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附录A 译文
发展早期数的概念
孩子在来到学校时总对数字充满着许多想法。这些想法应该建立在我们和孩子们一起工作的基础上，帮助他们发展新的关系。但是，大量的学生在四、五年级甚至更高的年级对数的理解还只局限于数数。孩子们需要时间和大量的经验来发展对数字的全面理解，这些理解将在更高的年级成长并发展成更高级的数字相关概念。
这一章着眼于多达20个的数字思想的发展。这些基本思想都可以扩展到更大的数、运算、基本事实和计算。
主要想法
- 计数表示一组中有多少东西。对一组对象计数时，计数序列中的最后一个数字表示该组对象的数量。
- 数字通过各种数字关系相互联系。例如，数字7大于4，比9小2，由3和4以及2和5组成，与10相距3，并且可以很快地识别出几种图案排列的点。这些想法进一步扩展到对17、57和370的理解。
- 数字概念与我们周围的世界紧密相连。将数字关系应用于真实环境标志着以数学的方式理解世界的开始。
内容间的联系
早期数的概念发展与课程中的其他领域有两种关系：与数的概念发展相互作用并促进其发展的内容和直接受早期数字概念发展程度影响的内容。测量、数据和操作的含义在第一类别。基本事实、位置值和计算在第二类别。
- 操作（第9章）：当孩子们为四种操作中的任何一种解决故事问题时，他们会数数、倒数、分组和计数，并进行比较。在这个过程中，他们形成了新的关系和处理数字的方法。
- 测量（第19章）：对幼儿来说，测量长度、身高、大小或体重是数字的重要用途。测量包括有意义的计数和比较（数字关系），并将数字与孩子生活的世界联系起来。
- 数据（第21章）：数据和测量一样，都涉及到统计和比较，这两方面都有助于发展数的概念，并将其与现实世界的情况联系起来。
- 基本事实（第10章）：数量关系的丰富和深入发展是掌握基本事实的重要基础。没有数字关系，事实必须死记硬背。有了数字理解，加法和减法的事实是相对简单的扩展。
- 位值和计算（第11章和第12章）：许多有助于数字计算流畅性和灵活性的思想是数字与10的关系以及数字如何以不同方式分解和重组的扩展。
良好的开端
2002年，NCTM和国际青少年教育联合会（NAEYC）发表了一份联合立场声明，强调所有儿童都需要尽早开始学习数学。这种对准备就绪的强调与国家数学咨询小组（2008年）最近的研究结果一致。这份立场声明提出了十项基于研究的建议，以帮助教师为3至6岁儿童开展高质量的学习活动：
- 提高孩子们对数学的自然兴趣，以及他们利用数学来理解自己的物理世界和社会世界的倾向。
- 以儿童的经验和知识为基础，包括他们的家庭、语言、文化和社区背景；他们的个人学习方法；以及他们的非正式知识。
- 以幼儿认知、语言、身体和社会情感发展知识为基础的数学课程和教学实践。
- 使用课程和教学实践，加强孩子的问题解决和推理过程，以及代表，沟通和连接数学思想。
- 确保课程与重要数学思想的已知关系和顺序一致。
- 让孩子们与关键的数学思想进行深入而持久的互动。
- 数学与其他活动相结合，其他活动与数学相结合。
- 为孩子们提供充足的时间、材料和教师支持，让他们参与游戏，在游戏中，他们以浓厚的兴趣探索和操纵数学思想。
- 通过一系列适当的经验和教学策略，介绍数学概念、方法和语言。
- 通过深思熟虑和不断评估所有儿童的数学知识、技能和策略来支持儿童的学习。
暂停并反思
尽管所有这些建议都很关键，作为一名教师，你认为哪两项对你来说最重要？
学前教育和幼儿园中数的概念的发展
家庭帮助孩子数数他们的手指、玩具、桌旁的人和其他小物件。关于“谁拥有更多？或者“够了吗？”？“是2、3岁儿童日常生活的一部分。大量证据表明，这些儿童已经开始理解数字和计数的概念（Baroodyamp;Wilkins，1999；Fuson，1988；Gelmanamp;Gallistel，1978；Gelmanamp;Meck，1986；NRC，2001）。因此，我们包括丰富的活动，以支持各种不同的经验，幼儿需要获得充分理解的概念。
多、少、同的关系
