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退休储蓄如何消费和投资
古普塔阿帕娜和沃尔特穆雷
管理科学与工程,斯坦福大学,94305年斯坦福CA
摘要
退休后的最优消费的退休储蓄投资的问题已经解决了。但这个问题所获得的关注远远小于如何为退休投资。随着寿命的增加，并增加了私人养老基金，退休人员有两个相当大的灵活性即如何消费，如何继续投资他们的退休基金。我们旨在开发一个平台，允许各种各样的行为方面为蓝本，也能明确约束的罚款。为了实现所追求的灵活性我有必要对这个问题做大规模非线性建模约束优化问题，这是使用顺序二次规划求解算法。幸运的是，现代优化方法现在用以解决这类问题是足够强大。一个关键点是，虽然这些问题都很大，他们有丰富的结构。在这个类的问题已经得到解决假定投资者是理性的某种意义上说作出财务决策时，投资者符合的偏好关系都选择的公理。研究行为科学表明，不是所有的普通人做出的金融决策符合选择的公理。我们提出的算法使得能够解决并不满足所选择的所有的公理用户指定的效用函数的问题。
1.简介
投资者应该如何投资获取足够的退休储蓄问题被认为是一个重要的问题，并已经有了相当的研究[23，18，19，3，29]的主题。虽然还没有收到尽可能多的关注，但在我们看来，一个相关的问题是同样重要的，是退休后的最佳支出和退休基金的投资的问题。随着平均寿命的增加，在退休后度过的岁月是与退休前的投资年数有得比较的。
在退休规划中的传统框架，通常三个组件被认为适合建模。收入来源之一接收或预期接收的是，哪一部分收入是一个人决定要消耗或立即用上的，终于有什么节约的一部分并投资为未来的消费。在实践中，大多数人在美国设置他们的收入的百分比，他们在退休投资只有一次，通常是在一个水平等于或大于最大允许较低免税的贡献。与此相反，退休花销后有相当多的灵活性。我们认为退休后的节约的问题和退休后消费的退休储蓄有很大的不同特点，对于不同的投资方式有很多可取性。此外，退休人员更积极探索如何更好地投资，因为其后果是直接的利益。另一个关键的区别是从一个贫穷的成果恢复的能力。在退休前一个人通常有更大的能力既提高了他们的收入流（由工作更难），并降低他们的消费（更高的可自由支配开支）。
在开发一个平台时，我们要解决一些顾虑。特别是，我们担心目前平台的限制过于严格，缺乏透明度。作为后者的例子假设用户不希望自己的财富跌破$ X。人们可以创建无限变成负效用函数时，财富的方法$ X。一般用户不会理解这样的功能的属性。更透明的做法是有一个约束。当然，“透明度”是主观的;我们的任务是有一个灵活的平台，它可以应对各种各样的制约并有很多实用功能。实现这一点的一种方法是允许的数量，如财富直接出现在模型的变量中。我们的方法的一个后果是数变量可能会变得非常大。然而，现代的算法[7,8]都更依赖结构上比大小。可以看出，增加的变量的数目优化了结构。此外，这种算法的效率更多地取决于自由度的问题，而不是变量的数目。自由度保持不变时附加变量被引入，因为附加的相同变量也引入 。
在定义效用函数，假定通常是由对策划者的消费偏好，可用于投资和规则作为他们的价格演变的资产。迄今为止，在假定投资者是理性的在这个层面上，这个问题已得到解决，作出财务决策时，投资者符合的偏好关系选择所有的公理。研究行为科学表明，并非所有的普通人的金融决定符合选择的公理[13，27，14]。所谓“理性”有些加载术语，因为它意味着如果一个人不满足公理选择的，他们正在失去理智。然而，这是在这样的背景下一个技术术语的存在是一种限制[11，10]，许多投资者没有满足合理的原因选择公理。我们提出的框架使被列入行为方面的问题在通过使用行为效用和/或添加行为约束模型。该传统实用程序也可以用这种方法解决。为了说明的目的，资产可用于投资被分为两大类，风险和无风险。 进一步精炼是可能的。为了进行说明，我们使用模型资产的回报二项式树模型（夏普[24]）。
2建模问题
2.1规范与描述性选择
当一个个体面临从一套备选方案选择时。决策者衡量所有的选择和尝试之间的优点和每个选项的去优点选择最适合自己的选择。这通常需要的精确定义的“最佳”。为了执行这个决策过程的分析，有必要定义一个偏好关系。此外，假定偏好关系，以满足某些公理选择强加由关系决定的决策的一致性和规律性。（见Gupta和穆雷[11]，瓦里安[28]，马斯Colell[17]了解更多信息。）一个决策者满足这些公理被认为是经济上合理。有可能代表了在一个实用的功能，方面偏好是从该组的替代品，好似从地图上找到正确的路径。被满足的公理的结果是，相应的工具功能物尽其用。
