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基于增广拉格朗日的美国期权定价方法
作者 张开 杨晓琪 Kok.Lay.Teo
摘要
美国期权定价问题最初被阐述为随机最优停时问题。它等价于一个变分不等式问题或涉及Black-scholes 偏微分算子的互补问题。在本文中，通过采用拟合有限体积法将相应的变分不等式问题离散化。基于离散化形式，借助于增广拉格朗日方法（ALM）提出一种求解美国期权定价的算法。考虑到ALM的收敛性，通过经验数值实验，我们得出结论，ALM比罚函数方法、拉格朗日方法以及逐次超松弛法更为有效。此外，数值实验表明，ALM在市场参数（利率和波动）变化下的计算时间方面更稳健。
关键词：金融；互补问题；计算方法
1、引言
期权的使用已经被越来越多的投资者、公司、公共基金和金融机构在过去的二十年里所利用。有两个主要类型的期权：欧洲期权和美国期权。欧洲的期权持有者只有在他们的到期日才有权行使合同权。在著名的论文(Blackamp;Scholes 1973)中，明确定价公式推导得到欧洲期权价格。另一方面，美国的期权，大多数是交易期权，可以在任何时间直到期日都可以行使合同权。然而，美国期权的估值不存在封闭的解决方案。它的主要原因是解决方案取决于行使期权的策略和期权的价值。
在经典的Black and Scholes理论框架和风险中性概率测度下，股票价格S都要遵循几何布朗运动，给出的随机微分方程如下
其中W是维纳过程，r，delta分别是利率和波动
对于欧洲标准期权（标准 买卖期权）有到期日T，价格K和获益函数g: R-gt;R，在r不变且不分红的情况下，明显，它的价格由下面的期望给出 当Sge;0，且 0=lt;t=lt;T
（1）
是由布朗运动形成的增强过滤。从Barles（1997）进行的分析，表明函数V(S，t)是Black-Scholes方程的解
在中，存在终端数据
（2）
不像欧洲的常规期权，美国的一般期权的定价允许早期变动选择。因为提前执行的可能性，给出的价格V是最优停时问题。
（3）
从Barles(1997)，Dempster和Hutton（1999），以及Myneni(1992)美国常规期权的价格解决了变分不平等的问题，问题VI。
（4）
在中，存在终端状态（2）事实上，（4）是一个自由边界问题。最优停时问题（3）和美国期权定价问题（4）之间的关系早就被Bensoussan和Lions（1982）和McKean(1965)研究过。此外，随机问题和确定性问题间的一般关系在Sethi and Taksar（2002）里详细讨论过。众所周知，没有分红的美式看涨期权从未达到最佳选择时期（Karatzasamp;shreve，1998）因此，问题简化为定价一个欧洲期权。然而，对于美国的看跌期权，可能存在一个最佳停止时间。因此，在下面的论文中，我们将限定我们关注的是一个美国的常规看跌期权。
让我们简要回顾一些现有的美国期权定价的解决方法。显式格子方法(维尔莫特Dewynne amp;杰夫，1993)是简单的且开销不大。但是，一些缺点也显而易见，这种方法获得的结果的缺乏准确性。因此，在现实的金融市场使用这些结果会造成不良后果。拟逐次超松弛方法(PSOR) (黄amp;庞，1998;维尔莫特，1993)也常用。一般来说，这种方法对于许多类型的美式期权定价问题快速、稳定。然而，其收敛速度很大的依赖于松弛参数的选择，而且最长运算时间随着空间离散点的增加而指数增长。线性规划方法(法官amp;赫顿1999)是非常适合美国单因素期权定价。然而，它没有很好的来处理稀疏矩阵系统，尤其是在多资产期权的情况下。
美国期权的拉格朗日方法估值已经用于巴斯克斯(1998)。这个方法是用来解决一个等价的二次规划问题。通过使用Uzawa的二元性的方法(Glowinski、Lions、amp; Tremolieres，1981)，一个巴斯克斯(1998)的改进算法来解决美国期权定价问题。对于这种方法来说，考虑到运动边界只有在活跃集消失，最佳的运动边界可以很容易地由Kuhn-Tucker乘数获得。然而，极低的收敛速度和低精度是两个主要缺点。最近， 评估美国期权的和惩罚算法在Forsyth和Vetzal(2002)和Zvan分别被提出。惩罚算法的收敛快速，对于美国期权的估值准确度高。