“更多”、“更少”和“相同”的概念是构成数字整体概念的基本关系。孩子们在开学前就开始发展关系观念。几乎所有进入幼儿园的孩子都可以选择数量明显不同的那两套。事实上，Baroody（1987）指出，“一个不能以这种直观的方式使用lsquo;较多rsquo;的孩子会面临相当大的教育风险”（第29页）。课堂活动应该帮助孩子们建立并完善这个基本概念。
虽然较少的概念与较多的概念在逻辑上是相关的（选择多的集合与不选择少的集合是一样的），但事实证明较少这个词对孩子来说比较多更难。一个可能的解释是，儿童有很多机会多用这个词，但接触这个词的机会有限。为了帮助孩子们理解“少”这个概念，要经常把它和“多”这个词搭配起来，并有意识地问“哪个是少？”以及“哪个更重要？”。例如，假设你的班级已经正确地从给定的两个集合中选择了一个集合。紧接着问：“哪个少？”这样，概念就可以与更为人熟知的概念联系起来，而“少”这个词就可以变得更为熟悉。
对于所有三个概念（更多、更少和相同），孩子们应该使用计数器构造集合，并在两个给定集合之间进行比较或选择。应本着调查的精神开展下列活动，并尽可能要求做出解释。“为什么你觉得这一份比较少？”
活动8.1制作多/少/相同的集合
在一个工作站或桌子上，提供大约8张卡片，其中包含4到12个对象，一组小计数器或块，以及一些标有“多”、“少”和“相同”的单词卡片。在每张卡片旁边，让学生收集三组计数器：一组多，一组少，一组相同。适当的标签放置在集合上（见图8.1）。
图8.1制作多/少/相同的集合
在活动8.1中，学生创建一个带计数器的集合，这使他们有机会反思集合并在工作时进行调整。下一个活动是在没有计数器的情况下完成的。虽然它涉及相同的基本思想，但它提供了不同的问题情况。
活动8.2找到相同的数量
给孩子们一套套卡片他们。卡片的点数是一种可能性。让孩子们拿起收藏中的任何一张卡片，然后找另一张同样数量的卡片组成一对，继续寻找其他配对。这个活动可以改变，让孩子们找到“少”或“多”点数的卡片。
观察孩子们做这项工作。如果孩子们的数字观念完全与计数联系在一起，那么他们就会随机选择卡片，数一个点。其他人则会先选择一张点数大致相同的卡片。这表明理解水平明显提高。还要观察点是如何计数的。计数准确吗？一次只算一次吗？孩子数的时候需要摸那个点吗？对孩子们来说，一个重要的里程碑发生在他们开始识别小图案集而不进行计数时。
暂停并反思
你已经开始看到一些早期关于数字的基本概念。现在停下来，列出你认为孩子们在一年级结束时应该知道的关于数字8的所有重要想法。（以数字8为例。这个列表可以是从6到12之间的任意数字。）把你的想法放在一边，我们稍后再讨论这些想法。
早期计数
有意义的计数活动从幼儿园开始。一般来说，幼儿园中的孩子应该对数数有一定的理解，但孩子们必须建构这个观念。不能强迫。只有计数顺序是死记硬背的程序。计数的意义是所有其他数字概念发展的关键概念。
计数技能的发展。计数至少涉及两种不同的技能。首先，一个孩子必须能够按顺序列出标准的数词表：“1，2，3，hellip;”。第二，孩子必须能够以一对一的方式将此序列与集合中正在计数的项连接起来。每个项目必须得到一个，而且只有一个计数。
经验和指导是培养这些计数技能的主要因素。许多上幼儿园的孩子都能数到十或更多。同时，背景知识薄弱的儿童可能需要额外的练习来增强他们的背景经验。布景的大小和排列也是影响计数成功的因素。显然，较长的数字串需要更多的练习来学习。前12个计数不涉及模式或重复，许多儿童在青少年时期不容易识别模式。仍在学习数数技能的儿童，也就是说，应给他们一组可以移动的积木或计数器，或一组排列成便于数数的图案的图片。
有意识地接触计数。Fosnot和Dolk（2001）非常清楚地表明，对于4岁的孩子来说，理解基数和计数之间的联系并不是一件简单的事情。孩子们将学习如何计数（将计数词与对象匹配），然后才能理解最后一个计数词表示集合的数量或集合的基数。有这种联系的孩子据说有基数原则，这是对他们早期关于数量的观念的改进。大多数，但肯定不是所有，4岁半的孩子都有这种联系（Fosnotamp;Dolk，2001；Fusonamp;Hall，1983）。
