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协同移动机械臂的非完整导航与控制
摘 要
本文提出了一种适用于具有碰撞避免和收敛特性的关节非完整机械臂的第一运动规划方法。基于一类新的非光滑李雅普诺夫函数（DILFS）和一种新的扩展导航函数方法来描述非点关节机械臂。引入的偶极逆李雅普诺夫函数适用于非完整控制，与现有的工具相比具有优越的性能特点。新的势场技术使用了不同的同态变换，并利用了由此产生的点集世界拓扑结构。该组合方法适用于多台非完整移动机械臂在障碍物环境中搬运可变形材料，得到集中协调控制律。仿真结果验证了机械臂的渐近收敛性、避障性、物体变形有界性和奇异性。
索引 非完整运动规划，协同移动机械臂，势场，逆李雅普诺夫函数
第一章 绪 论
非完整机械臂运动规划一直是一个具有挑战性的问题，近年来备受关注[1]、[2]、[3]、[4]。考虑到机械臂系统通信和计算能力的最新进展，当今的重要问题是多个非完整机械臂系统的协调运动问题[5]、[6]、[7]。对于闭环非完整导航，特别是多机械臂系统，目前还没有一个通用的解决方案，部分原因在于问题的复杂性以及没有连续的静态控制方法能够将非完整系统稳定到某一点。
非完整运动规划策略这一类是基于微分几何的[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。研究了非完整性系统的平坦性[14]、[15]、[16]、[17]。其他形式的输入参数化可以导致多速率[18]和时变控制[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。利用齐次变换可以显著提高时变控制器的收敛速度。另一方面，不连续控制律的使用允许指数收敛。这种控制策略可以基于适当地组合不同的控制器[27]，或者使用状态空间[28]、[29]的非光滑变换。
针对无障碍环境制定的运动规划策略不能在有障碍物的情况下应用。通常，问题分解为路径规划和轨迹生成跟踪。大多数用于路径规划的技术都被归类为几何路径规划技术[3]、[30]、 [31]，有几个变化[32]、[33]、[34]、[35]。路径规划问题的求解一般采用图搜索技术。另一种方法是人工势场[36]。
据报道，势场会产生非常好的效果。大量的工作致力于消除局部极小值[37]、[38]、[39]、[40]。谐波势函数[41]不显示局部极小值，但它们不能保证避免碰撞[42]、[43]。在其他技术[42]中，特别有趣的是基于不同对称性的导航函数方法[44]将配置空间转换为拓扑等价空间，在拓扑等价空间中可以构造全局收敛势函数。几何路径规划和人工势场之间的一个根本区别是后者以闭环方式自动合并路径查找和轨迹生成。
这两个类都不能直接解释非完整约束，这可能使规划轨道不可行。Sussmann和Liu [45]、[46]证明，任何无碰撞路径都可以通过一系列可行的非完整路径来近似，这些路径均匀收敛于原始路径（尽管缓慢且振荡[47]）。另一种方法将不可行路径替换为一系列Reeds-shepp[49]路径[50]、[51]。如果所用的非完整控制器满足某些拓扑性质[51]、[50]，则仍然可以保证避免碰撞。
势场方法中的路径规划和轨迹生成的融合，推动了对非完整势场控制器的研究[52]、[53]。De Luca和Oriolo将场矢量投影到允许运动的方向[54]，然而，势场流的完整性不允许建立全部的状态稳定。为了解决这个问题，作者引入了偶极势场[55]。该方法可与导航函数方法相结合，便于非完整间断控制器[55]、[56]的全局稳定设计。
本文在偶极势场和导航函数方法相结合的基础上，提出了一类新的非光滑势函数，称为偶极逆李雅普诺夫函数。这些函数使非完整控制器具有一定的避障和收敛性。这种导航方案除了能够处理非完整约束之外，还提供了比现有方法更优越的性能。本文的贡献可总结如下：
1）构建多体、多关节机械臂导航功能的新方法。
2）一类新的导航功能，适用于非完整运动规划，提供了优越的性能，并且需要较少的调谐工作。
3）针对多个非完整机械臂在有障碍的环境中，在各种任务规范下工作的协同控制方案的开发。
第二节介绍了推动问题，并提出了后续分析的方向。第三节中是我们的第一项贡献，介绍了一种构建多体机械臂系统导航功能的新方法。第四节定义了偶极逆李雅普诺夫函数（dilfs），并建立了其稳定性相关性质；第五节给出了非完整控制器，该控制器基于dilfs方法，解决了推动问题；最后，第七节总结了结果。
