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- 帮助孩子掌握基本原理
加法和乘法的基本原理是指加数或因数都小于10的组合。减法和除法对应于加法和乘法。因此，15 - 8 = 7是一个减法，因为相应的加法部分小于10。
掌握一个基本原理意味着孩子可以做出快速的反应(大约在3秒内)，而不用使用低效的方法，比如计数。根据NCTM的课程重点，加减法的概念要在一年级学习，在二年级就能快速回忆起基本的加减法知识。与此相关的是，在三年级时要学习乘法和除法的概念，在四年级时要快速回忆掌握的知识。
掌握了基本原理，用它发展快速准确的记忆是一个发展的过程——就像这本书中的每一个主题一样!让学生充分了解自己掌握的知识是至关重要的——而要教好这些知识，需要的不仅仅是闪卡和计时测试。本章解释了帮助学生学习原理的策略，包括使用和避免使用的教学方法。
大思路
1．数字关系为帮助学生记忆基本事实的策略提供了基础。例如，了解数字与5和10之间的关系，可以帮助学生掌握诸如3 5(是一个小于10的组合)和8 6(因为8与10相差2，所以6减去2，10 4 = 14)这样的事实。
2．“加法思考”是思考减法原理的最有效方式。而不是13“拿走6”，这需要倒着计数，同时记录有多少，学生可以思考6和什么是13。他们可能加起来是10或者他们可能认为两个6是12，所以这个数，它一定是7。
3．因为掌握基本原理是一个发展的过程，学生们经历了几个阶段，从数数开始，然后是更有效的推理策略，最后是快速回忆。教学必须帮助学生通过这些阶段，而不是催促他们死记硬背。
内容之间的关系
正如《大思想》中所描述的，掌握基本原理并不是真正的新数学;相反，它是对已经学过的想法的流畅发展。
数字与运算1(第8、9章):事实掌握程度很大程度上取决于学生对数字关系的构建程度以及对运算的理解程度。
对基本原理的熟练掌握使计算变得容易，特别是心算，因此有助于在每一个与数字相关的领域进行数字推理。虽然计算器和繁琐的计数对那些不掌握原理的学生是有用的，但是依赖这些简单的数字组合的方法对数学学习是一个严重的障碍。
掌握基本原理的发展性
想要教好基本知识，就必须理解学生在各个阶段的发展状况，不然最终“只知道”学生们掌握了2 7等于9或5 times; 4等于20。Arthur Baroody，一个研究基本事实的数学教育家，描述了这一过程中的三个阶段(2006，第22页):
阶段1:计数策略-使用对象计数(例如，块或手指)或口头计数来确定答案。例如:4 7。学生从7开始，从8、9、10、11开始数。
阶段2:推理策略——使用已知信息从逻辑上确定一个未知的组合。例如:4 7。学生知道7 3 = 10，所以7 4 = 1 11。
阶段3:熟练地(快速而准确地)给出答案。例如:4 7。学生很快回答:“是11;我就是知道。”图10.1概述了学生在发展过程中解决基本的加减法问题的方法。
多年来的许多研究都支持基本原理掌握依赖于推理策略的发展(Baroody, 2003, 2006;Brownell amp; Chazal, 1935年;Carpenter amp; Moser, 1984;Fuson, 1992;Henry amp; Brown, 2008)。本章重点介绍了推理策略和有效的方法，教学生运用推理，掌握基本原理。
掌握基本事实的发展性
为了帮助孩子们掌握基本知识，可以找出三种不同的方法。首先是单独记忆每一个原理。第二种方法至少可以追溯到20世纪70年代(Rathmell, 1978)，它表明，对于各种基本原理的课程，我们教授学生一系列的策略或思维模式，这些被发现是有效的和可教的。第三种方法，“引导式发明”，也侧重于使用策略来学习原理;然而，这些策略是由学生产生或重新设计的。下面的部分将简要讨论每种方法。
记忆的原理。一些教科书和老师从简单地讲解加法和乘法的概念，转向死记硬背，跳过了制定策略的过程。这意味着学生有100个单独的加法方法，(0-9)和100个单独的乘法方法。他们甚至需要分别记住减法和除法。然而，现实是，许多学生在四年级和五年级没有掌握加减法的原理，学生在中学和以后不知道他们的乘法事实强烈，表明这种方法根本不起作用。你可能会说，你和其他很多学生一样，是通过这种方式学习知识的。然而，1935年Brownell和Chazal的研究得出结论，尽管孩子们经历了大量的单独地训练，但他们对基本原理掌握，发展出了各种不同的思维过程或策略。不幸的是，演练并不能鼓励或支持这些策略的细化。此外，Baroody(2006)指出，这种基本事实教学方法不利于数学能力的发展(见第24-25页)，并指出了以下局限性:
效率低下。要记住的事实太多了。
不恰当的使用基本原理，不检查他们的作业。
不灵活。使学生没有学习灵活的策略来找到和(或乘积)，但是任然继续使用计数。
练习同样也是个问题。学习困难的学习者和有学习障碍的学生往往很难记住这么多孤立的原理，但却可以很成功地使用策略。此外，练习会造成不必要的焦虑，削弱学生对数学的兴趣和信心。
图10.1加减法基本原理掌握的发展过程。来源:Henry, V. J.， amp; Brown, R. S.(2008)。一年级的数学基本原理:速成、高要求记忆标准的教与学调查《数学教育研究》，39(2)，p. 156。允许转载。版权所有copy;2008全国数学教师委员会，www.nctm.org。保留所有权利。
明确的战略指导。大约30年来，向学生展示一种适用于掌握一系列原理的有效策略一直很受欢迎。然后学生们按照他们展示的策略进行练习。有强有力的证据表明这种方法是有效的(例如，Baroody, 1985;Bley amp; Thornton, 1995年;Fuson、1984、1992;Rathmell, 1978;《Thornton amp; T oohey》，1984年)。本章将讨论这些研究人员开发和验证的许多想法。
明确的策略教学旨在支持学生的思维，而不是强迫学生使用他们已经记住的策略。有时，教科书或老师关注的是记忆策略以及哪些原理与该策略相匹配。然而，这是行不通的。当学生记忆对他们来说没有意义的策略时，他们很可能会误用它们。事实上，最近的一项研究发现，严重依赖教科书(主要是记忆基本原理策略)的教师，其学生的数字感能力较低(Henry amp; Brown, 2008)。此外，学生不能很好地记忆，所以他们求助于计数。关键是帮助学生看到希望，然后让他们选择策略，帮助他们在不计算的情况下找到解决方案。
引导发现。第三种选择可能被称为“引导性发明”(Gravemeijer amp; van Galen, 2003)。在这种有效的方法中，原理的掌握与学生对数字关系的收集有着错综复杂的联系。一些学生可能认为6 7是“两个6的和是12，多了1就是13。”在同一类中，其他人可能会注意到7与10相差3，所以把6中的3与7放在一起，得到10。然后把剩下的3个加起来。还有一些学生可以从每个加数中取5，得到10，然后把剩下的1和2加起来。重要的是学生们在使用他们所拥有的数字组合和关系，这对他们来说是有意义的。Gravemeijer和van Galen称这种方法为引导发现，因为许多有效的策略不可能由所有的学生在没有一些指导的情况下开发出来。也就是说，我们不能简单地把我们所有的努力都放在数字关系和运算的意义上，并假设对原理的掌握会像魔法一样发生。基于学生对故事问题的解决方案的课堂讨论，以及其他数字任务和游戏将为课堂带来各种策略。孩子们选择和适应对他们有意义的思想。教师的工作是设计任务和问题，这些任务和问题将促进学生发明有效的策略，并确保这些策略在课堂上被清楚地表达和分享。正如第8章所述，教师关注丰富的数字关系的发展是至关重要的。
引导策略的发展
为了引导你的学生使用有效的策略，你自己需要掌握尽可能多的好策略。有了这些知识，你将能得到更多有效的策略，然后学生们会接纳你给出的策略，并融入自己的想法。
你需要总结经验，帮助学生从计数转向记忆策略。一种批判性的方法是使用简单的故事问题，设计的方式是让学生在解决问题时最有可能形成策略。在讨论学生策略时，你可以把注意力集中在最有用的方法上。第二，传授推理策略。这可以帮助学生扩大自己的心理策略集合，远离计数。然而，我们要提醒的是，这一指令应该强调策略，而不是让学生记忆或被要求使用它们。
故事类的问题。故事题提供了情境，可以帮助学生理解情境，并应用灵活的策略进行计算。例如，考虑这个类正在处理times; 3这一原理。老师提出以下问题: 三周后我们将去动物园，离去物园还有多少天?