能口头数数的幼儿可能对他们的数数没有附加意义。给孩子看一张卡片，卡片上有五到九个大点，这样他们就可以很容易地数到。让孩子数点。如果计数准确，问“卡片上有多少个点？”？“很多孩子会再数数。理解第一次计数的一个迹象是反应第一次计数而不重新计数。现在让孩子从计数器集合中获得相同数量的计数器：“请获得与卡片上点相同数量的计数器。”有几个指示器需要注意。孩子会数数知道要得到多少吗？孩子是数数计数器还是把它们一对一地放在点上？孩子是否确信计数器的数目与点的数目相同？
Fosnot和Dolk讨论了一个4岁孩子的班级，在这个班上，有17个孩子不确定他们应该得到多少牛奶盒，但至少每个孩子有一盒。为了发展他们对数数的理解，让孩子们参与几乎所有涉及数数和比较的游戏或活动。下面是一个简单的建议。
活动8.3填满滑槽
创建一个简单的游戏板，上面有四个“滑槽”，每个滑槽由一列约12个1英寸的正方形组成，顶部有一颗星星。孩子们轮流滚动骰子并收集指定数量的计数器。然后他们把这些柜台放在一个滑槽里。目标是用计数器填充所有滑槽。作为一种选择，要求准确填充滑槽。计数器为5不能用来填满一个有四个空位的滑槽。
这个“游戏”为你提供了和孩子们谈论数字和评估他们思维的机会。看孩子们如何数模具上的圆点。问：“你怎么知道你有正确数量的圆片？还有你在滑槽里放了多少个圆片？你还要加满多少？”
活动8.1和8.2也为形成性评估提供了机会。有规律的课堂活动，比如在吃零食的时候数数需要多少餐巾纸，是孩子们学习数字和老师倾听学生想法的额外机会。
数字书写与识别
帮助孩子读写一位数的数字和教他们读写字母表中的字母是相似的。两者都与数字概念无关。传统上，教学包括各种形式的重复练习。孩子们在一页页的数字上描，反复写从0到10的数字，用粘土做数字，在沙子上描，写在黑板上或空中，等等。
计算器是一种很好的数字识别教学工具。除了帮助孩子学习数字外，早期活动还有助于培养对计算器的熟悉程度，从而使更复杂的活动成为可能。
活动8.4在计算器上寻找并按下数字
每个孩子都应该有一个计算器。首先让孩子们按清除键。然后你说一个数字，孩子们在计算器上按这个数字。如果您有一个开销计算器或交互式白板，那么您可以向孩子们显示正确的键，以便他们确认自己的回答，或者您可以将数字写在白板上供孩子们检查。从一位数开始。后来，进展到两个或三个数字叫成功。例如，叫“3，7，1”，孩子们按完整的数字串。
也许最常见的学龄前和幼儿园练习是让孩子们用数字进行配对。给孩子们一组图片，让他们写下或匹配数字，告诉他们有多少。或者，给他们一个数字，让他们用这么多的物体做一个集合。虽然许多教师资源书描述了学习中心的活动，孩子们把一个数字与正确的大小集，如百合花垫上的编号青蛙（与点），重要的是要注意到，这些活动只涉及计数集和数字识别或写作的技能。当孩子们在这些活动中取得成功时，是时候转向更先进的概念了。
来回数数
虽然正向数列对大多数幼儿来说比较熟悉，但数数和倒数对许多人来说都是很难掌握的技能。建议经常进行短期练习。
活动8.5从小到大数和从大到小数
以一种有节奏的方式向上和从一个目标数字往回数数是一项重要的计数练习。例如，把五个孩子和五把椅子排在教室前面。全班从1数到5，孩子们一次坐一个。当达到目标数字5时，它会重复；孩子坐在5号桌上，数到1号。倒数的时候，孩子们一次一个站起来，以此类推，“1，2，3，4，5，5，4，3，2，1，1，2，hellip;”幼儿园、幼儿园和一年级的孩子都觉得这样的练习既有趣又有挑战性。任何动作（拍手、转身）都可以有节奏地上下移动。
图8.2数数：“藏四个。从隐藏的数开始计数。”
最后一个活动的目的是帮助学生熟练掌握正反两种顺序的数字单词，并用1以外的数字开始计数。虽然对年轻学生来说一点也不容易，但这些活动并没有以一种有意义的方式来解决指望或倒数的问题。Fosnot和Dolk（2001）将这种能力描述为数字道路上的“里程碑”感觉。感觉接下来的两项活动就是为此而设计的。
活动8.6用计数器数数
给每个孩子一个10或12个圆片的集合，孩子们从左到右排列在他们的桌子上。告诉他们数到四个计数器，然后把它们放在左手下面或放在杯子里（见图8.2）。然后说，“指着你
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