Mathematical Modeling
Chapter 1 ONE VARIABLE OPTIMIZATION
1.1 The five- -step Method
In this section we outline a general procedure that can be used to solve problems using mathematical modeling. We will illustrate this procedure, called the five-step method, by using it to solve a one -variable maximum- minimum problem typical of those encountered by most students in the first semester of calculus.
1. Ask the question.
2. Select the modeling approach.
3. Formulate the model.
4. Solve the model.
5. Answer the question.
The first step is to ask a question. The question must be phrased in mathematical terms, and it often requires a good deal of work to do this. In the process we are required to make a number of assumptions or suppositions about the way things really are. We should not be afraid to make a guess at this stage.We can always come back and make a better guess later on. Before we can ask a question in mathematical terms we need to define our terms. Go through the problem and make a list of variables. Include appropriate units. Next make a list of assumptions about these variables. Include any relations between variables (equations and inequalities) that are known or assumed. Having done all of this, we are ready to ask a question. Write down in explicit mathematical language the objective of this problem. Notice that the preliminary steps of listing variables,units, equations and inequalities, and other assumptions are really a part of the question. They frame the question.
In Example 1.1 the weight w of the pig (in 1bs), the number of days t until we sell the pig, the cost C of keeping the pig t days (in dollars), the market price p for pigs ($/lb), the revenue R obtained when we sell the pig ($),and our resulting net profit P ($) are all variables. There are other numerical quantities involved in the problem, such as the initial weight of the pig (200 lbs). However，these are not variables. It is important at this stage to separate variables from those quantities that will remain constant.
Step 2 is to select the modeling approach. Now that we have a problem stated in mathematical language, we need to select a mathematical approach to use to get an answer. Many types of problems can be stated in a standard form for which an effective general solution procedure exists. Most research in applied mathematics consists of identifying these general categories of problems and inventing efficient ways to solve them. There is a considerable body of literature in this area, and many new advances continue to be made. Few, if any, students in this course will have the experience and familiarity with the literature to make a good selection for the modeling approach.
Step 3 is to formulate the model. We need to take the question exhibited in step 1 and reformulate it in the standard form selected in step 2, so that we can apply the standard general solution procedure. It is often convenient to change variable names if we will refer to a modeling approach that has been described using specific variable names.
Step 4 is to solve the model, using the standard solution procedure identified in step 2.
Step 5 is to answer the question posed originally in step 1; This answer is valid as long as the assumptions made in step 1 remain valid.Related questions and alternative assumptions can be addressed by changing what we did in step 1. Since we are dealing with a real problem (A farmer owns pigs. When should they be sold?), there is an element of risk involved in step 1.For that reason it is usually necessary to investigate several alternatives. This process, called sensitivity analysis, will be discussed in the next section.
1.2 Sensitivity Analysis
The preceding section outlines the five- step approach to mathematical modeling.The process begins by making some assumptions about the problem. We are rarely certain enough about things to be able to expect all of these assumptions to be exactly valid. Therefore, we need to consider how sensitive our conclusions are to each of the assumptions we have made. This kind of sensitivity analysis is an important aspect of mathematical modeling. The details vary according to the modeling approach used, and so our discussion of sensitivity analysis will continue throughout this book. We will focus here on sensitivity analysis for simple one-variable optimization problems.
In the preceding section we used the pig problem (Example 1.1) to illustrate the five-step approach to mathematical modeling. Figure 1.1 summarizes the assumptions we made in solving that problem. In this instance the data and assumptions were mostly spelled out for us. Even so, we need to be critical.Data are obtained by measurement, observation, and sometimes sheer guess.We need to consider the possibility that the data are not precise.
Some data are naturally known with much more certainty than others. The current weight of the pig, the current price for pigs, and the cost per day of keeping the pig are easy to measure and are known to a great degree of certainty.The rate of growth of the pig is a bit less certain, and the rate at which the price is falling is even less certain. Let r denote the rate at which the price is falling. We assumed that r = 0.01 dollars per day, but let us now suppose that the actual value of r is different. By repeating the solution procedure for several different values of r, we can get an idea of the sensitivity of our answer to the value of r. Table 1.1 shows the results of solving our problem for a few selected values of r. Figure 1.4 contains the same sensitivity data in graphical form. We can see that the optimal time to sell is quite sensitive to the parameter r.