然而，为了达到理想的精度， 和惩罚方法需要足够大的惩罚参数。众所周知，一个大的惩罚参数可能导致数值不精确。之后，一个更一般的(权力)惩罚方法(0 lt; k lt; 1)在Wang，yang和Teo发表的美国期权定价中提出。尽管如此，惩罚方法需要一个小得多的惩罚参数，导致非线性方程不光滑且不符合Lipschitz条件。因此，更多的计算时间需要解决非光滑方程系统。在Zhang、Yang和Teo(投稿)的文章中，单调惩罚方法用来解决美国的期权定价，研究几种类型的惩罚方法的收敛性质。还获得一个理想的结果是:单调的惩罚方法的计算时间比PSOR方法小得多。
当使用拉格朗日方法和惩罚方法研究美式期权定价，增广拉格朗日方法(ALM)发展解决这些问题几乎没有引起关注。人们普遍知道ALM相对拉格朗日方法和惩罚方法有一些优势，可以从Bertsekas(1982)，弗莱彻(1987)和Glowinski(1984)及其他引用中看出。首先，实现所需的精度，ALM需要比拉格朗日方法更少的迭代。因此，ALM的收敛速度比拉格朗日方法更快。第二，ALM适用更大的惩罚参数，以至于可以获得更准确的结果。第三，在相同级别的精度下，ALM比惩罚方法需要更小的惩罚参数。
对于问题VI，ALM被广泛用于研究，可以参见Glowinski(1984)，Glowinski和Le(1989)，Glowinski et al(1981)，Hintermuller、Ito和Kunisch(2002)，Ito和Kunisch(2000，2003)和Kaekkainen Kunisch，Tarvainen(2003)。在Glowinski(1984)，Glowinski和Le(1989)和Glowinski et al(1981)中， ALM方法用来解决无限维的VI类问题，也是增广拉格朗日算法开发和详细研究其收敛性能的地方。在Hintermuller et al(2002)、Ito、Kunisch(2000，2003)和Kaekkainen et al(2003)中，ALM用于解决在无限和有限维空间的VI类问题。
在本文中，我们制定了连续模型的美国看跌期权定价问题(没有股息)，也就是说，一个偏微分互补性问题和一个VI类问题。有限体积法(Wang et al 发表)是用来离散VI问题的。这将产生一系列的大规模有限维VI问题。我们将ALM用于解决这些变分不等式。给出了明确的增强拉格朗日公式和设计相应的增广拉格朗日算法来解决美国期权定价问题。拉格朗日乘数的概念已经建立了。此外，固定惩罚参数r，即对于每个离散的VI问题的超线性收敛率已建立。探索ALM在惩罚方法和拉格朗日方法上的优势，将进行两组问题的经验测试。此外，比较PSOR和 ALM方法，实验参数由不同市场参数r和不同大小的时间变量和空间变量实现。对于ALM来说，市场参数的稳定性和基于PSOR方法的优势都将显示出来。
本文的组织如下，在第2节中，我们介绍连续的美式期权定价模型，即一个偏微分互补性问题的VI类问题。第３节中，提出使用有限体积方法得到了相应的离散模型。在第４节，使用ALM解决VI类离散问题，因此得到美式期权参数值。本节还将给出收敛性结果。在上一节中，数值例子将被解决且获得结果以标明ALM的效率和有效性。比较ALM和惩罚算法、拉格朗日法和PSOR方法。基于一些经验测试，得到一些可取的结论。
2、美国期权定价的连续方法
首先，让我们回忆起布莱克-斯科尔斯算子
然后，我们变换布莱克-斯科尔斯算子为以下自伴的形式:
其中，，，，是美国看跌期权的值。为了方便起见，我们更换了资产价格Ｓ与x。然后，偏微分互补形式的美式看跌期权定价问题可以说明以下问题1。
问题1：
（５）
其中，I =（0，X）sub;R是底层的可变范围资产价格和确定性变量X被选择为足够大，以反映实际情况。
