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水泵运行的元启发式算法比较优化点
A.M. Bagirov1, S.T. Ahmed1, A.F. Barton1;2, H. Mala-Jetmarova1, A. Al Nuaimat1 and N. Sultanova1
1 School of Science, Information Technology and Engineering, University of Ballarat, VIC, Australia,
2 GWMWater, Horsham, VIC, Australia.
摘要：
抽水成本是配水系统总运行成本的重要组成部分。泵浦成本最小化问题有不同的优化公式，包括应用连续规划和整数规划方法的优化公式。到目前为止，主要应用了各种元启发式算法来解决这个问题。然而，还没有对这些元启发式算法进行全面的比较。这种比较对于识别不同算法的优劣具有重要的意义，而优劣的优劣直接影响到算法的性能。本文提出了一种求解泵浦成本最小化问题的比较分析方法。该方法包括以下比较标准:(a)获得最优解决方案;(b)效率;和(c)鲁棒性。
应用的算法有:粒子群优化算法、人工蜂群算法和萤火虫算法。结果表明，人工蜂群是最健壮的，萤火虫算法是最有效最精确的算法。
简介：
对于已建立的配水系统(WDS)，操作成本包括泵的操作、网络维护以及水处理和消毒的成本。泵的运行成本通常是总体运行成本的主要贡献者。泵需要根据制造商指定的总运行时间进行维护。通过减少泵的运行时间和相应的泵开关数量(开/关)，可以节省泵的运行成本。在20世纪60年代这可以通过寻找最优的泵浦计划来实现。
应用确定性和元启发式(随机)技术，研究了抽水运行成本最小化问题。确定性技术包括动态规划、线性规划、非线性规划和混合整数非线性规划算法。元启发式技术包括粒子群优化(PSO) (Kennedy and Eberhart, 1995)。人工蜂群(ABC) (Karaboga and Basturk, 2007)和firefly (FF) (Yang, 2009)算法。
元启发式算法一直是泵运行优化领域的研究热点。Wegley等(2004)将PSO与水力模拟模型集成在一起，优化泵的运行，从而为生产通用的优化工具提供了更好的机会。
在本文中(Dandy et al.， 2010)，作者利用两个测试问题对三种元启发式算法，即遗传算法、粒子群优化算法和差分进化算法进行了比较。然而，对于WDS操作的元启发式算法还没有进行全面的比较。这种比较对于识别不同算法的优劣具有重要的意义，而优劣的优劣直接影响到算法的性能。在本文中，我们提出了一种求解泵浦成本最小化问题的广泛使用的元启发式算法的综合分析方法，该方法包括以下比较准则:(a)得到的“最优解”;(b)的效率;和(c)的鲁棒性。应用的算法有:PSO算法、ABC算法和FF算法。将这些算法应用于具有隐式定速泵行程的文献测试问题。
算法：
在这一节中，我们简要描述了比较分析中使用的算法。这些算法的更详细的定义可以在参考文献中找到。
粒子群算法：
PSO是由Kennedy和Eberhart(1995)首次提出的单目标优化，是基于对鸟群中鸟类社会行为的模拟。PSO的流行是由于其相对简单和易于实现。它被证明是有效的，在广泛的应用，以较低的计算成本良好的结果(Dehuri et al.， 2011)。
PSO算法首先随机选择初始群中的一组粒子，然后这些粒子根据之前的搜索经验在搜索空间中不断移动来找到解。粒子会根据个体模仿邻居成功的社会心理倾向，从一个搜索点改变到另一个搜索点。因此，粒子自身和它的邻居的经验引导它从一个搜索位置重新定位到另一个。当一个群的所有粒子改变它们的位置时，会产生大量关于解空间的信息。这些信息被群体中的所有成员共享，这有助于他们走向更好的解决方案。每个粒子的轨迹都是这样调整的:粒子朝着它自己的最佳个体极值解移动，并朝着整个群体中最好的粒子全局极值解移动(Dehuri等。2011)。
粒子i在d维搜索空间中的位置和速度矢量可以表示为Ei= (Til, Ti2,1;3，hellip;，Tid)， vi=(Vil, Vi2, V#39;i3， ..,分别Vid)。应用用户定义的适应度函数，发现粒子i在t时刻的最佳适应度位置为pi=(pil, pi2, Pi3，hellip;， Pid)也被称为个体位置极值。同时，最适粒子全局极值在整个群体中的位置为pa= (Pal, Pa2, Pa3， ..)、垫)。在时刻(t 1)，粒子的位置和速度可由下式计算:
（1）
（2）
其中ri和r2是在[0,1]范围内独立生成的两个随机数，w为惯性权重，用于控制以往速度历史对给定粒子当前速度的影响。z1被认为是一种代表吸引力的认知学习因子，粒子本身就具有这种吸引力。zo被认为是一种社会学习因素，代表了粒子对其邻居成功的吸引力。粒子群算法利用方向变异算子将粒子的速度设定为一个特定的方向，该方向取决于粒子和群体的最佳适应度值。如果个人最好和全球最好之间的潜在方向夹角很小，那么探索空间就很小。如果角度较大，则在较大的搜索空间上进行探索。有时使用变异运算符来随机化搜索方向。PSO的伪代码如下(Dehuri et al.， 2011):
Parameter setting and initializing the swarm.
Evaluate fitness pbest of each Particle and locate swarm best gbest.