A more systematic method for measuring this sensitivity would be to treat I r as
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数学建模
第一章 一个变量的优化
1.1五步法
在本节中，我们概述了一个通用的过程，可以使用数学建模的方法来解决问题。我们将举例说明这个程序，称为五步法，通过使用它来解决一个单变量的最大值-最小值问题，这是大多数学生在微积分第一学期遇到的典型问题。
例1.1。一头200磅重的猪每天会增重5磅，每天的饲养成本为45美分。生猪市场价格为每磅65美分，但每天下跌1美分。什么时候卖猪?
解决问题的数学建模方法包括五个步骤:
1. 问这个问题。
2. 选择建模方法。
3.制定模型。
4. 解决模型。
5. 回答这个问题。
第一步是问一个问题。这个问题必须用数学术语来表述，这通常需要做大量的工作。在这个过程中，我们被要求对事物的真实方式做出一些假设。在这个阶段，我们不应该害怕做出猜测。因为我们可以回头再做更好的猜测。在我们用数学术语提问之前，我们需要定义我们的术语。通读一遍这个问题，列一个变量表。包括适当的单位。接下来列出关于这些变量的假设。包括已知或假设的变量(方程和不等式)之间的任何关系。做完这一切后，我们准备问一个问题。用明确的数学语言把这道题的目的写下来。注意，列出变量、单位、方程、不等式和其他假设的二进制步骤实际上是问题的一部分。最后把问题框起来。
在例1.1中的猪的重量w(磅),直到我们卖猪的天数t,让猪存活t天的成本C(美元),猪的市场价格p(美元/磅),我们卖猪获得的收入R($),和我们产生的净利润p($)都是变量。这个问题还涉及到其他数值，比如猪的初始重量(200磅)。这些是不变量。在这个阶段，重要的是将变量与那些保持不变的量分开。
步骤1的三个阶段(变量、假设和目标)不需要以任何特定的顺序完成。例如，在步骤1的早期确定目标通常是有用的。在例1.1中，在我们定义了目标P并回忆起P= R-C之前，兰德c可能不是很明显的变量。检查步骤1是否完成的一种方法是看看目标P是否与变量t相关。关于步骤1，最好的一般性建议是做点什么。首先写下那些显而易见的东西 (例如，一些变量可以通过简单地阅读问题并查找名词来找到)，其余的部分可能会就位。
第二步是选择建模方法。现在我们有一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一个数学方法来得到答案。许多类型的问题可以用一种标准的形式来表述，这种标准形式存在有效的通解程序。应用数学的大多数研究包括确定这些问题的一般类别，并发明有效的方法来解决它们。在这方面有相当多的文献，而且许多新的进展还在继续。很少，如果有的话，本课程的学生将有经验和熟悉的文献，去选择一个很好的建模方法。
我们得到一个实值函数y = f(x)定义在实线的子集S上。有一个定理，如果f(x)在一个内点上达到最大值或最小值，那么f(x)=0，假设f(x)在x处是可微的。这使得我们可以排除f(x)ne;0的任意一个内点作为max-min的候选点。只要没有太多的异常点，这个过程就可以很好地工作。
第三步是建立模型。我们需要将步骤1中展示的问题重新表述为步骤2中选择的标准形式，这样我们就可以应用标准的通解过程。如果我们引用使用特定变量名描述的建模方法,那么更改变量名通常是很方便的。
第四步是使用步骤2中确定的标准求解过程求解模型。
第五步是回答第1步中最初提出的问题;只要步骤1中的假设仍然有效，这个答案就是有效的。相关的问题和替代假设可以通过改变我们在步骤1中所做的来解决。因为我们正在处理一个实际的问题。在第一步中涉及到一个风险因素。因此，通常有必要研究几种替代方法。这一过程称为敏感性分析，将在下一节中详细介绍。
本节的主要目的是介绍数学建模的五步法。图1.3以方便以后参考的形式总结了该方法。在本书中，我们将应用五步法来解决数学建模中的各种问题。我们对步骤2的讨论通常包括所选建模方法的描述，以及一两个示例。已经熟悉建模方法的读者可以选择跳过这一部分，或者只是略读一下符号。图1.3中总结的其他一些要点，如适当技术的使用,将在本书后面进行扩展。
每一章最后的练习也需要五步法的应用。现在养成使用五步法的习惯，将会使你更容易成功地处理更困难的建模问题。一定要特别注意第5步。在现实世界中，仅仅正确是不够的。你还需要将你的发现传达给其他人的能力，其中一些人可能不像你那样精通数学。
步骤1。问这个问题。
.列出问题中的所有变量，包括适当的单位，
.注意不要混淆变量和常量。
.陈述你对这些变量的任何假设，包括方程和不等式。
.检查单位，确保你的假设有意义。
.用精确的数学术语陈述问题的目的。
步骤2。选择建模方法。
.选择一个通用的解决方法来解决这个问题。
.一般来说，这一步的成功需要经验、技能和对相关文献的熟悉。
.在本书中，我们将通常指定要使用的建模方法。
步骤3。制定模型。
.根据步骤2中指定的建模方法重申步骤l中提出的问题。
.您可能需要重新标记步骤1中指定的一些变量，以便与步骤2中使用的符号保持一致。
.请注意为使步骤1中描述的问题符合步骤2中指定的数学结构而作出的任何额外假设。
步骤4。解决模型。
.将步骤2中规定的通解程序应用于步骤3中规定的具体问题。
.在数学上要小心。检查你的作业是否有数学错误。你的答案有意义吗?