假设艾丹解释了她是怎么算出3 times; 7的，从7(14)开始，然后再加7。她知道6加14等于20,1加21。你可以请另一个学生解释一下艾登刚才分享的内容。这就要求学生结合来自同学的想法。现在和同学们一起探索，看看还有什么事实可以和艾登的策略相配合。这个讨论可能包括多种策略。有些人可能会注意到，所有包含3的事实都适用于双加多策略。其他人可能会说，如果你掌握更的细节，你总是可以增加一组。例如，对于6 times; 8，你可以从5 times; 8开始，然后加上8。
“数字思维”程序(Rathmell, Leutzinger， amp; Gabriele, 2000)由大量的简单故事问题组成，这些问题被设计成一系列的，旨在促进对特定事实的特定策略或思维方式。老师每天提出一个问题让学生在心里解决。接下来是对学生使用的思想的简要讨论。类似的方法如图10.2所示，其中包括故事例子，旨在支持从第1级和第4级的数量、数据和空间调查的推理策略。研究发现，当强调学生解决问题时，他们不仅能更好地解决问题，而且比事实训练项目的学生掌握更多的基本事实(NRC, 2001)。
推理策略。第二种方法是直接建模推理策略。一节课可以设计成让学生检查一组特定的事实，对于这些原理，某种特定的策略是合适的。你可以讨论这些原理在某些方面是如何相似的，或者你可以提出一种方法，看看学生是否能够在类似的事实上使用它。避免诱惑告诉学生使用策略，然后让他们练习。继续讨论你在课堂上采用的策略，并计划鼓励策略的课程。不要指望通过一个问题或一次接触就能引入和理解一个策略。孩子们需要很多机会来制定自己的策略。很多孩子在最初的几天里根本就没有准备好使用一个想法，然后突然之间就有了一些有用的想法。
把新的策略写在黑板上或做一张学生发展策略的海报是一个好主意。给这些策略起个有意义的名字。(加上艾丹的想法。使用3 次。包括一个示例。)
不应该强迫学生采用别人的策略，但是应该鼓励每个学生理解讨论中提到的策略。不同的学生可能会对同一个原理的理解采用不同的策略。例如，有一些方法或策略在添加8或9时使用10。因此，包含8或9的所有加法原理的训练可以容纳任何具有该集合策略的子对象。就像两个孩子可以玩一个旋转训练游戏，每个人使用不同的策略。
数学教育改革运动的批评者试图指出，该标准“在基础上不够强硬”，尤其是对原理的掌握。没有什么比这更远离事实的了。在标准文档中可以选择的几个类似语句中，有这样一句话:“了解基本的数字组合——个位数的加法和乘法对以及相应的减法和除法——是必要的”(第32页)。
1年级6单元数字游戏和蜡笔拼图麦克斯的足球队有15个球。
课题：使用数组
麦克斯的足球队有15个球。
他的球队让罗莎的球队借了6个球。
麦克斯的球队还剩多少球?
4级，单元1，因子，倍数和数组
课题：加减法故事题
- 一包果汁盒有8个果汁盒。
3包果汁有多少盒?
6包果汁有多少盒?
9包果汁有多少盒?
图10.2从数字、数据和空间课程调查中得出的故事问题来发展基本的事实推理策略
加法原理的推理策略
学生能够并且将为掌握加法原理由来的策略与一个或多个数字关系直接相关。在第8章中，提出了许多活动来发展这些关系。现在的教学任务是帮助孩子们将这些数字关系与基本原理联系起来。
运用推理策略背后的“大思想”是让学生利用已知的原理和关系来解决基本事实。有两种方法，一种是用已知事实(如7 3 = 10)来解一个未知事实，如7 5，这比已知事实多2。第二种是使用派生事实。在这种情况下，学生可以通过将7分解成5 2，然后加上5 5，然后再加上2来解决7 5的问题(Henry amp; Brown, 2008)。当回顾本节中描述的每个推理策略时，请记住这个“大想法”。
加1或者加2
在下面的图表显示的36个事实中，每一个都至少有一个1或2的加数。第8章描述的一个以上和两个以上的关系。
其中一个加数是1或2的故事题很容易编。例如，当汤米在马戏团的时候，他看到7个小丑开着一辆小汽车出来。然后又有两个小丑骑着自行车出来了。汤米一共看到了多少小丑?问不同的学生解释他们是如何得到9的答案的。有些人会从7开始计数。有些人可能还需要先数7和2，然后再数完。其他人会说他们知道2比7大等于9。最后一个回答让你有机会谈论你可以使用“加个2”这个概念的事实。
问题 10.1床上一共有多少脚?
阅读“床上一共有多少只脚?”这一章节后，额外再问学生一个问题，当再多一个人的时候，床上还有多少脚。让学生写出表达式(如:6 2)，并说出有多少。可以看做有两个家庭成员已起床。
不同的回答会给你提供很多关于学生数字感的信息。当学生准备在不“数完”的情况下使用“加一个2”的想法时，他们可以开始进行如下活动的练习。
活动 10.2用骰子和旋转器来表示加一个1或者加一个2
做一个标记为 1
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