第二章 问题描述
本文的研究结果是基于在附加任务约束条件下，多个机械臂在有障碍物的环境中的运动协调问题。为此，假设k个非完整移动机械臂，每一个都在运动学上描述为：
式中为移动机械臂r平台在平面上的位置和方向，和为移动平台的平移和旋转速度，为臂关节变量的矢量，为关节速率输入。移动机械臂R配置定义为：
整个系统配置向量定义为：
移动机械臂应该牢牢抓住一个可变形的物体（图1）。抓取点i与的元素有关。任意的抓取帧可以作为对象的浮动参考帧 [57]。在不失去一般性的情况下，我们可以假设。对于，所有其他的抓手都可以通过抓取向量来描述：
每一个都是一次严格变换[2]。
变形物体[57]的有限元分解将通过一组参数来描述物体的形状。前两个对应于对象浮动参照系的位置和方向，而第三个，是（独立）节点变形的矢量。
然后，以以下形式获得对象动力学方程：
其中是惯性张量的元素，是科里奥利矢量和离心矢量，是外力向量。为了简洁起见，减少了、和对对象配置及其导数的依赖性。在（3）式中节点变形矢量取决于抓取点坐标。由于，从抓手i的未变形配置到其变形的刚性转换可写成，其中表示从对象浮动参照系到未变形抓具的（常量）刚体转换。我们可以用相应的扭曲来表示这种刚性变换：。提取指数坐标时，抓取i对节点坐标的矢量有贡献。在不失去一般性的情况下，我们可以假设我们可以将此向量划分为抓取相关分量和物体相关分量。仅施加重力，物体节点变形的平衡配置将为：
一阶近似法将提供一个关于周围物体运动学的简化描述：
有限元模型[57]的参考条件保证了k o ff的非奇异性。由于材料强度限制，物体变形应保持限制：
图1 在障碍物环境中处理可变形物体的移动机械臂
现在问题可以表述如下：
用一组K平面运动非完整移动机械臂抓取可变形物体，在已知的静态环境中，利用障碍物以协同方式控制系统，使物体变形保持在一定范围内。
为了实现这一目标，我们提出了一种新的非完整系统导航方法，该方法基于一种新的势场函数，称为偶极逆李亚普诺夫函数（DILF）。为了处理机械臂的体积和关节特性，我们开发了一种构造导航函数的新方法，并随后推导出一个不连续的运动反馈控制律，以保证闭环系统的全局渐近稳定性。
第三章 非点集机械臂的势场
创建一个人工势场需要系统及其环境的数学表示。现有的势场方法是基于这样一个假设：系统可以用工作空间中的一个点来表示，对于关节机构和多机械臂系统，这种情况很少发生。本节介绍的方法建立并扩展了Rimon和Koditschek的导航功能方法[44]。它通过一系列不同的变换，为多体关节机械臂创造导航功能。将[44]的球体世界拓扑推到点集世界，允许将转换后的机械臂视为点，并消除局部极小值的出现。
图2 机械臂和障碍物被表示为椭圆体的联合体
本文采用的方法，将机械臂系统和障碍物的形状在三维工作空间中的看作广义N-椭球的联合体：和，其中是覆盖机械臂体积的椭球的索引集，是覆盖机械臂体积的索引集。覆盖障碍物体积的椭球体（图2）。在与椭球半轴对齐的参考框中，椭球可以描述为形式的实值函数的零级集合：
其中和为参数，。的位置和方向用q表示，的边界描述为实值函数的零级集。因此，表示为。函数和在各自的椭球体内部是负的，消失在表面上，并且单调地增加。
当许多独立驱动的刚体在同一个工作空间中运动时，它们的表示就成了问题，通过观察，每个运动体对周围世界有自己的“解释”，得出了解决方案。对于每一个物体，任何其他物体，无论是移动的还是静止的，都是一个障碍物。在这种观点下，最初的工作空间实际上是所有这些个人主观世界观嵌入到一个单一的三维空间中的结果。因此，为了能够设计每一个刚体的运动，我们首先需要将这些视图分开处理。
对于机械臂系统的每个刚体P，我们定义一个工作空间的特殊副本（图3（b））。在每一个中，一系列平滑的变换产生了机械臂零件和所有障碍物都用点表示的空间。首先，将每个机械臂部件的体积缩小到一个点（图3（c）），然后将机械臂部件“看到”的所有障碍物也缩小到一个点（图3（d））。在生成的点世界中，可以定义导航函数，它们的构造和调整比在球体世界中更容易。
- 转换到点集世界
对于任意工作空间，设为该特定工作空间中被视为障碍物的椭球体，为刚体p上的椭球体，如果需要明确地控制p的方向，则可以形成组，并为每组定义单独的，这样。然后，控制每个的位置，我们施加一个特定的方向。在与椭圆半轴对齐的参考框中，由函数给出：
在此框架中，转换：