.使用适当的技术。计算机代数系统、图形和数字软件将增加你所能掌握的问题的范围，而且它们也有助于减少数学错误。
第5步。回答这个问题。
.用非技术术语重新表述步骤4的结果。
.避免数学符号和术语。
.任何能够理解问题陈述的人都应该能够理解你的答案。
图1.3 五步法
1.2 敏感性分析
前一节概述了数学建模的五步方法。这个过程从对问题做一些假设开始。我们对事物很少有足够的把握，以至于能够期望所有这些假设都是完全正确的。因此，我们需要考虑我们的结论对我们所做的每一个假设有多敏感。这种敏感性分析是数学建模的一个重要方面。根据使用的建模方法，细节会有所不同，因此我们将在本书中继续讨论敏感性分析。这里我们将重点讨论简单单变量优化问题的敏感性分析。
在上一节中，我们使用了猪问题(示例1.1)来说明数学建模的五步方法。图1.1总结了我们在解决这个问题时所做的假设。在这种情况下，数据和假设主要是为我们阐明的。即便如此，我们也需要持批评态度。数据是通过测量、观察，有时完全靠猜测获得的。我们需要考虑数据不精确的可能性。
有些数据自然比其他数据更确定。目前的猪的重量，目前的猪的价格，和每天饲养猪的成本很容易测量，并且在很大程度上是确定的。猪的生长速度就不那么确定了，价格下降的速度就更不确定了。让r表示价格下降的速度。假设r = 0。01元/天，假设r的实际值是不同的。通过对几个不同的r值重复求解过程，我们可以看出我们的答案对于r值的敏感性。表1.1显示了对于几个选定的r值，我们解决问题的结果。图1.4以图形形式包含了相同的敏感性数据。我们可以看到，最优卖出时间对参数r非常敏感。
测量这种灵敏度的一种更系统的方法是将r作为一个未知参数，步骤与以前相同。写作p=0.65-rt.我们可以一如既往地取得y=f(x)=(0.65-rx)(200 5x)-0.45x.然后我们可以计算f(x)=
表1.1:出售T的最佳时机对r的敏感性，r的价格在猪的问题上正在下降。 图1.4
图1.4:生猪问题的最佳卖出时间与价格下降的利率r之间的关系图。
图1.5
图1.5:净利润图，在r = 0.015的情况下，f(x) = (0.65 - 0.015x)(200 5x) -0.45x与卖出x的时间关系。所以f(x)的导数为0时，（1.2）
最优卖出时间由式(1.2)给出，只要该表达式为正，即，只要0 lt; rle;0.014。对于rgt;0.014，抛物线y= f(x)的顶点位于xge;0的集合之外，我们在这个集合上取最大值。在这种情况下，卖出的最佳时间是x = 0，因为整个区间f lt; 0。有关r = 0.015的例子，请参见图1.5。
我们也不确定猪的生长速度g。我们假设g=5磅/天。更一般地，我们有w= 200 gt，从而得到f(x) =(0.65 - 0.01x)(200 gx) - 0.45x， (1.3)
所以f(x)=。
现在当f(x) = 0时。 (1.4)
图1.6：生猪问题的最佳销售时间x与增长率g的关系图。
最优卖出时间由式(1.4)给出，只要表示x的非负值即可。图1.6为增长率g与最优卖出时间的关系。
用相对变化或百分比变化而不是绝对变化来解释敏感性数据是最自然和最有用的。例如,r降低10%导致x增加39%,同时将g减少10%会导致x减少34%。如果x的变化量为,那么x的相对变化量是由/x决定的,x的变化百分比是100/x。如果r变化了，导致x的变化，那么相对变化的比率是/x除以/r。令，利用导数的定义，我们得到/。我们称这个极限量为x对r的灵敏度，用S(x,r)表示。在猪的问题中，我们有，这时r=0.01,x=8;因此,。如果r上升2%，那么a下降7%.