Count = 0;
DO
i = 0;
DO
update velocity and position of each particle
with equations (1) and (2)
Evaluate fitness with user defined fitness function.
Update pbest.
i ;
WHILE ( i lt; Total Particle number)
Update swarm leader gbest.
Count ;
WHILE(count lt; MaxCount)
人工蜂群算法：
ABC算法的灵感来自蜜蜂在寻找食物时的社会行为。任何食物来源都被认为是一种解决方案。在该算法中，群体中有三种不同类型的蜜蜂:工蜂和侦察蜂。被雇佣的蜜蜂是在去它以前去过的食物来源的路上。一只旁观的蜜蜂等待着根据被雇佣的蜜蜂提供的信息做出选择食物来源的决定。一只侦察蜂进行随机搜索，寻找新的食物来源。侦察蜂基本上是一种被雇佣的蜜蜂，它的食物来源已经枯竭。工蜂和旁观蜂的数量相等，工蜂和旁观蜂的总数称为蜂群大小，工蜂或旁观蜂的数量等于溶液的数量(SN)。
在第一步，ABC生成一个随机分布的SN解的初始总体P(C#39;= 0)。每个解决方案中z= 1.2。SN是一个d维向量。d为优化参数个数。初始化后，位置(解)的总体经过重复的搜索过程(C#39; = 1.2hellip;在达到终止准则(MC n)之前，被雇佣的蜜蜂按照如下公式修改其记忆中的位置(vi.i):
（3）
这里，h E{1,2，hellip;， SN}和j E{1,2，hellip;， dy是随机选取的指标。虽然h是随机开采的，但它必须与i不同。是介于[- 1,11]之间的随机数。一旦找到新职位。所建立的蜜蜂利用以下方程测试新源(新溶液)的花蜜量(适应度值):
（4）
根据新旧资源的适应度值，被雇佣的蜜蜂将最好的一个留在记忆中，而丢弃另一个。在完成搜索过程后，被雇佣的蜜蜂与旁观的蜜蜂分享食物来源的花蜜信息和位置信息。旁观者对所有被雇佣蜜蜂的花蜜信息进行评估，并根据概率值p选择食物来源,计算公式如下:
（6）
ABC算法有三个控制参数(Karaboga and Basturk, 2007: Karaboga and Ozturk)。
食物来源数量(SN);
被遗弃的限制;
最大循环数(MCN)。
与其他鲁棒搜索方法类似，ABC算法同时使用探索和演算过程。在ABC中，旁观者和被雇佣的蜜蜂在搜索空间中执行ex - ploitation过程，而侦察兵控制探索过程。所采用的邻域搜索(由(3))和旁观者蜂的贪婪选择机制都会影响ABC算法的局部搜索性能。侦察蜂所采取的随机搜索过程和邻近解产生机制(由(3))所执行的em loyed和旁观者蜂都影响着ABC的全局搜索性能。
ABC算法的伪代码(Karaboga and Basturk, 2007;Karaboga和Ozturk 2011)如下:
Generate the initial population zi where i = 1; 2; : : : ; SN
Evaluate the cost function fi and fitness fiti of the population
Set the cycle to 1
REPEAT
FOR each employed bee{
Produce new solution vi by using (3)
Calculate the value fi and fiti
Apply greedy selection process}
Calculate the probability values pi for the solutions (zi) with (5)
FOR each onlooker bee{
Select a solution zi depending on pi
Produce new solution vi
Calculate the value fi and fiti
Apply greedy selection process}
IF there is an abandoned solution for scout
THEN replace it with a new solution
which will be randomly produced by (6)
Memorize the best solution so far
cycle = cycle 1
UNTIL cycle = MCN
萤火虫算法：
萤火虫通过生物发光产生有节奏的闪光，主要有两个原因:(i)吸引配偶和(ii)吸引潜在的猎物。在某些情况下。这种光线还能让捕食者想起萤火虫的苦味，起到威慑作用。萤火虫发出的光只能在几百米内看到。主要原因是光强I随距离r的减小而减小，可以用下式表示:
（7）
此外，空气对光线的吸收也降低了它的能见度。2007年,X.-Sh.杨利用萤火虫闪烁相关特性，利用以下三条规则制定优化算法(杨，2010):
1. 萤火虫互相吸引，不分性别
2. 在任何两只闪烁的萤火虫之间，吸引力与它们的亮度成正比。随着距离的增加，光的强度和亮度都降低，反之亦然。不太乐观的萤火虫总是走向光明,他们随机移动,如果亮度是一样的。
3.景观的客观功能决定了特定萤火虫的亮度。
在这个算法中。萤火虫的亮度可以与目标函数或适应度函数的值成正比。在x位置，亮度或强度与r处的函数值(即)成正比。i、j位置上任意两只萤火虫的吸引力随距离的不同而变化;它们与介质的吸收性能之间的关系。如果是源点的强度，可以表示为:
(8)
如果一种介质具有固定的光吸收效率y和Io，则原始光强为：
(9)
式(8)和式(9)可以用高斯形式组合:
（10）
可以进一步近似为：
（11）
当吸收参数gamma;足够小时。萤火虫的吸引力与其邻居看到的光强度成正比。由下式定义：
(12)
其中是r=0时的吸引力。与式(10)相似，对于足够小的gamma;值，式(12)可替换为:
(13)
式(13)建立特征距离，吸引力从变化为。这个方程也可以写成如下形式:
, (14)
对于eta;固定的介质，其特征
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