最终条件和边界条件是
其中，是收益函数。
很容易证明以下列VI类问题是等价的偏微分的互补性问题。
问题２求，使对于，有
偏微分方程互补问题表示即存在一个最佳的边界和一个最优定义为运动时间分别定义如下：
无效区域的价值函数可以被分离成一个连续区域Ｃ，在Ｃ中期权的值大于和在活跃区Ｐ中的期权收益。因此，
在下一节中，我们将提出了一个离散形式的系统，它是基于有限体积法。
3、拟合有限体积离散化
标准的有限差分方法的广泛应用评估期权定价问题，参见Seydel(2004)，Tavella兰德尔(2000)和维尔莫特et al(1993)。然而，如上所述在Seydel(2004)，标准的有限差分遇到一些缺点的方法。众所周知，当使用标准的有限差分法来解决问题涉及对散运营商布莱克-斯科尔斯偏微分算子，数值可以造成困难。是当的主要原因或资产价格波动很小，布莱克-斯科尔斯部分微分算子成为对流占优算子。因此，标准的有限差分法将产生数值振荡，这将严重破坏的准确性套期保值的参数。这种现象的详细分析可以在弗莱彻(1987)和Seydel(2004)。
为克服这一数值困难，安装有限的量离散化方案提出了Wang(2004)和Wang et al(发表)解决变分从选择问题获得一个等价的配方定价。安装有限体积方法是基于提出的想法艾伦和索恩韦尔(1955)对散问题。它已被证明在王(2004)和王等。(发表)安装有限体积方法数值稳定。本质上，这个方法是基于有限体积的局部近似解决方案。当地的近似是由一组两点边值问题定义的元素边缘。这种拟合技术有效地消除振荡现象。因此，在本节中，我们将使用安装有限体积离散化方案解决问题2。
我们应用有限差分法和拟合有限体积法在空间。制定的细节和分析可以找到安装的有限体积法王(2004)(发表)。在接下来，我们给出一个简短的有限体积离散化应用于布莱克-斯科尔斯算子。
时间离散化，让是一在[0，T]上的点，，满足。然后，我们应用两级隐含的时域方法与分裂参数。
因此，通过应用有限体积的变分方法问题2，它会导致以下顺序有限空间在时间对于成立。
问题３ 求，使得对于
有
（６）
在问题３中是维的变量，和是两个维的常量
问题３的边界条件和最终条件是
备注4 一个矩阵是一个Ｍ阶逆矩阵，那么它是单调的，且所有的非对角元素是非正的，可以参见Ciarlet(1989)。它的另一个等价的定义是，一个是非奇异矩阵，它的所有非对角的元素非正且它的逆大于等于０，参见Ito和Kunisch(2003)。
4、美国期权定价的增广拉格朗日方法
4.1增广拉格朗日算法
值得注意的是，与离散的数量点增加，问题3的规模非常大。因此，为解决大规模问题，快速和有效的数值优化算法。因此，我们建议ALM解决VI类问题。在第２和３部分提到过，时间t，让是一在[0，T]上的点， 满足，给出一个变分不等式。增广拉格朗日算法可以应用到每个离散的VI类问题。
首先，我们定义一个向量和惩罚参数。让我和是第ｋ个元素的和的估计值，和。然后，我们引入了增广拉格朗日公式如下:
（７）
从备注4中，很明显看出， 单调，因为它是一个m阶逆矩阵。因此，由于单调算子理论，我们通过可以获得，一个独特的解决方案。
在公式（７）的基础上，增广拉格朗日算法的美式期权定价问题如下所示。
算法1 (ALM算法)对于每一次，进行如下步骤：
（１）迭代步骤k=0，初始化r gt;0，εgt;0，；
（２） 设置动态和静态集
其中
（３） 解决以下问题
（４）更新
（５）如果Vk 1 minus; Vkε，停止迭代；否则，令 k = k 1，转到步骤２。
值得注意的是ALM是理想的解决美式期权定价的方案，因为在每一步方法只解决了一个序列稀疏矩阵的线性代数方程系统。在下一小节，我们指出，限制点序列，分别选择期权值和拉格朗日乘数。因此，通过控制惩罚参数，我们可以获得结果尽可能准确必需的。此外，通过拉格朗日乘数，可以直接获得最优运动边界。在事实上，在这个方法中，我们可以自动更
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