当时，我们有 S(a,g) == 3.0625。所以猪的生长速度每增加1%我们就会多等3%的时间来卖猪。
为了计算灵敏度S(y, g)，首先将(1.4)代入目标函数y= f(x)，由(1.3)得到。然后计算导数，代入g = 5得到dy/dg = 4.56，得到。如果猪的生长速度比预期快10%，则预期净利润将增加1.7%。在这种情况下，dy/dg的导数的计算涉及到相当多的代数知识，在第二章中，我们将讨论如何使用计算机代数系统来执行必要的代数计算。
敏感性分析程序的成功应用需要良好的判断力。通常不可能为模型中的每个参数计算灵敏度系数，这也不是特别可取的。我们需要选择不确定性最大的参数，并对其进行敏感性分析。敏感性系数的解释也取决于不确定性的程度，基本问题是我们对数据的不确定性在多大程度上影响了我们对答案的信心。在猪的问题上，我们可能对增长率g比对价格下跌时的增长率r更有把握。如果我们观察到这头猪或类似动物过去的生长历史，那么g值25%的误差将是相当令人惊讶的。我们对r估计25%的错误将不会令人惊讶。
1.3 灵敏度和鲁棒性
如果一个数学模型的结论是正确的，那么它就是鲁棒的，即使这个模型不是完全准确的。在真实的问题中，我们永远不会有完美的信息，即使有可能构建一个完美精确的模型，我们也可以用一个更简单、更容易处理的近似来做得更好。因此，考虑鲁棒性是任何数学建模项目的必要组成部分。
在上一节中，我们介绍了敏感性分析的过程，这是一种衡量模型相对于数据假设的鲁棒性的方法。在数学建模过程的第1步中还做了其他一些假设，这些假设也应该进行检查。虽然它，为了数学上的方便和简单，经常需要做出假设，建模者的责任是确保这些假设没有专门化到使建模过程的结果无效。
图1.1总结了在解决清管器问题时所作的假设。除了数据值，主要假设是猪的重量和每磅的售价都是时间的线性函数。这些显然都是简化的假设，不能指望完全成立。毕竟，根据这些假设，一年后这头猪的体重w= 200 5(365)= 2,025磅，售价p= 0.65 -0.01(365)= - 3.00美元/磅。
一个更现实的模型将考虑这些函数的非线性和随着时间的推移而增加的不确定性。
如果假设是错误的，模型如何给出正确的答案?当数学模型追求完美时，完美是不可能实现的。更确切地说，数学建模追求完美。一个结构良好的数学模型将是健壮的，也就是说，虽然它给出的答案可能不是完全正确的，但它们将足够接近，足以在现实世界中发挥作用。
让我们来研究一下猪问题中的线性假设。我们的基本方程是P = pw -0.45 t, P是猪的销售价格在美元/磅,和u在磅猪的重量。如果模型的原始数据和假设不太远，则通过设置P=0得到卖猪的最佳时间。计算得到pw pw= 0.45美元/天。术语p w pw表示猪的价值增长率。我们的模型告诉我们，只要猪的价值增长快于饲养成本，就应该饲养它。此外，猪的值的变化有两个组成部分，pw和pw。第一项pw表示价格下跌造成的价值损失。第二项pw表示由于猪的体重增加而增加的价值。考虑应用这个更一般的模型所涉及的实际问题。所需要的数据包括作为时间可微函数的猪的未来生长和未来价格变化的完整说明。没有办法确切地知道这些函数。甚至还有一些问题是关于它们是否有意义。这头猪能在星期天凌晨3点卖掉吗?价格会是无理数吗?让我们构建一个现实的场景。这个农民养了一头大约200磅重的猪。上星期这头猪每天大约增重五磅。5天前，这头猪还可以卖到70美分/磅，但现在已经跌到了65美分/磅。我们该怎么办?最明显的方法是根据这些数据(w = 200, w=5, p= 0.65, p = 0.01)进行项目，并决定何时卖出。这正是我们所做的。我们知道p和w在未来几周不会保持不变，因此p和w不会是时间的线性函数。然而，只要p和w在这段时间内变化不大，假设它们保持不变所涉及的误差就不会太大。
我们现在准备对我们的敏感性分析结果作出更广泛的解释。前一节。回想一下，销售的最佳时间(.x)对增长率w变化的敏感性被计算为3。假设未来几周的增长速度在每天4.5到5.5磅之间。这是在假定值的10%以内。那么卖猪的最佳时间将在8天内的30%，或5到11天之间。8天卖出的损失利润少于1美元。
关于价格，假设p= -0.1，即未来几周价
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