然而在实践中，这些公理的应用有巨大的影响，让所有一般决策者总是做出满足所有公理的选择是很困难的。而且，许多人不认为秉承选择的公理是可取的，因为在做决定时这些公理与决策者的之关系好相互冲突。根据这一思路许多行为科学家和经济学家已试图了解通过实验常人中的决策过程和各种形式的研究（见莱特[30]，贝尔[1]）。这些尝试也尽量量化选择的过程，但尽量要假设狭隘一些。它们构成所谓选择的描述性理论。选择的五大现象违反规范性理论标准模型中列出：框架效应，非线性喜好，能源的依赖程度，风险偏好和损失厌恶。这些已被确认在一些实验中，用实数和假设的支付（参见Gupta和默里[11]，特沃斯基和Kahnemann [27，26]，特沃斯基[25]有详细介绍）。
行为金融学是研究的一个快速增长的领域。在此框架内研究人员已经做出了尝试理解和解释投资风格和偏好个人投资者从一个描述性的立场来看其他的市场特征。 它是希望这些描述性研究将有助于消除发达国家的理论之间的理性假设与实践观察的差距。弥补这一差距将有助于在提供更好的建议和教育的人的专家做出更好的决策。
2.2 消费问题
消费问题是一个涉及到问题的选择。它旨在发现退休储蓄退休后的最优消费问题。支持消费的附带最优投资策略也需要进行计算。正如早前有人提出，大多数研究人员都研究了储蓄和投资问题的研究结合消费问题。我们选择单独研究消费问题，自从退休计划，即在生活中时间的两个阶段，一个是当自己的计划退休时，一个是当退休的时候，有非常不同的特点，关注和偏好。退休前和退休后的决策的一个关键区别是退休后的决策有直接的影响。此外，退休人员可能需要以应对迅速变化的情况下，例如健康的恶化。一个可能也期待，因为现在有一种消费方面个人公用事业更广泛的变化。
大多数人都同意，要实现退休目标，需要一个明确的计划。 最多该规划的重要考虑因素是：
bull;当一个人退休或退休的年龄，
bull;期望的生活方式和退休后的相关费用，
bull;什么是一个人的寿命，或一般健康状况，
bull;什么样的收入一个人退休后的不同来源，如社会保障，年金，个人储蓄
bull; 婚姻状况
bull;以及是否存在遗赠动机。
显然，在很大程度上取决于如何在早期为退休的个人计划和积累退休资金。我们假设企划各显神通积累他们的退休基金。在这个假设下，我们解决个别要如何消耗退休后的基金，是不是在一定时期内应使用，以保持在退休后的收入流最好的投资。该投资选择集通常包含的元素，如投资多少，有什么投资，怎么投资应以产生最大的税收优惠等，从收入源，例如年金或社会保障被视为外源的问题设置，和仅影响到消费变量下界。
模拟预期寿命是问题的一个重要方面。一个相关的问题是退休人员健康。这可能会影响卫生保健费用和退休人员的能力享受生活两方面的消费，与健康相关的不确定性在退休期间最高，建模应该考虑到这一点。列出的大多数其他考虑因素以上为退休计划通常可以并入作为模型的参数，例如，婚姻状况可以通过考虑更大的消费量容纳，类似的调整可以为生活方式的相关费用进行。
该问题用数学公式表示为：
其中，CT和XT是随着时间的推移消费和投资决策，分别为。该规划视野，T对这个问题不确知。在最后一个学期客观，UT（WT，CT），将代表遗赠偏好。
2.3其他方法的概述
在这个问题上的大多数工作已经在一个综合框架与投资一起问题。在本节中，我们给这些方法的简要概述。博迪，默顿和萨缪尔森[2]考虑一个最佳的投资选择，劳动力和消费选择，在策划者的生命周期模型。这个问题，提出方式是最优在连续时间控制问题，并假设工资是完全对称的解决。关系是最佳的投资选择和人力资本的策划者之间绘制在规划范围。坎贝尔和Viceira [3]考虑一个无限生活投资者用Epstein-寻 - 韦尔公用事业（电力公司的递归范化），并解决投资者的最优消费/投资的问题。他们更换一阶条件用近似方程的问题（欧拉方程）和预算限制和探索近似问题的解析解。他们分析趋势，如消费的最优的增长速度，最优消费财富比等Viceira [29]通过在一个undiversifiable劳动收入过程延长坎贝尔 - Viceira方法问题。投资者无限的生活，但有一定几率，pi;R，过渡到退休状态。达到退休状态后，投资者此后保持退役。假定消费的数效用函数，解决方案技术是类似于由坎贝尔-Viceira给出并且分析由退休对资产组合选择的影响完成的。