将映射到以为中心的单位球体。通过变换，将该单位球面简化为：
在适当的坐标系中，我们可以假设每个所需的配置都是源。定义分析转换[44]：
其中，lambda;是一个参数。的转变：
将刚体p降低到点（图3（c））。
图3 (a)：原始工作空间；(b)每个刚体的工作空间副本；(c)刚体简化为点；(d)变形障碍物简化为点
备注1。记住，我们需要区分处的势函数，我们必须确保逆变换存在且平滑。各的逆映射如下：
而且，不管的逆像不能直接计算，有一个极限取决于的接近方向。为此，在极坐标中表示，并验证：，其中是极坐标。开关没有在的交叉点上定义，但在这种情况下也存在限制。事实上，有了一些额外的计算成本，我们可以通过将每个嵌入到它自己的工作空间中并忽略其相邻的椭球体来隔离它。在任何情况下，极限的存在都确保了变换是不同的纯态。
变换使中的形状变形（图3（c））。下一个转换将变形的减少到点。定义分析转换，
以及映射，
将简化为点并转换（图3（d））。连续应用（7）和（9）产生工作空间，其中机械臂部件及其障碍物用点表示。测量机械臂P部分接近障碍物的距离可以是：
导航功能的一个可能选择是[44]：
其中为调谐常数。
B.有界物体变形
对象的建模与操纵器结构类似，将一组椭球指定给可变形对象中的每个节点。表示物体体积一部分的每个椭球的位置由抓取向量s到（4）确定。
方程（5）规定了节点变形的上限。这些上限可以改写为椭球的空间公差。这些公差定义了的容许区域，当推过时，可由以未变形配置为中心的球来近似（图III-B）。这样，条件（5）可以转换为形式的更保守的约束：
约束（11）可以表示为的障碍：
图4 (a)：在其公差范围内的对象椭球体；(b)在其球形容许区域内的转换椭球体
将奇点表示为人工障碍物可以实现奇点回避。自从人工势场首次出现在文献[36]中以来，这一直是人工势场的主要功能之一。奇点区域是构形空间中的测量零点集合，但其形状和位置取决于机械结构，不能对任意机构进行一般性描述。在设计良好的机械臂中，内部奇点区域通常受到限制，在许多情况下，它们可以解耦到依赖于配置变量子集的类[58]。在这种情况下，总是可以将奇点区域封闭在代表影响机械臂末端执行器运动的人工障碍物的椭球内。
奇点可以描述为方程的解：，其中表示机械臂的雅可比矩阵，可以考虑平台臂系统的复合雅可比矩阵，也可以只考虑机械臂雅可比矩阵。通过将椭球简化为点，引入人工障碍物确保避免奇异性：
适用于机械臂系统中的所有刚体。
第四章 偶极逆李雅普诺夫函数
文献中出现的传统人工势场可以为完整点机械臂在障碍物环境中的导航问题提供解决方案[3][44]，但这些方法都没有考虑到机械臂可能受到的非完整约束。因此，由势场决定的所需运动方向可能是不可行的。基于这种传统人工势场的反馈控制器的应用可能导致机械臂在不构成势函数局部极小值的情况下被固定。在剩下的部分中，我们将介绍一种适用于非完整导航的新型势场。这种势场产生了一类新的非光滑李雅普诺夫函数（ILF），它可以与非完整控制器相结合，从而使目标结构具有全局渐近稳定性，避免了碰撞。
A.偶极势函数
偶极势函数是一个非光滑函数，其设计使得原点处的势场与车辆所需方向一致（图IV-A）。非线性标度可以产生一个向量场，它允许发展一个全局稳定状态反馈控制律。
图5 障碍物周围的偶极势场
由偶极势函数得出的控制律并不能避免车辆在初始条件，包括的特定组合下原地旋转的需要。然而，它们可以保证，在所有初始条件下，车辆将渐进地接近目的地，在此过程中，车辆将沿着自动稳定其方向的路径行驶。只有在初始条件要求时，才需要在初始时间旋转到位。
偶极势函数可以直接由传统的导航函数[44]构造，将其法向量与所需方向平行的超平面视为人工障碍物。对于单个机械臂来说，这个“人工障碍物”应该将配置空间精确地分隔到两个连接的区域。在多机械臂的情况下，配置空间必须划分为连接区域，每个区域包含原点。让表示移动机械臂r平台转化成的点，并定义分离面Gamma;：
其中表示内积，表示在下的图像。由于分析开关（6）和（8）在原点处消失，因此和在原点处成为同一。通过连续性，，因此_垂直于所需平台方向。将人工障碍定义为：
然后，根据（10）、（12）、（13），可以形成一个偶极势函数：
B.逆李雅普诺夫函数
导航函数作为李雅普诺夫函数的候选者，构造导航函数的能力非常重要，因为它提供了直接的稳定性结果。然
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