设计问题的基本概念得到的。实际上，那篇论文和这篇Pedersen写的论文 （1982）研究了具有若干规定特征频率的最小体积振动梁的形状优化问题，在规定两个相邻本征频率值的特殊情况下，由Olhoff和Parbery（1984）和Bendsoslash;e Olhoff（1985）想出在给定的波束体积下使两个相邻本征频率之间的间隙最大化的问题是对偶的（这是上面讨论的结构声学设计目标之一，尽管是在拓扑优化的背景下）。
2、利用拓扑优化最小化声功率辐射
在本节中，我们考虑以最小化声功率（能量通量）为目标的双材料弹性结构的拓扑设计优化问题。从结构表面向周围声介质辐射的总声功率（能量通量）为。假定结构振动是由正弦时变机械表面载荷矢量激发的，其强迫频率和振幅矢量作用于或其部分上。假设可以忽略阻尼，则相应的结构位移响应向量可以表示为，声功率的最小化问题可以表示为：
（1）
其中，prod;表达式中的符号和代表声压力和结构面法向速度的复共轭，代表结构面S上声压幅值的对应向量。符号表示流固耦合矩阵，符号和表示维结构刚度和质量矩阵，其中为自由度个数。式（1）中的表示动刚度矩阵，可以用表示。矩阵、和alpha;可以通过离散化的亥姆霍兹积分和沿结构面空间角度的计算得到（参见，Christensen等人，1998a，b）。我们考虑一个双材料设计问题，其中为有限元单元的总数，符号为单元e中较硬材料的体积密度，在该问题中起设计变量的作用（Du和Olhoff 2006）。符号表示硬材料（材料*1）的给定体积，并且给定的/是容许的体积设计领域。总体积的其余部分由较软的材料（材料*2）占据，如2.3节所述。
2.1振动结构表面声功率流的计算
（1）中的前两个约束方程表示结构声学耦合方程（没有入射声波），由于这些方程必须在求解过程的每个迭代步骤中求解，因此计算相当复杂。为了简化，可以考虑这样一种特殊情况，即结构的振动频率有一个足够高的值。在这种情况下，结构边界处的辐射阻抗与声介质的特征阻抗近似相同，即结构表面的声压和法向速度近似满足以下线性关系：
（2）
其中为声速，为声介质的比质量（质量密度）。Sorokin （2005，personal communication）对简单梁和球体的例子进行的测试表明，（2）的精度不仅取决于频率级别，还取决于结构的大小和结构振动模式的形状。一般来说，近似的精度随频率的增大而增大，但随振型的改变而减小。然而，试验也表明，即使是在较低的频率下，（2）仍然可以得到沿结构表面的声压分布的一个很好的近似（直到一个倍数）。这对于我们优化整体声辐射的问题是非常有用的，因为即使是沿着结构表面的声压按比例分布，也可以得到接近最优的拓扑设计。
如果我们进一步假设弱耦合，即，忽略结构方程中的声压，将式（1）中的第一个约束简化为仅受外部机械载荷P的振动结构方程（参见Olhoff和 Du 2006b）：
（3）
通过上述简化，将式（1）中的前两个约束方程替换为式（2）和式（3），可以非常有效地计算出结构表面的声功率流，简要说明如下：
（2）代替，并指出其中n是单位法和u的振幅位移，声功率流（1）可以重申：
（4）
利用有限元插值u=N，其中N为形状函数，为单元的节点位移向量，（4）可将矩阵形式改写为
（5）
式中，为表面法向矩阵，U为结构整体节点位移矢量，如式（1）所示。
2.2灵敏度分析
目标函数的灵敏度（即声功率流），（1）对于设计变量给定是由：
（6）
表示偏导数的地方。使用（3）和应用伴随方法（参见relli and Michaleris 1994），可以更有效地计算声功率流的灵敏度（6），得到以下结果：
（7）
这里，是方程= =的解，其中可以看作是一个伪表面载荷向量。具体地说， 本文只考虑与设计无关的机械载荷的情况，因此式（7）中机械载荷的灵敏度P 为零。刚度矩阵和质量矩阵的灵敏度。 Krsquo;和Mrsquo;可以通过引入材料模型得到（见2.3节）。
根据上述敏感性结果，优化（1）可以采用著名的MMA方法（Svanberg 1987）或最优性准则方法，如不动点法（Cheng and Olhoff 1982）。
2.3双材料结构拓扑优化的SIMP模型
根据Bendsoslash;e和Sigmund（1999） 设计的单材料SIMP模型（参见，例如，Rozvany和Zhou 1991；Rozvany等人（1992）利用混合物规则可以很容易地扩展到双材料设计。双材料问题的有限元弹性矩阵可以表示为：
= （8）
和表示弹性矩阵对应于固体弹性材料*1 *2给出的两个不同的元素。文中将（8）中的惩罚功率r赋值为3，从而使所考虑的双材料问题具有独特的最优拓扑设计。
双材料模型的元素质量矩阵可以用类似的方式表述如下：
= （9）
和为（8）中两种给定固体材料对应的元素质量矩阵。 众所周知，在设计特征频率最大化时，功率q的相关值为1，因为刚度与质量之比（代表特征频率的平方）的惩罚是此类拓扑设计问题的重要方面（Pedersen 2000；Jensen和Pedersen 2006）。在本论文中，设计目标（即，声功率）主要取决于结构的动态刚度，特别是在高加载频率的情况下。因此，同样的惩罚同时适用于刚度和质量（即，得到动刚度），得到以下插补公式：
（10）
这里和是对应于这两种不同的，给定固体弹性材料*1和*2的元素动态刚度矩阵，这里刚度和质量的惩罚系数取3。注意，它遵循从（8-10），对于一个给定的元素，=1意味着元素完全由固体材料*1，而=0意味着元素完全由固体材料*2。
3、数值例子
本节所用的有限元模型由8个节点的三维连续体单元组成，对于3.1、3.2和3.3节中的板状结构，它们被布置在一个40times;40times;1的网格中，对于3.4节中的管状结构，它们被布置在一个40times;20times;1的网格中。这些元素包括威尔逊不相容的二阶项，这意味着弯曲效应得到了很好的模拟，我们已经测试了使用的有限元网格在考虑的频率范围内产生了足够精确的计算结果。
还应该提到，防止形成棋盘和依赖的最优拓扑有限元网格细化方案，网格独立过滤器由西格蒙德（1997）和进一步被Sigmund和Petersson（
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