一些研究人员进行的实证分析以了解普通群体退休行为。赫德和玛蒂[12]研究的主观生存概率的演变和自己的能力来预测实际的死亡率。他们发现，主观概率合理地预测实际生存。Xu[22]基于动态规划模型退休行为是开发并使用嵌套定点算法求解。 在每一个时间步骤工人选择多大的消费以及是否全职工作，兼职，或退出劳动力市场。我们的目标是最大化超预期贴现效用工人的剩余寿命。 Lumsdaine，股票和Wise[16]研究了三种型号的退休行为的预测性能- “期权价值”，动态规划，并概率。他们主张用具有良好的可预见性一个简单的模型，并发现，在这个意义上的“期权价值”的模式确实比动态规划的更好。
2.4资产价格动力学-二项树设置
未来消费取决于总退休储蓄，基于退休期多长，关键取决于退休基金被如何投资。投资增长，反过来，由我们投资的带动下，我们投资多长时间，大家能得到什么回报，除去交易成本和税收我们得到多少。个人投资者通常有超过上述各个因素控制了很多，除一人外，资产回报。我们得到了我们的投资回报是不确定的。过往表现可能指示未来的业绩，但绝不是充分的预测。这个事实使得建模资产回报动力学尤其具有挑战性。为了说明的目的，我们使用二项式树模型（参见Gupta和默里[11]，Luenberger [15]和Ross [20]为细节）。在这一离散，离散空间资产收益动力学模型，资产收益能在每个时间点转换到两种可能的状态。我们所说的状态的“向上”之一，另外一个“向下”的“向上”指的是一个返回大于1，或换句话说，价格的资产上升，和“向下”指的是返回小于1。虽然它可能看起来简单，这种模式一直享有巨大的成功，因为它的易用性[24，4，21]然而它的容量来捕获该问题的重要特征。
在整个工作中，我们考虑两个资产类别，一个危险的，一个无风险的。再次我们强调的是，这是为了说明的目的而进行的。我们不提倡的二项树模型是首选。一个简单的扩展是有可供投资的资产，如股票，债券和货币市场账户（现金）有较大改进。在每个时间点的风险资产的回报率上升了概率p = 1/2和下跌以概率1-p值= 1/2，而无风险资产的返回保持恒定，因此命名为“无风险”的资产类别类似的改进，有几个改进的也可以引入资产收益动态。我们表示风险资产的回报“向上”SU和SD上“了下来。”让无风险资产的回报是RF。 （本选择的参数值如下，SU= 1.26，SD = 0.96，RF = 1.05，相匹配的平均并在一段时间内，在无风险资产的风险资产和Wb的美国股市的代理服务器和风险溢价）。如果一个人investsWs美元的长期年度回报的标差，财富的人会在今后一个时期将是WSSU WbRf如果“向上”和发生首脑会议 WbRf若“向下”的发生。图1给出了二项式树的图解描述模型。
2.5最优消费和资产配置问题
随着二项树模型在上一节中所述的最优消费资产分配问题可以如下配制。给定一个时间范围的规划，T，每个时间点，SUt在{0，1，...，T-1}，对于丰富的量的决定从基金消费和财富的多少撤出投资于两个资产类需要进行。假设投资者都知道世界的状态在t = 0，
有2T -1 T = 0和t = T-1之间的节点的数目，每一个代表两个判定变量，有多少财富的消耗多少在风险资产和投资无风险资产。如在图2所示的节点排序让投资决策变量由XT来表示，n，其中t是时间周期，n是在排序的节点。C. = - 消费决策变量是由{1kl，N，T = 0..T，N = 1..2T}记我们的惯例是，策划者从基金之初拿出一些钱期间的每个期间消耗和投资剩余财富在两资产类别。这意味着，在t = 0，这是计划者退休时，给定的总财富在退休基金是W0，规划撤回C0,1美元的消费第一期投资和剩余的财富在这两个资产类别。继续在这方式，将有与树中的每个节点相关联的丰富的量，表示其余在该节点的退休基金的财富。我们代表这些财富水平重量，N，该公约为两个决策变量以下。因此，该关系决策变量CT，N，XT，n和状态变量重量，正，SU之间，SD和射频能
写为如下：
Wt 1,n2 = Xt,n1 (Wt,n1minus; Ct,n1)Su (1minus; Xt,n1 )(Wt,n1minus; Ct,n1)Rf (1)
Wt 1,n3 = Xt,n1 (Wt,n1minus; Ct,n1)Sd (1 minus; Xt,n1 )(Wt,n1minus; Ct,n1)Rf , t = 0..T minus; 1, n1 = 1..2T minus;(21),where (1) is
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